Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie miar kątów.
Możemy skorzystać z własności trapezów, która mówi nam, że kąty przy jednym ramieniu trapezu mają łączną miarę \(180°\). Skoro więc kąt \(BCD\) ma miarę \(120°\), to kąt \(ABC\) będzie miał:
$$|\sphericalangle ABC|=180°-120°=60°$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek odpowiednie kąty, otrzymamy taką oto sytuację:
Wyszło nam, że trójkąt \(EBC\) jest trójkątem prostokątnym o kątach \(30°, 60°, 90°\) i to będzie punkt wyjścia do dalszych obliczeń.
Krok 3. Obliczenie długości odcinków \(EB\) oraz \(EC\).
Z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wynika, że, bok \(EB\) będzie miał miarę dwa razy krótszą od przeciwprostokątnej \(BC\), czyli że \(|EB|=4\). Dodatkowo z tych samych własności wynika, że przyprostokątna \(EC\) będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od przyprostokątnej \(EB\), czyli \(|EC|=4\sqrt{3}\).
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
Znamy już tak naprawdę wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola trapezu. Dolna podstawa \(AB\) będzie miała długość \(|AB|=8+4=12\), górna podstawa ma długość \(|DC|=8\), a wysokość naszego trapezu to \(|EC|=4\sqrt{3}\). Skoro tak, to:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(12+8)\cdot4\sqrt{3} \\
P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot4\sqrt{3} \\
P=10\cdot4\sqrt{3} \\
P=40\sqrt{3}$$
Krok 5. Obliczenie długości przekątnej \(BC\).
Musimy jeszcze obliczyć długość przekątnej \(BC\). Dokonamy tego korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABD\). Możemy zapisać, że:
$$12^2+(4\sqrt{3})^2=|BD|^2 \\
144+16\cdot3=|BD|^2 \\
144+48=|BD|^2 \\
|BD|^2=192 \\
|BD|=\sqrt{192} \quad\lor\quad |BD|=-\sqrt{192}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BD|=\sqrt{192}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|BD|=\sqrt{64\cdot3}=8\sqrt{3}\).
