Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √26. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe

Ramię trapezu równoramiennego \(ABCD\) ma długość \(\sqrt{26}\). Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku \(2:3\). Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W trapezie równoramiennym przekątne są równej długości. Dodatkowo wiemy, że w tym konkretnym przypadku przecinają się pod kątem prostym. Skoro więc punkt przecięcia się przekątnych dzieli je w stosunku \(2:3\), to nasz rysunek będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Spójrzmy przykładowo na trójkąt \(BCS\). Jest to trójkąt prostokątny, zatem możemy obliczyć wartość niewiadomej \(x\) korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.
$$(2x)^2+(3x)^2=(\sqrt{26})^2 \\
4x^2+9x^2=26 \\
13x^2=26 \\
x^2=2 \\
x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(x=\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Jak spojrzymy na nasz rysunek to możemy wyodrębnić w nim dwa duże trójkąty \(ACD\) oraz \(ABC\). Suma pól tych dwóch trójkątów jest równa polu trapezu.

W jednym i drugim trójkącie mamy podstawę równą \(3x+2x=5x\). Skoro \(x=\sqrt{2}\), to już wiemy, że ta podstawa ma długość \(a=5\sqrt{2}\). W jednym i drugim trójkącie znamy też wysokości - w trójkącie \(ACD\) wysokość wynosi ona \(2x\) (czyli \(h=2\sqrt{2}\)), a dla trójkąta \(ABC\) wysokość jest równa \(3x\) (czyli \(h=3\sqrt{2}\)). W związku z tym:
$$P=P_{ACD}+P_{ABC} \\
P=\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2} \\
P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot2+\frac{1}{2}\cdot15\cdot2 \\
P=10+15 \\
P=25$$

Odpowiedź

\(P=25\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments