Reguła mnożenia

Reguła mnożenia jest podstawową metodą obliczania ilości zdarzeń, które występują w zadaniu. Aby zrozumieć istotę tej metody spójrzmy na prosty przykład:

Przykład 1. Na ile różnych sposobów możemy rzucić dwoma sześciennymi kostkami do gry?

Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, to może ustalmy sobie czego tak naprawdę szukamy. Jeżeli przykładowo wyrzucimy za pierwszym razem piątkę, a za drugim razem trójkę, to otrzymamy pierwszą możliwość rzutu dwiema kośćmi, którą matematycznie możemy zapisać jako \((5;3)\). Gdybyśmy wyrzucili najpierw czwórkę, a potem jedynkę, to otrzymalibyśmy drugą możliwość \((4;1)\). Jak wyrzucimy najpierw czwórkę, a potem znowu czwórkę to otrzymamy kolejną możliwość \((4;4)\). Musimy teraz ustalić ile jest tych wszystkich różnych sposobów otrzymania wyniku i tu z pomocą przychodzi nam reguła mnożenia.

Na pierwszej kostce może nam wypaść jedna z sześciu cyfr (od \(1\) do \(6\)).
Na drugiej kostce może nam wypaść także jedna z sześciu cyfr (od \(1\) do \(6\)).

Reguła mnożenia mówi nam, że liczbę wszystkich możliwości obliczymy mnożąc przez siebie liczbę wyników możliwych do uzyskania na pierwszej kostce przez liczbę wyników możliwych do uzyskania z drugiej kostki. W naszym przypadku i na jednej i drugiej kostce mamy sześć różnych możliwości, zatem:
$$6\cdot6=36$$

To oznacza, że dwie sześcienne kostki do gry możemy wyrzucić na \(36\) sposobów.

Przykład 2. Na ile różnych sposobów możemy rzucić trzema sześciennymi kostkami do gry?

Zadanie niemalże identyczne co przed chwilą, ale tym razem rzucamy trzema kośćmi. Otrzymywać więc będziemy zdarzenia typu \((3;6;2)\) czy też \(1;5;4\) i musimy ustalić ile takich różnych kombinacji jesteśmy w stanie ułożyć. Co się zmieni w tej sytuacji względem poprzedniego zadania?

Na pierwszej kostce może nam wypaść jedna z sześciu cyfr (od \(1\) do \(6\)).
Na drugiej kostce może nam wypaść także jedna z sześciu cyfr (od \(1\) do \(6\)).
Na trzeciej kostce może nam wypaść także jedna z sześciu cyfr (od \(1\) do \(6\)).

W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości będziemy mieć tym razem:
$$6\cdot6\cdot6=216$$

Przykład 3. Na ile różnych sposobów możemy rzucić pięcioma monetami?

Podczas rzucania monetą możemy uzyskać jeden z dwóch wyników: orzeł \((O)\) lub reszkę \((R)\). Rzucając więc pięcioma monetami możemy uzyskać przykładowo: \(OORRR, ORORR, RRRRO\) itd. I tutaj ponownie, korzystając z reguły mnożenia jesteśmy w stanie szybko wyliczyć liczbę tych wszystkich możliwości.

W pierwszym rzucie mamy \(2\) możliwości (\(O\) lub \(R\)). W drugim, trzecim, czwartym i piątym rzucie mamy także \(2\) możliwości. Zatem zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości przy pięciokrotnym rzucie monetą będziemy mieć:
$$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Przykład 4. Mama, tata oraz Jaś wybrali się do kawiarni. W karcie menu było \(7\) rodzajów ciast, a każda z osób zamówiła jedną wybraną porcję. Na ile różnych sposobów mogli dokonać takiego zamówienia?

Mamy \(3\) osoby, każda z nich zamówiła jeden z siedmiu dostępnych kawałków ciasta. Czyli mama może zamówić jedno z \(7\) ciast, tata może zamówić jedno z \(7\) ciast i Jaś może zamówić jedno z \(7\) ciast. W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia mogli swojego wyboru dokonać na:
$$7\cdot7\cdot7=7^3=343 \text{ sposoby}$$

Przykład 5. Mama, tata i Jaś wybrali się do kawiarni. W karcie menu było \(7\) rodzajów ciast, a każda z osób zamówiła jedną wybraną porcję. Na ile różnych sposobów mogli dokonać takiego zamówienia, jeżeli wszyscy zamówili różne ciasta?

Zastanówmy się czym się różni ten przykład od poprzedniego. Tym razem doszedł nam warunek, że ciasta muszą być różne i to zmieni dość mocno nasze obliczenia. Rozpiszmy sobie dokładnie całą tę sytuację:
– Mama zamawia jedno z \(7\) ciast, ma więc \(7\) możliwości.
– Tata zamawia ciasto, ale może wybrać już tylko z tych, których nie wybrała mama. Jeżeli więc mama wybrałaby np. sernik, to on sernika już wziąć nie może. Ostatecznie ma on więc już tylko \(6\) możliwości wyboru ciasta.
– Jaś zamawia ciasto, ale musi wybrać już tylko z tych, których nie wybrała ani mama, ani tata. To oznacza, że Jaś ma już tylko \(5\) możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że tym razem ciastka możemy wybrać na:
$$7\cdot6\cdot5=210 \text{ sposobów}$$

Przykład 6. Mama, tata i Jaś wybrali się do kawiarni. W karcie menu było \(7\) rodzajów ciast, a każda z osób zamówiła jedną wybraną porcję. Na ile różnych sposobów mogli dokonać takiego zamówienia, jeżeli mama i tata zamówili dokładnie to samo ciasto, a Jaś wybrał zupełnie inne ciasto?

Tutaj kolejna modyfikacja tego samego zadania. Ustalmy zatem po kolei:
Mama wybiera jedno z \(7\) ciast, ma więc \(7\) możliwości.
Tata zamawia dokładnie to samo co mama, czyli ma \(1\) możliwość (bo musi wziąć to, co wzięła mama).
Jaś zamawia ciasto, ale wybrał te, którego nie mają rodzice (czyli jak mama z tatą wybrali np. sernik, to on już sernika nie weźmie). W związku z tym ma \(6\) możliwości wyboru ciast.

Teraz zgodnie z regułą mnożenia możemy obliczyć, że ciasta możemy wybrać na:
$$7\cdot1\cdot6=42 \text{ sposoby}$$

Przykład 7. Dany jest zestaw cyfr: \(1,2,3,4,5\). Na ile różnych sposobów można z tych cyfr ułożyć liczbę trzycyfrową, jeżeli żadna z cyfr nie może się powtórzyć?

Liczbę trzycyfrową możemy przedstawić jako \(■ ■ ■\). W każde wolne miejsce rzędu setek (pierwsza kratka), dziesiątek (druga kratka) i jedności (trzecia kratka) musimy wstawić jedną z cyfr z naszego zestawu. Zastanówmy się na ile różnych sposobów możemy uzupełnić każde miejsce.

Cyfrę setek możemy uzupełnić na \(5\) sposobów (będą to cyfry od \(1\) do \(5\)).
Cyfrę dziesiątek możemy uzupełnić już tylko na \(4\) sposoby (bo z pięciu dostępnych cyfr odpadnie nam ta cyfra, która stoi na pierwszym miejscu).
Cyfrę jedności możemy uzupełnić na \(3\) sposoby (bo z pięciu cyfr z zestawu odpadną nam cyfry użyte w setkach i dziesiątkach).

W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia liczba trzycyfrowych liczb jakie możemy ułożyć będzie równa:
$$5\cdot4\cdot3=60$$

Przykład 8. Dany jest zestaw cyfr: \(0,1,2,3,4\). Na ile różnych sposobów można z tych cyfr ułożyć liczbę trzycyfrową, jeżeli żadna z cyfr nie może się powtórzyć?

Zastanówmy się czym się różni ten przykład od poprzedniego. Teoretycznie są to podobne zadania, ale musimy tutaj zwrócić uwagę na to, że \(0\) nie może znaleźć się na pierwszym miejscu naszej liczby, bo nie ma takiej trzycyfrowej liczby jak np. \(027\). Przeanalizujmy więc po kolei:

Cyfrę setek możemy uzupełnić na \(4\) sposoby (będą to cyfry od \(1\) do \(4\), bez \(0\)).
Cyfrę dziesiątek możemy uzupełnić także na \(4\) sposoby, (bo z pięciu cyfr z zestawu odpadnie nam ta cyfra, która stoi na pierwszym miejscu).
Cyfrę jedności możemy wstawić na \(3\) sposoby (bo z pięciu cyfr z zestawu odpadną nam te dwie, które znajdą się w cyfrze setek i dziesiątek.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba trzycyfrowych liczb jakie możemy ułożyć będzie równa:
$$4\cdot4\cdot3=48$$

Zobacz też: Prawdopodobieństwo

Dodaj komentarz