Matura podstawowa

Punkty, odcinki i proste – zadania maturalne

Punkty, odcinki i proste - zadania

Zadanie 1. (1pkt) Punkty $A=(-5,2)$ i $B=(3,-2)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego $ABC$. Obwód tego trójkąta jest równy:

A) $30$

B) $4\sqrt{5}$

C) $12\sqrt{5}$

D) $36$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 2. (1pkt) Punkty $A=(-1,3)$ i $C=(-5,5)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Pole tego kwadratu jest równe:

A) $10$

B) $25$

C) $50$

D) $100$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 3. (1pkt) Dane są punkty $A=(1,-4)$ i $B=(2,3)$. Odcinek $AB$ ma długość:

A) $1$

B) $4\sqrt{3}$

C) $5\sqrt{2}$

D) $7$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 4. (1pkt) Punkt $S=(2,7)$ jest środkiem odcinka $AB$, w którym $A=(-1,3)$. Punkt $B$ ma współrzędne:

A) $B=(5,11)$

B) $B=(\frac{1}{2},2)$

C) $B=(-\frac{3}{2},-5)$

D) $B=(3,11)$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 5. (1pkt) Punkty $A=(-1,2)$ i $B=(5,-2)$ są dwoma kolejnymi wierzchołkami rombu $ABCD$. Obwód tego rombu jest równy:

A) $\sqrt{13}$

B) $13$

C) $676$

D) $8\sqrt{13}$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 6. (1pkt) Punkt $S=(-4,7)$ jest środkiem odcinka $PQ$, gdzie $Q=(17,12)$. Zatem punkt $P$ ma współrzędne:

A) $P=(2,-25)$

B) $P=(38,17)$

C) $P=(-25,2)$

D) $P=(-12,4)$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 7. (1pkt) Punkt $S=(4;1)$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(a;0)$ i $B=(a+3;2)$. Zatem:

A) $a=0$

B) $a=\frac{1}{2}$

C) $a=2$

D) $a=\frac{5}{2}$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 8. (1pkt) Punkty $A=(13,-12)$ i $C=(15,8)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie:

A) $S=(2,-20)$

B) $S=(14,10)$

C) $S=(14,-2)$

D) $S=(28,-4)$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 9. (1pkt) Punkt $S=(2,-5)$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(-4,3)$ i $B=(8,b)$. Wtedy:

A) $b=-13$

B) $b=-2$

C) $b=-1$

D) $b=6$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 10. (1pkt) Dane są punkty $P=(-2,-2)$, $Q=(3,3)$. Odległość punktu $P$ od punktu $Q$ jest równa:

A) $1$

B) $5$

C) $5\sqrt{2}$

D) $2\sqrt{5}$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 11. (1pkt) Punkt $K=(-4,4)$ jest końcem odcinka $KL$, punkt $L$ leży na osi $Ox$, a środek $S$ tego odcinka leży na osi $Oy$. Wynika stąd, że:

A) $S=(0,2)$

B) $S=(-2,0)$

C) $S=(4,0)$

D) $S=(0,4)$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 12. (1pkt) W układzie współrzędnych dane są punkty $A=(a,6)$ oraz $B=(7,b)$. Środkiem odcinka $AB$ jest punkt $M=(3,4)$. Wynika stąd, że:

A) $a=5$ i $b=5$

B) $a=-1$ i $b=2$

C) $a=4$ i $b=10$

D) $a=-4$ i $b=-2$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 13. (1pkt) Prosta określona wzorem $y=ax+1$ jest symetralną odcinka $AB$, gdzie $A=(-3,2)$ i $B=(1,4)$. Wynika stąd, że:

A) $a=-\frac{1}{2}$

B) $a=\frac{1}{2}$

C) $a=-2$

D) $a=2$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 14. (4pkt) Punkty $A=(2,0)$ i $B=(12,0)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$. Wierzchołek $C$ leży na prostej $y=x$. Oblicz współrzędne punktu $C$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu $C$.
Każdy punkt w układzie współrzędnych możemy opisać jako $C=(x;y)$. W treści zadania mamy jednak podaną bardzo ważną informację, która mówi nam że punkt $C$ leży na prostej $y=x$. Możemy więc podstawić "iksa" pod drugą współrzędną punktu $C$, dzięki czemu otrzymamy współrzędne $C=(x;x)$. To nam bardzo uprości rozwiązanie tego zadania, bo w ten sposób pozbyliśmy się już jednej niewiadomej. Całą resztę możemy już obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu $C$ z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
Długość poszczególnych odcinków (np. odcinka $AB$) w układzie współrzędnych możemy opisać wzorem:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

W Twierdzeniu Pitagorasa musimy każdą wartość podnieść do kwadratu, więc pierwiastek z powyższego równania zniknie nam w trakcie obliczeń. Przykładowo:
$$|AB|^2=(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2$$

Z treści zadania wynika, że przeciwprostokątną jest odcinek $AB$, tak więc:
$$\color{orange}{|AC|^2}+\color{blue}{|BC|^2}=\color{green}{|AB|^2} \\
\color{orange}{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}+\color{blue}{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}=\color{green}{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiamy współrzędne: $A=(2,0)$, $B=(12,0)$ oraz $C=(x;x)$:
$$(x-2)^2+(x-0)^2+(x-12)^2+(x-0)^2=(12-2)^2+(0-0)^2 \\
x^2-4x+4+x^2+x^2-24x+144+x^2=100 \\
4x^2-28x+48=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Korzystając z metody delty otrzymamy:
Współczynniki: $a=4,\;b=-28,\;c=48$
$$Δ=b^2-4ac=(-28)^2-4\cdot4\cdot48=784-768=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-28)-4}{2\cdot4}=\frac{28-4}{8}=\frac{24}{8}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-28)+4}{2\cdot4}=\frac{28+4}{8}=\frac{32}{8}=4$$

Krok 4. Ustalenie współrzędnych punktu $C$.
Nie możemy odrzucić żadnego z otrzymanych rozwiązań równania kwadratowego z trzeciego kroku, a to oznacza że będziemy mieli dwa rozwiązania tego zadania. Zgodnie z tym co sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku - współrzędne punktu $C$ określić możemy jako $(x;x)$, zatem:
$$C=(3;3) \quad\lor\quad C=(4;4)$$

Zadanie 15. (2pkt) Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach $A=(3,8)$, $B=(1,2)$, $C=(6,7)$ jest prostokątny.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Zadanie 16. (4pkt) Punkty $A=(1,5)$, $B=(14,31)$, $C=(4,31)$ są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $D$. Oblicz długość odcinka $BD$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego i określenie danych potrzebnych do rozwiązania zadania.
Nie musimy dokładnie zaznaczać wszystkiego na układzie współrzędnych, ale dobrze jest chociaż poglądowo narysować sobie ułożenie tego trójkąta, dzięki czemu łatwiej nam będzie wykonać późniejsze obliczenia.

matura z matematyki

Znamy współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $C$, więc za pomocą wzoru moglibyśmy obliczyć równanie każdej prostej, która przechodzi przez dwa wybrane przez nas punkty. Gdybyśmy znali wzory prostych $AB$ oraz $CD$ i stworzyli z nich układ równań, to wynik jaki byśmy otrzymali byłby punktem przecięcia się tych prostych, a więc byłyby to współrzędne punktu $D$, którego nam brakuje.

Ustalmy więc teraz jak wyznaczyć wzory prostych $AB$ oraz $CD$.
• Wzór na prostą $AB$ wyznaczymy tworząc bardzo prosty układ równań składający się z dwóch równań funkcji $y=ax+b$, gdzie w pierwszym równaniu za $x$ oraz $y$ podstawimy współrzędne punktu $A$, a w drugim równaniu współrzędne punktu $B$. Ewentualnie moglibyśmy skorzystać ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, który znajduje się w tablicach.
• Wzór na prostą $CD$ wyznaczymy korzystając z tego, że jest to prosta prostopadła do prostej $AB$, a więc iloczyn współczynników prostych $CD$ oraz $AB$ będzie musiał być równy $-1$.

Po ustaleniu współrzędnych punktu $D$ bez problemu obliczymy długość odcinka $BD$ ze wzoru:
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2}$$

Teraz czas na obliczenia tych elementów, które wypisaliśmy sobie w naszym planie działania.

Krok 2. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty $A$ oraz $B$.
Pod ogólny wzór funkcji $y=ax+b$ podstawiamy współrzędne punktu $A$ oraz $B$, tworząc układ równań:
\begin{cases}
5=a+b \\
31=14a+b
\end{cases}

Aby rozwiązać ten układ równań najprościej jest odjąć pierwsze równanie od drugiego, albo też do drugiego równania podstawić wartość $b=5-a$ wynikającą z pierwszego równania. W obydwu przypadkach dojdziemy do tego, że $13a=26$, więc $a=2$.

Bez problemu wyliczymy także współczynnik $b$, korzystając chociażby z równania $b=5-a$, a więc $b=5-2=3$.

Wyszło nam, że wzór funkcji przechodzącej przez nasze punkty $A$ oraz $B$ to $y=2x+3$.

Krok 3. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty $C$ oraz $D$.
Ustaliliśmy już, że prosta $CD$ będzie prostopadła do prostej $AB$. To oznacza, że iloczyn ich współczynników $a$ będzie równy $-1$. Skoro współczynnik $a$ prostej $AB$ był równy $2$, to współczynnik $a$ prostej $CD$ będzie równy:
$$a\cdot2=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wzór prostej $CD$ ma więc postać $y=-\frac{1}{2}x+b$.

Musimy jeszcze obliczyć współczynnik $b$, a zrobimy to podstawiając do wzoru funkcji współrzędne punktu $C=(4,31)$, stąd też:
$$31=-\frac{1}{2}\cdot4+b \\
31=-2+b \\
b=33$$

W związku z tym prosta $CD$ wyraża się równaniem $y=-\frac{1}{2}x+33$.

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu $D$.
Musimy teraz wyznaczyć współrzędne punktu $D$, a zrobimy to korzystając z tego, że proste $AB$ oraz $CD$ przecinają się w punkcie $D$. Współrzędne punktu $D$ otrzymamy więc rozwiązując prosty układ równań, który składa się z równań prostych $AB$ oraz $CD$:
\begin{cases}
y=2x+3 \\
y=-\frac{1}{2}x+33
\end{cases}

Metodą podstawiania podstawiamy za $y$ wartość z pierwszego równania do drugiego i otrzymujemy równanie:
$$2x+3=-\frac{1}{2}x+33 \\
2\frac{1}{2}x=30 \\
x=12$$

Obliczmy jeszcze współrzędną $y$:
$$y=2x+3 \\
y=2\cdot12+3 \\
y=27$$

W ten sposób wyznaczyliśmy współrzędne punktu $D=(12;27)$.

Krok 5. Wyznaczenie długości odcinka $|BD|$.
Z tablic maturalnych możemy odczytać wzór na długość odcinka (a w zasadzie na odległość między dwoma punktami), dzięki któremu po podstawieniu odpowiednich współrzędnych wyznaczymy długość odcinka $BD$:
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2} \\
|BD|=\sqrt{(12-14)^2+(27-31)^2} \\
|BD|=\sqrt{4+16} \\
|BD|=\sqrt{20} \\
|BD|=2\sqrt{5}$$

Zadanie 17. (2pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach $A=(-2,2)$ i $B=(2,10)$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$.
Aby wyznaczyć prostą w postaci $y=ax+b$ przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:
\begin{cases}
2=-2a+b \\
10=2a+b
\end{cases}

Układ możemy rozwiązać dowolną metodą, najprościej jest go chyba jednak odjąć od siebie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$-8=-4a \\
a=2$$

Znając współczynnik $a$ możemy jeszcze wyliczyć współczynnik $b$ z dowolnego równania. Zatem:
$$2=-2\cdot2+b \\
2=-4+b \\
b=6$$

Wiemy już, że nasza prosta przechodząca przez punkty $A$ i $B$ opisana jest wzorem w postaci: $y=2x+6$.

Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka $AB$.
Symetralna odcinka dzieli dany odcinek na dwie równe części. Jeśli poznamy dokładne współrzędne tego punktu przecięcia się symetralnej z odcinkiem, to będziemy już bardzo blisko rozwiązania. Współrzędne środka odcinka $AB$ obliczmy w następujący sposób:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-2+2}{2};\frac{2+10}{2}\right) \\
S=\left(\frac{0}{2};\frac{12}{2}\right) \\
S=(0;6)$$

Krok 3. Wyznaczenie równania symetralnej.
Symetralna musi być prostopadła względem prostej, której równanie wyznaczyliśmy sobie w pierwszym kroku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników $a$ musi być równy $-1$. To oznacza, że skoro równanie prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ ma współczynnik $a=2$, to nasza symetralna ma na pewno współczynnik $a=-\frac{1}{2}$ (bo $2\cdot-\frac{1}{2}=-1$). W tym momencie wiemy już, że nasza prosta jest opisana wzorem $y=-\frac{1}{2}x+b$. Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik $b$.

W drugim kroku obliczyliśmy, że symetralna przechodzi przez punkt $S=(0;6)$. Już z samego tego faktu możemy odczytać współczynnik $b$ tej prostej prostopadłej, bo współczynnik $b$ mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina oś $Oy$. Bez liczenia możemy więc stwierdzić, że $b=6$. Gdybyśmy jednak tego nie dostrzegli (albo gdyby ten punkt miał inne współrzędne), to współczynnik $b$ możemy wyliczyć podstawiając po prostu współrzędne tego punktu do równania prostej $y=-\frac{1}{2}x+b$, czyli:
$$6=-\frac{1}{2}\cdot0+b \\
6=0+b \\
b=6$$

Nasza symetralna jest więc opisana wzorem $y=-\frac{1}{2}x+6$.

Zadanie 18. (4pkt) Punkty $A=(2,11)$, $B=(8,23)$, $C=(6,14)$ są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $D$. Oblicz współrzędne punktu $D$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Naszkicujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy w nim współrzędne punktów z treści zadania.

matura z matematyki

Najlepszą metodą na znalezienie współrzędnych punktu $D$ będzie chyba wyznaczenie najpierw równania prostej $AB$, później wyznaczenie równania prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt $C$, no i na sam koniec rozwiązanie układu równań złożonego z tych dwóch prostych.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej $AB$.
Do wyznaczenia równania prostej przechodzącej przez punkt $A=(x_{A};y_{A})$ oraz $B=(x_{B};y_{B})$ możemy posłużyć się prostym wzorem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

Podstawiając współrzędne punktów $A=(2,11)$ oraz $B=(8,23)$ otrzymamy:
$$(y-11)(8-2)-(23-11)(x-2)=0 \\
(y-11)\cdot6-12\cdot(x-2)=0 \\
6y-66-12x+24=0 \\
6y-12x-42=0 \\
6y=12x+42 \quad\bigg/:6 \\
y=2x+7$$

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do $AB$, przechodzącej przez punkt $C$.
Szukamy prostej prostopadłej w postaci $y=ax+b$. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych $a$ musi być równy $-1$. Skoro więc pierwsza prosta ma $a=2$, to druga musi mieć:
$$a\cdot2=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła przyjmuje postać $y=-\frac{1}{2}x+b$. Aby wyznaczyć brakujący współczynnik $b$ wystarczy podstawić współrzędne punktu $C=(6;14)$, który przez tą prostą przechodzi. Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{2}x+b \\
14=-\frac{1}{2}\cdot6+b \\
14=-3+b \\
b=17$$

To oznacza, że prosta prostopadła ma wzór $y=-\frac{1}{2}x+17$.

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu $D$.
Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych są współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. W naszym przypadku będą to poszukiwane współrzędne punktu $D$, zatem:
\begin{cases}
y=2x+7 \\
y=-\frac{1}{2}x+17
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, możemy podstawić wartość $y=2x+7$ z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$2x+7=-\frac{1}{2}x+17 \quad\bigg/\cdot2 \\
4x+14=-x+34 \\
5x=20 \\
x=4$$

Podstawiając wartość $x=4$ do jednego z równań obliczymy drugą współrzędną:
$$y=2\cdot4+7 \\
y=8+7 \\
y=15$$

Współrzędne poszukiwanego punktu to w takim razie $D=(4;15)$.

Zadanie 19. (4pkt) Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$ oraz $A=(2,1)$ i $C=(1,9)$. Podstawa $AB$ tego trójkąta jest zawarta w prostej $y=\frac{1}{2}x$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

matura z matematyki

Nasz rysunek możemy wykonać dość dokładnie, dzięki czemu będziemy w stanie zweryfikować później poprawność naszych obliczeń.

Krok 2. Określenie współrzędnych punktu $B$.
Współrzędne każdego punktu możemy określić jako $(x;y)$. Z treści zadania wiemy, że przez punkt $B$ przechodzi prosta o równaniu $y=\frac{1}{2}x$. Możemy więc podstawić wartość tego "igreka" za współrzędną $y$ i zapisać współrzędne tego punktu jako: $B=(x;\frac{1}{2}x)$.

Dzięki temu pozbyliśmy się niewiadomej $y$, a to nam znacznie ułatwi dotarcie do końcowego rozwiązania.

Krok 3. Zapisanie równania wynikającego z trójkąta równoramiennego.
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Wiemy, że boki $AC$ oraz $BC$ mają tą samą długość, dlatego między miarami tych odcinków możemy postawić znak równości. Znamy współrzędne $A$ i $C$, zapisaliśmy też sobie współrzędne punktu $B$ z wykorzystaniem jednej niewiadomej, zatem:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(1-2)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+\left(9-\frac{x}{2}\right)^2 \\
1+64=1-2x+x^2+81-9x+\frac{x^2}{4} \\
65=x^2+\frac{1}{4}x^2-11x+82 \\
\frac{5}{4}x^2-11x+17=0 \quad\bigg/\cdot4 \\
5x^2-44x+68=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: $a=5,\;b=-44,\;c=68$
$$Δ=b^2-4ac=(-44)^2-4\cdot5\cdot68=1936-1360=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)-24}{2\cdot5}=\frac{44-24}{10}=\frac{20}{10}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)+24}{2\cdot5}=\frac{44+24}{10}=\frac{68}{10}$$

Krok 5. Analiza otrzymanych rozwiązań i określenie końcowych współrzędnych punktu $B$.
Dla $x=2$ otrzymaliśmy współrzędną punktu $A$. To nie jest więc to rozwiązanie, które nas interesuje, choć też jest dla nas ważne, bo przy okazji potwierdza poprawność naszych obliczeń (wszak punkt $A$ także leży na prostej $y=\frac{1}{2}x$).

Współrzędne punktu $B$ otrzymaliśmy z drugiego rozwiązania, czyli $x=\frac{68}{10}$. Brakuje nam jeszcze współrzędnej $y$, ale zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie w drugim kroku i zgodnie z równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt:
$$y=\frac{1}{2}x \\
y=\frac{1}{2}\cdot\frac{68}{10} \\
y=\frac{68}{20}$$

Otrzymane wyniki możemy jeszcze skrócić i wyłączyć z nich całość, tak więc:
$$x=\frac{68}{10}=6\frac{4}{5} \\
y=\frac{68}{20}=3\frac{2}{5}$$

Poszukiwane współrzędne to $B=\left(6\frac{4}{5};3\frac{2}{5}\right)$.

Zadanie 20. (4pkt) Punkty $A=(-1,-5)$, $B=(3,-1)$ i $C=(2,4)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Oblicz pole tego równoległoboku.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
To zadanie jest chyba jednym z najbardziej rozbudowanych zadań jakie pojawiły się na maturze w ciągu ostatnich lat, zwłaszcza jeśli chcielibyśmy to obliczać standardową metodą. Prześledźmy sobie ten najbardziej typowy tok rozwiązania tego zadania, a ja za chwilę powiem Ci jak można to zadanie zrobić znacznie szybciej.

matura z matematyki

Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych punkty $A$, $B$ oraz $C$. Możemy też sobie mniej lub bardziej dokładnie zaznaczyć punkt $D$, tak aby wiedzieć jak wygląda ten równoległobok. Nie mniej jednak punkt $D$ nam nie będzie potrzebny, bo do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy znać długość podstawy (czyli $|AB|$) oraz wysokość trójkąta. Z tą wysokością problem jest taki, że znajduje się ona poza figurą i chcąc poznać jej długość musimy zaznaczyć sobie nowy punkt $E$, którego współrzędnych nie znamy. O punkcie $E$ Wiemy tylko tyle, że leży na pewno na przedłużeniu odcinka $AB$ i to pozwoli nam wyznaczyć jego współrzędne. Ogólnie proces liczenia będzie bardzo długi i żmudny:
- musimy wyznaczyć wzór prostej przechodzącej przed punkty $A$ i $B$ (ze wzoru lub z układu równań)
- musimy wyznaczyć wzór prostej prostopadłej, która przejdzie przez punkt $C$
- na przecięciu się tych dwóch prostych znajdzie się ten problematyczny punkt $E$ (rozwiązując układ równań poznamy jego współrzędne)
- musimy obliczyć długość odcinka $AB$
- musimy obliczyć długość odcinka $CE$
- no i na koniec musimy wymnożyć wartości długości tych dwóch odcinków obliczając tym samym pole

Rozwiązywanie tego w ten sposób zajmie naprawdę dużo czasu, a i o pomyłkę będzie dość prosto. Awaryjnie można też byłoby skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej, dzięki czemu moglibyśmy pominąć obliczenie współrzędnych punktu $E$. Wtedy podstawilibyśmy do tego wzoru współrzędne punktu $C$ oraz wzór prostej przechodzącej przez odcinek $AB$.

Teoretycznie można byłoby się też pokusić o pewne uproszczenie, wyznaczając długości odcinków $AB$ oraz $CE$ z Twierdzenia Pitagorasa i licząc po kratkach poszczególne długości przyprostokątnych.

Wszystkie problemy jednak znikają kiedy dostrzeżemy, że wystarczyłoby obliczyć pole trójkąta $ABC$ i pomnożyć tą wartość przez $2$, wszak przekątna równoległoboku dzieli figurę na dwa trójkąty o równej powierzchni. I już za sam fakt dostrzeżenia tego można było na maturze otrzymać jeden punkt. Pytanie tylko jak wyliczyć pole tego trójkąta. I tu z pomocą przychodzi nam wzór z tablic, o którym mało kto wie, bo jest bardzo rzadko stosowany.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta $ABC$.
W tablicach odczytujemy wzór na pole trójkąta, znając współrzędne wszystkich trzech punktów:
Pole trójkąta $ABC$ o znanych współrzędnych wierzchołków wyliczymy z następującego wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})|$$

Podstawiając odpowiednie współrzędne otrzymamy:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|(3-(-1))(4-(-5))-(-1-(-5))(2-(-1))| \\
P=\frac{1}{2}\cdot|4\cdot9-4\cdot3| \\
P=\frac{1}{2}\cdot|36-12| \\
P=\frac{1}{2}\cdot24 \\
P=12$$

Krok 3. Obliczenie pola równoległoboku.
Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy, przekątna $AC$ dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty, tak więc skoro znamy pole trójkąta $ABC$ to wystarczy teraz wynik ten pomnożyć przez $2$ i otrzymamy pole równoległoboku:
$$P=2\cdot12 \\
P=24$$

Zadanie 21. (4pkt) Podstawą trójkąta równoramiennego $ABC$ jest bok $AB$, gdzie $A=(2,1)$ i $B=(5,2)$. Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2x-y-3=0$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie poszczególne punkty w układzie współrzędnych oraz narysujmy prostą, której wzór jest podany w treści zadania i która zawiera się w jednym z ramion. Równanie naszej prostej po przekształceniu do postaci kierunkowej możemy zapisać jako $y=2x-3$, co oznacza że współczynnik kierunkowy prostej jest dodatni. Prosta jest więc rosnąca i to właśnie na niej znajdzie się poszukiwany przez nas punkt $C$ i jak się za chwilę okaże, znajdzie się tam też punkt $A$.

matura z matematyki

Krok 2. Wyznaczenie symetralnej odcinka $AB$.
Generalnie naszym celem jest wyznaczenie współrzędnych wierzchołka $C$. Aby go wyznaczyć musimy znać wzory dwóch prostych, z których zbudujemy układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne przecięcia się prostych (czyli współrzędne punktu $C$). Jedną prostą już mamy (jest podana w treści zadania) i teraz musimy jakoś wyznaczyć drugą prostą, która przez ten punkt $C$ przejdzie. Oczywiście nie wyznaczymy wzoru prostej $BC$, no bo właśnie brakuje nam tej współrzędnej $C$. Co wiec możemy zrobić?

Możemy wyznaczyć równanie prostej, która jest prostopadła do odcinka $AB$ i która przechodzi przez środek tego odcinka. Ta prosta będzie na pewno przechodzić przez punkt $C$ bo będzie to tak naprawdę wysokość trójkąta równoramiennego, a wiemy że w trójkątach równoramiennych wysokość pada dokładnie na środek podstawy. Czyli chcąc standardowo rozwiazać to zadanie moglibyśmy wyznaczyć wzór prostej $AB$ (bo znamy odpowiednie wierzchołki), następnie wyznaczylibyśmy środek tego odcinka (wyszłoby nam, że $S=(\frac{7}{2};\frac{3}{2})$) no i na sam koniec wyznaczylibyśmy wzór prostej prostopadłej do prostej $AB$, która przechodzi przez punkt $S$. Ja jednak pokażę Ci jak można byłoby taką symetralną wyznaczyć nieco prościej:

Wiemy, że jest to trójkąt równoramienny w którym $|AC|=|CB|$. Skoro znamy współrzędne punktów $A$ oraz $B$, to możemy je podstawić do wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AC|=|CB| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^2+(y_{B}-y_{C})^2}$$

Dla przejrzystości obliczeń podnieśmy do potęgi obie strony równania i przyjmijmy że $x_{c}=x$ oraz $y_{c}=y$.
$$\require{cancel}
(x-x_{A})^2+(y-y_{A})^2=(x_{B}-x)^2+(y_{B}-y)^2 \\
(x-2)^2+(y-1)^2=(5-x)^2+(2-y)^2 \\
\cancel{x^2}-4x+\cancel{4}+\cancel{y^2}-2y+1=25-10x+\cancel{x^2}+\cancel{4}-4y+\cancel{y^2} \\
2y=-6x+24 \quad\bigg/:2 \\
y=-3x+12$$

Udało nam się otrzymać kolejny wzór prostej, która przechodzi przed punkt $C$ i jest to właśnie symetralna odcinka $AB$.

Krok 3. Obliczenie współrzędnych punktu $C$.
Z wyznaczonego w drugim kroku równania prostej i z równania podanego w treści zadania (który po przekształceniu jest równy $y=2x-3$) możemy stworzyć taki mały układ równań. Obrazowo rzecz ujmując - te dwie proste przetną się w punkcie $C$, a wiemy z interpretacji geometrycznej układu równań, że miejsce przecięcia się dwóch prostych jest właśnie rozwiązaniem układu równań. Zatem:
\begin{cases}
y=-3x+12 \\
y=2x-3
\end{cases}

Rozwiązując metodę podstawiania otrzymamy:
$$-3x+12=2x-3 \\
15=5x \\
x=3$$

Znając współrzędną $x$ możemy już bez problemu obliczyć współrzędną $y$:
$$y=2x-3 \\
y=2\cdot3-3 \\
y=3$$

To oznacza, że poszukiwane przez nas współrzędne to $C=(3;3)$.

Zadanie 22. (4pkt) Punkty $A=(3,3)$ i $B=(9,1)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, a punkt $M=(1,6)$ jest środkiem boku $AC$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej $AB$ z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka $C$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty z treści zadania i od razu oszacujmy mniej więcej gdzie znajdzie się punkt $C$ (z którego to wierzchołka musimy poprowadzić później wysokość trójkąta) oraz punkt $D$, którego współrzędnych poszukujemy.

matura z matematyki

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu $C$.
Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka $AC$, bowiem znamy współrzędne środka $M$ i znamy też współrzędne punktu $A$, zatem jedyną niewiadomą będą w tej sytuacji współrzędne punktu $C$. Obliczmy po kolei każdą ze współrzędnych:
$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
1=\frac{3+x_{C}}{2} \\
2=3+x_{C} \\
x_{C}=-1 \\
\text{oraz}\\
y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
6=\frac{3+y_{C}}{2} \\
12=3+y_{C} \\
y_{C}=9$$

Współrzędne punktu $C$ to w takim razie $C=(-1;9)$.

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$.
Potrzebujemy znać równanie prostej $AB$, bo to na jej przedłużeniu znajdzie się poszukiwany przez nas punkt $D$. Możemy tutaj skorzystać ze wzoru na równanie prostej, zatem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-3)(9-3)-(1-3)(x-3)=0 \\
(y-3)6-(-2)(x-3)=0 \\
6y-18-(-2x+6)=0 \\
6y-18+2x-6=0 \\
6y+2x-24=0 \\
6y=-2x+24 \\
y=-\frac{2}{6}x+4 \\
y=-\frac{1}{3}x+4$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do $y=-\frac{1}{3}x+4$ przechodzącej przez punkt $C$.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy $-1$. Skoro pierwsza prosta ma $a=-\frac{1}{3}$, to poszukiwana prosta prostopadła ma na pewno współczynnik kierunkowy równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\
a=3$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła ma wzór $y=3x+b$. Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik $b$, tak aby ta prosta przechodziła dokładnie przez punkt $C$. Aby to osiągnąć Wystarczy podstawić do tego wzoru współrzędne punktu $C$ (obliczyliśmy je sobie w drugim kroku):
$$y=3x+b \\
9=3\cdot(-1)+b \\
9=-3+b \\
b=12$$

Poszukiwana prosta prostopadła wyraża się więc wzorem $y=3x+12$.

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu $D$.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych jest punkt ich przecięcia się. Tworząc więc układ równań z dwóch prostych (których wzory sobie wyznaczyliśmy w poprzednich krokach) obliczymy poszukiwane współrzędne punktu $D$.
\begin{cases}
y=-\frac{1}{3}x+4 \\
y=3x+12
\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-\frac{1}{3}x+4=3x+12 \quad\bigg/\cdot3 \\
-x+12=9x+36 \\
-10x=24 \\
x=-2,4$$

Drugą współrzędną obliczymy podstawiając $x=-2,4$ do jednego z równań:
$$y=3\cdot(-2,4)+12 \\
y=-7,2+12 \\
y=4,8$$

To oznacza, że współrzędnymi poszukiwanego punktu są $D=(-2,4;\;4,8)$.

Zadanie 23. (2pkt) W układzie współrzędnych dane są punkty $A=(-43,-12)$, $B=(50,19)$. Prosta $AB$ przecina oś $Ox$ w punkcie $P$. Oblicz pierwszą współrzędną punktu $P$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Zadanie 24. (4pkt) Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Ponadto wiadomo, że $A=(-2,4)$ i $B=(6,-2)$. Wierzchołek $C$ należy do osi $Oy$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Zadanie 25. (4pkt) Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach $A=(-2,2)$, $B=(6,-2)$, $C=(10,6)$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych trzy punkty podane w treści zadania oraz dorysujmy oś symetrii tego trójkąta:

matura z matematyki

Skąd wiemy, że ta oś symetrii przechodzi przez wierzchołek $B$? Skoro trójkąt ma jedną oś symetrii (a tak wynika z treści zadania) to spodziewamy się, że jest to trójkąt równoramienny. Już po rysunku szkicowym widać, że parą ramion równej długości będą ramiona $AB$ oraz $BC$, a więc w takim przypadku symetralna będzie przechodzić przez wierzchołek $B$. Jeśli jednak nie jesteśmy co do tego przekonani, to zawsze możemy sprawdzić długości każdego z boków, używając wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-x_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(6-(-2))^2+(-2-2)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80} \\
|BC|=\sqrt{(10-6)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} \\
|AC|=\sqrt{(10-(-2))^2+(6-2)^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}$$

Teraz już jesteśmy pewni, że jest to trójkąt równoramienny i że na pewno istnieje tylko jedna oś symetrii, która przechodzi przez punkt $B$.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu $D$.
Punkt $D$ jest środkiem odcinka $AC$, bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na dwa równe odcinki. Tak więc aby wyznaczyć współrzędne tego punktu $D$ skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-2+10}{2}=\frac{8}{2}=4 \\
y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$$

W związku z tym współrzędnymi naszego punktu są $D=(4;4)$.

Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta.
Znajomość współrzędnych punktu $D$ znacznie ułatwia znalezienie równania osi symetrii, bo wystarczy że skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Prostą przechodzącą przez dwa punkty $B=(6;-2)$ oraz $D=(4;4)$ możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0 \\
(y-(-2))(4-6)-(4-(-2))(x-6)=0 \\
(y+2)(-2)-6(x-6)=0 \\
-2y-4-6x+36=0 \\
-2y-6x+32=0 \\
-2y=6x-32 \quad\bigg/:(-2)\\
y=-3x+16$$

Zadanie 26. (2pkt) Dane są proste o równaniach $y=x+2$ oraz $y=-3x+b$, które przecinają się w punkcie leżącym na osi $Oy$ układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi $Ox$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Zadanie 27. (4pkt) Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego $ABC$: $A=(-3;-3)$ i $C=(2;7)$ oraz prosta o równaniu $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$, zawierająca przeciwprostokątną $AB$ tego trójkąta.

matura z matematyki

Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ tego trójkąta i długość odcinka $AB$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

matura z matematyki

Do zadania możemy podejść tak naprawdę na dwa sposoby. Pierwszy sposób polegałby na tym, że wyznaczylibyśmy sobie równanie prostej przechodzącej przez punkty $AC$, a następnie wyznaczylibyśmy równanie prostej prostopadłej (czyli poznalibyśmy wzór prostej $BC$). Znając wzór prostej $BC$ łatwo wyznaczylibyśmy współrzędne punktu $B$, bo to będzie punkt przecięcia się prostej $BC$ oraz prostej której wzór jest podany w treści zadania. To jest taki standardowy sposób rozwiązywania tego typu zadań.

My jednak policzymy sobie to nieco sprytniej i zastosujemy tutaj drugi sposób, który wykorzystuje Twierdzenie Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu $B$ z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
Do wyznaczenia współrzędnych punktu $B$ wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Analogicznie możemy wyznaczyć w ten sposób długości odcinków $AC$ czy też $BC$.

Współrzędne punktów $A$ i $C$ są nam znane, więc możemy w prosty sposób wyznaczyć długość odcinka $AC$. Bez znajomości współrzędnych punktu $B$ nie będziemy w stanie obliczyć natomiast długości odcinków $AB$ oraz $BC$, ale przy wykorzystaniu Twierdzenia Pitagorasa będziemy w stanie utworzyć równanie, które pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu $B$. Dla przejrzystości obliczeń przyjmijmy, że współrzędne punktu $B$ to $x$ oraz $y$:
$$\require{cancel}
|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2 \\
(x-2)^2+(y-7)^2+(2-(-3))^2+(7-(-3))^2=(x-(-3))^2+(y-(-3))^2 \\
(x-2)^2+(y-7)^2+5^2+10^2=(x+3)^2+(y+3)^2 \\
\cancel{x^2}-4x+4+\cancel{y^2}-14y+49+25+100=\cancel{x^2}+6x+9+\cancel{y^2}+6y+9 \\
-4x-14y+178=6x+6y+18 \\
10x+20y=160 \quad\bigg/:10 \\
x+2y=16$$

Tak na marginesie to otrzymaliśmy w ten sposób równanie prostej $BC$. Gdybyśmy chcieli, to moglibyśmy je jeszcze przekształcić i zapisać w postaci kierunkowej, czyli $y=-\frac{1}{2}x+8$.

Wracając do otrzymanego równania $x+2y=16$, to teraz pod wartość $y$ możemy podstawić równanie prostej na której leży nasz punkt $B$, czyli $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$ i otrzymamy:
$$x+2\cdot\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\right)=16 \\
x+\frac{6}{4}x-\frac{6}{4}=16 \quad\bigg/\cdot4 \\
4x+6x-6=64 \\
10x=70 \\
x=7$$

Podstawiając teraz wartość tej współrzędnej do równania prostej z treści zadania wyznaczymy także wartość współrzędnej $y$:
$$y=\frac{3}{4}\cdot7-\frac{3}{4} \\
y=\frac{21}{4}-\frac{3}{4} \\
y=\frac{18}{4}=4\frac{1}{2}$$

Otrzymaliśmy w ten sposób współrzędne $B=(7;4\frac{1}{2})$.

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka $AB$.
Znając współrzędne punktów $A$ i $B$ obliczymy długość odcinka $AB$ z wykorzystaniem wzoru o którym mówiliśmy sobie w drugim kroku:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{\left(7-(-3)\right)^2+\left(4\frac{1}{2}-(-3)\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{10^2+7\frac{1}{2}^2} \\
|AB|=\sqrt{100+\left(\frac{15}{2}\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{\frac{400}{4}+\frac{225}{4}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{625}{4}} \\
|AB|=\frac{25}{2}=12\frac{1}{2}$$

Zadanie 28. (5pkt) Dane są punkty $A=(-4,0)$ i $M=(2,9)$ oraz prosta $k$ o równaniu $y=-2x+10$. Wierzchołek $B$ trójkąta $ABC$ to punkt przecięcia prostej $k$ z osią $Ox$ układu współrzędnych, a wierzchołek $C$ jest punktem przecięcia prostej $k$ z prostą $AM$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zróbmy sobie prosty szkic tej całej sytuacji i zaznaczmy w układzie współrzędnych dane z treści zadania:

matura z matematyki

Musimy wyznaczyć współrzędne punktu $B$ (potrzebne będą do wyznaczenia długości podstawy) oraz współrzędne punktu $C$ (potrzebne do wyznaczenia wysokości trójkąta).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu $B$.
Wyznaczenie współrzędnych tego punktu jest stosunkowo dość proste, bo jest to tak naprawdę miejsce zerowe prostej $k$ (tak wynika z treści zadania). Można więc powiedzieć, że $B=(x;0)$ zatem podstawiając te współrzędne do prostej o równaniu $y=-2x+10$ otrzymamy:
$$-2x+10=0 \\
-2x=-10 \\
x=5$$

To oznacza, że $B=(5;0)$.

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty $A$ oraz $M$.
Skoro znamy współrzędne obydwu tych punktów to możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej albo też zbudować prosty układ równań. Szybciej będzie chyba skorzystać ze wzoru:
$$(y-y_{A})(x_{M}-x_{A})-(y_{M}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-0)(2-(-4))-(9-0)(x-(-4))=0 \\
(y-0)(2+4)-9\cdot(x+4)=0 \\
(y-0)\cdot6-9\cdot(x+4)=0 \\
6y-9x-36=0 \\
6y=9x+36 \quad\bigg/:6 \\
y=\frac{3}{2}x+6$$

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu $C$.
Stworzymy układ równań składających się z dwóch prostych, których miejscem przecięcia się są właśnie współrzędne punktu $C$.
\begin{cases}
y=-2x+10 \\
y=\frac{3}{2}x+6
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania otrzymujemy:
$$-2x+10=\frac{3}{2}x+6 \quad\bigg/\cdot2 \\
-4x+20=3x+12 \\
-7x=-8 \\
x=\frac{8}{7}$$

Współrzędną $y$ obliczmy podstawiając wartość $x=\frac{8}{7}$ do jednego z równań:
$$y=-2\cdot\frac{8}{7}+10 \\
y=\frac{-16}{7}+10 \\
y=\frac{-16}{7}+\frac{70}{7} \\
y=\frac{54}{7}$$

Mamy zatem: $C=\left(\frac{8}{7};\frac{54}{7}\right)$.

Krok 5. Obliczenie pola trójkąta.
Do obliczenia pola trójkąta potrzebujemy jeszcze poznać długości podstawy trójkąta i wysokości.
• Długość podstawy trójkąta: $|AB|=5+4=9$ (wynika to bezpośrednio z rysunku - pięć jednostek z punktu $A$ do środka układu współrzędnych plus cztery jednostki ze środka układu współrzędnych do punktu $B$).
• Wysokość trójkąta to tak naprawdę współrzędna igrekowa punktu $C$, czyli $H=\frac{54}{7}$.

Pole trójkąta jest więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot H \\
P=\frac{1}{2}\cdot9\cdot\frac{54}{7} \\
P=\frac{1}{2}\cdot\frac{486}{7} \\
P=\frac{243}{7}=34\frac{5}{7}$$

Zadanie 29. (2pkt) Proste $l$ i $k$ przecinają się w punkcie $A=(0,4)$. Prosta $l$ wyznacza wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu $8$, zaś prosta $k$ – trójkąt o polu $10$. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt $A$ oraz punkty przecięcia prostych $l$ i $k$ z osią $Ox$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Zadanie 30. (5pkt) Dane są wierzchołki trójkąta $ABC$: $A=(2,2)$, $B=(9,5)$ i $C=(3,9)$. Z wierzchołka $C$ poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok $AB$ w punkcie $D$. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $D$ i równoległej do boku $BC$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy zobrazować tą sytuację, zaznaczając poszczególne punkty w układzie współrzędnych.

matura z matematyki

Ustalmy teraz co musimy obliczyć. Chcemy przede wszystkim wyznaczyć współrzędne punktu $D$. Jednak żeby to zrobić, to musimy najpierw wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty $AB$, a następnie musimy znaleźć prostą prostopadłą do tej prostej, która przechodzi przez punkt $C$. Punkt $D$ będzie miejscem przecięcia się tych dwóch prostych. Na sam koniec musimy jeszcze wyznaczyć prostą równoległą do boku $BC$, która przejdzie przez punkt $D$. No to po kolei:

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej $AB$.
Możemy albo skorzystać ze wzoru na prostą przechodzącą przez punkty $AB$, albo ułożyć i rozwiązać układ równań w którym do wzoru ogólnego $y=ax+b$ podstawimy raz współrzędne punktu $A$, a drugi raz współrzędne punktu $B$.
\begin{cases}
2=2a+b \\
5=9a+b
\end{cases}

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-3=-7a \\
a=\frac{3}{7}$$

Znając współczynnik $a$ możemy z dowolnego równania wyznaczyć także współczynnik $b$:
$$2=2\cdot\frac{3}{7}+b \\
2=\frac{6}{7}+b \\
b=\frac{8}{7}$$

To oznacza, że prosta $AB$ jest opisana równaniem $y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}$.

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej $CD$.
Skoro prosta $CD$ jest ma być prostopadła do prostej $AB$, a to znaczy że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy $-1$. Skoro prosta $AB$ ma współczynnik $a=\frac{3}{7}$, to prosta $CD$ ma współczynnik $a$ równy:
$$a\cdot\frac{3}{7}=-1 \\
a=-\frac{7}{3}$$

Wiemy już, że nasza prosta musi się wyrażać wzorem $y=-\frac{7}{3}x+b$. Brakuje nam jeszcze współczynnika $b$, ale skoro prosta przechodzi przez punkt $C$ o znanych nam współrzędnych, to podstawiając te współrzędne do wzoru bez problemu obliczymy brakujący współczynnik:
$$y=-\frac{7}{3}x+b \\
9=-\frac{7}{3}\cdot3+b \\
9=-7+b \\
b=16$$

To oznacza, że prosta $CD$ jest opisana równaniem $y=-\frac{7}{3}x+16$.

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu $D$.
Zgodnie z geometryczną interpretacją układu równań, rozwiązanie układu równań dwóch prostych da wynik będący miejscem przecięcia się tych prostych, czyli w naszym przypadku otrzymamy współrzędne punktu $D$.
\begin{cases}
y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7} \\
y=-\frac{7}{3}x+16
\end{cases}

Podstawiając wartość $y$ z pierwszej funkcji do drugiej otrzymamy:
$$\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}=-\frac{7}{3}x+16 \quad\bigg/\cdot21 \\
9x+24=-49x+336 \\
58x=312 \\
x=\frac{312}{58}=\frac{156}{29}$$

Podstawiajac wartość $x=\frac{156}{29}$ do dowolnego z równań zapisanego wcześniej układu (do drugiego będzie chyba łatwiej, bo tam mamy tylko jeden ułamek) wyznaczymy współrzędną $y$:
$$y=-\frac{7}{3}\cdot\frac{156}{29}+16 \\
y=-\frac{1092}{87}+16 \\
y=-\frac{364}{29}+16 \\
y=-\frac{364}{29}+\frac{464}{29} \\
y=\frac{100}{29}$$

Zatem $D=\left(\frac{156}{29};\frac{100}{29}\right)$.

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej $BC$.
Zanim wyznaczymy prostą równoległą do prostej $BC$, to musimy poznać równanie tej prostej $BC$. Wyznaczymy je dokładnie w ten sam sposób co równanie prostej $AB$ z kroku drugiego.
\begin{cases}
5=9a+b \\
9=3a+b
\end{cases}

Odejmujemy równanie stronami i otrzymujemy:
$$-4=6a \\
a=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$$

I w zasadzie tyle nam wystarczy, nie potrzebujemy już obliczać współczynnika $b$. Wystarczy nam sam współczynnik $a$ bo to właśnie on jest potrzebny do wyznaczenia prostej równoległej.

Krok 6. Wyznaczenie równania prostej równoległej przechodzącej przez punkt $D$.
I to jest już ostatnia rzecz którą musimy zrobić - czyli wyznaczyć wzór prostej równoległej do $BC$, która przechodzi przez punkt $D$. Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik $a$. My w poprzednim punkcie ten współczynnik sobie wyznaczyliśmy, zatem wiemy już, że ta poszukiwana prosta równoległa będzie opisana wzorem:
$$y=-\frac{2}{3}x+b$$

Brakuje nam współczynnika $b$, ale bez problemu go wyznaczymy podstawiając do tej prostej współrzędne punktu $D$, które wyliczyliśmy w czwartym kroku, zatem:
$$\frac{100}{29}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{156}{29}+b \\
\frac{100}{29}=-\frac{312}{87}+b \\
\frac{100}{29}=-\frac{104}{29}+b \\
b=\frac{204}{29}$$

Szukana prosta równoległa ma więc równanie: $y=-\frac{2}{3}x+\frac{204}{29}$.

Zadanie 31. (1pkt) Punkty $B=(-2,4)$ i $C=(5,1)$ są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Pole tego kwadratu jest równe:

A) $74$

B) $58$

C) $40$

D) $29$

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Zadanie 32. (2pkt) W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty $A=(2,5)$ i $C=(6,7)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Wyznacz równanie prostej $BD$.

Odpowiedź

Wyjaśnienie

Punktacja

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na początku dobrze jest zaznaczyć sobie w układzie współrzędnych punkty $A$ oraz $C$, a także prostą na której znajdą się brakujące punkty $B$ oraz $D$. I tu pierwsze bardzo ważne spostrzeżenie - przekątne kwadratu przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a więc nasza prosta będzie na pewno przechodzić przez punkt $S$, który jest środkiem odcinka $AC$.

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu $S$.
Skorzystamy ze wzorów, które dostępne są w tablicach matematycznych:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4 \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}=6 \\
S=(4;6)$$

Krok 3. Wyznaczenie wzoru prostej $AC$.
Nasz plan działania jest dość prosty. Wyznaczymy sobie wzór prostej $AC$, a następnie wzór prostej prostopadłej, która będzie przechodzić przez punkt $S$. To właśnie ta prosta prostopadła jest przez nas poszukiwana. Prosta $AC$ przyjmuje postać $y=ax+b$, więc możemy podstawić pod ten wzór najpierw współrzędne punktu $A$, następnie punktu $C$ i w ten sposób stworzymy prosty układ równań:
\begin{cases}
5=2a+b \\
7=6a+b
\end{cases}

Możemy zastosować tu metodę podstawiania, przyjmując z pierwszego równania $b=5-2a$, jednak znacznie prościej i szybciej będzie po prostu odjąć to równanie stronami. Otrzymamy wtedy:
$$-2=-4a \quad\bigg/:(-4) \\
a=\frac{1}{2}$$

Możemy jeszcze wyznaczyć współczynnik $b$ tej prostej, choć nie będzie nam on już potrzebny do dalszych obliczeń. Podstawiamy obliczoną przed chwilą wartość współczynnika $a$ do wybranego równania, otrzymując:
$$5=2\cdot\frac{1}{2}+b \\
5=1+b \\
b=4$$

Wzór prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $C$ to $y=\frac{1}{2}+4$.

Krok 4. Wyznaczenie wzoru prostej $BD$.
Prosta $BD$ będzie na pewno prostopadła do prostej $AC$ oraz będzie przechodzić przez punkt $S$. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych $a$ musi być równy $-1$. Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy równy $\frac{1}{2}$ to druga musi mieć:
$$a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\
a=-2$$

Wiemy już, że prosta $BD$ przyjmuje postać $y=-2x+b$. Brakuje nam jeszcze tylko współczynnika $b$. Wyznaczymy go podstawiając współrzędne punktu $S$, przez który musi ta prosta przechodzić, stąd też:
$$6=-2\cdot4+b \\
6=-8+b \\
b=14$$

Wzór prostej $BD$ to w takim razie $y=-2x+14$.

Podaj swój nick lub imię*

E-mail

29 komentarzy

Inline Feedbacks

View all comments

Kornel

Dlaczego nie możemy zrobić tak samo zadania 21 jak 19 ?

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Kornel

Musisz bardziej sprecyzować pytanie, to chętnie odpowiem :)

Odpowiedz

Natalia

To dla mnie zdecydowanie najcięższe zadania otwarte :( Nie potrafię sobie w ogóle tych figur wyobrazić w układzie współrzędnych, mam nadzieję że na tegorocznej maturze będą łaskawi…

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Natalia

Będzie dobrze, uszy do góry! :)

Odpowiedz

Magdalena

Skąd w zadaniu 25 wiemy, z którego wierzchołka narysować oś symetrii?

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Magdalena

Hmm, w sumie bardzo dobrze to wyjaśniłem w rozwiązaniu zadania ;) Trójkąt równoramienny (a taki jest ten z zadania, co udowodniliśmy sobie na liczbach) ma tylko jedną oś symetrii i wychodzi ona z wierzchołka, który jest przecięciem się ramion trójkąta :)

Odpowiedz

emilia20022

Czy w zadaniu 15 można porównać współczynniki kierunkowe dwóch prostych które zawierają te punkty i to tam wychodzi że są one prostopadłe dlatego kąt będzie równy 90 stopni? Pewnie nieudolnie to wytłumaczyła, ale mam nadzieję, że Pan rozumie :)

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to emilia20022

Dobrze wytłumaczyłaś :) Bardzo ciekawy sposób – jak najbardziej można tak zrobić!

Odpowiedz

Michał

w drugim zadaniu ja wyszedłem założenia robiąc podobne zadania że na końcu zrobił bym z tych pierwiastków z 20 2pierwiastek z 5 i potem pole kwadratu i by mi wyszło 20 Czemu w ten sposób nie można zrobić takowego zadania

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Michał

Jakiś błąd rachunkowy popełniasz, bo wychodzi dokładnie to samo :) Otrzymasz 1/2 razy (2√5)^2, co będzie równe 1/2 razy (4*5), czyli 1/2 razy 20, a więc całość będzie równa 10 :)

Odpowiedz

Dori

Reply to SzaloneLiczby

Jak 1/2 ? Skąd się wzięła tu 1/2?
Dlaczego nie może zastosować zwory na pole ; a*a ? Wtedy wychodzi (2√5)²=20..

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Dori

Jest taki wzór na pole kwadratu: P=1/2*d^2 :) Zawsze można też obliczyć bok kwadratu i wtedy skorzystać ze standardowego wzoru P=a^2. Błąd który popełniasz polega na tym, że 2√5 to długość przekątnej, a nie boku kwadratu :)

Odpowiedz

Łukasz

Dlaczego w zadaniu 30 by obliczyć punkt D musimy to robić z prostych. Przecież punkt D możemy potraktować jako środek i obliczyć je ze wzoru na współrzędne środka odcinka AB

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Łukasz

A skąd wiesz, że punkt D jest środkiem odcinka AB? :) W treści zadania nie napisali nam takiej informacji, nie ma też sugestii że ten trójkąt jest równoramienny…

Odpowiedz

Adrian

Czy w zadaniu 15 można wyznaczyć wzory każdej prostej, a następnie a sprawdzić czy któreś proste są w stosunku do siebie prostopadłe?

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Adrian

Jak najbardziej! To bardzo dobry pomysł na rozwiązanie, choć jest chyba trochę bardziej czasochłonny :)

Odpowiedz

LoLek321

Czy zastosowany wzór w 2. zadaniu, na pole kwadratu z przekątną jest gdzieś zapisany na karcie wzorów matematycznych ?

Last edited 1 rok temu by LoLek321

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to LoLek321

Zdaje się, że nie ma ;) Nie mniej jednak nawet jeśli tego wzoru nie znasz, to można z długości przekątnej obliczyć bok kwadratu i wtedy standardowo pole wyliczysz ze wzoru P=a^2

Odpowiedz

enternity336

W ogóle nie rozumiem tej argumentacji z zadania 16, w jaki sposób wyznaczamy współrzędne punktu b
Musimy teraz wyznaczyć współrzędne punktu D, a zrobimy to korzystając z tego, że proste AB oraz BD przecinają się w punkcie D. Współrzędne punktu D otrzymamy więc rozwiązując prosty układ równań, który składa się z równań prostych AB oraz CD:

Ja to widzę tak że prosta DB jest częścią prostej AB. Dla mnie to jest to samo co powiedzieć prosta AD i DB przecinają się w punkcie D.

Bardzo proszę o wytłumaczenie, bo nie rozumiem tego do końca :(

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to enternity336

Tam powinno być, że proste AB oraz CD (a nie BD) przecinają się w punkcie D ;) Po prostu literówka, już poprawiłem :)

Odpowiedz

ploski.patryk89

Pomyśleć że zostało już tylko dwa tygodnie. Super się ogląda te lekcje. Fajnie wytłumaczone ale jak już są trudniejsze przykłady to nie zawsze wychodzi. Tak w ogóle to nie jestem tegorocznym maturzystom. Szkole kończyłem w 2009 i wtedy niestety oblałem ustny polski a matmy nie było obowiązkowej a że teraz nie ma ustnych to postanowiłem podejść ponownie i tak się uczę od kilku miesięcy i muszę przyznać że nie jest łatwo bo ciężko się uczyć wszystkiego od początku bo że szkoły to się już prawie nic nie pamięta. Czasem się zastanawiam po co mi to było heh Pozdrawiam

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to ploski.patryk89

Powroty po latach są najtrudniejsze, bo człowiek nie ma tego rytmu szkolnego. Jednak już wiele takich przypadków miałem tu na stronie i wiem, że zaliczenie tej matmy jest możliwe – trzymam więc kciuki! :)

Odpowiedz

bemczy

Czy takie zadania za 4pkt na maturze które są rozwiązane dobrze ale bez wykonania rysunku są punktowane za maksymalną ilość punktów?

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to bemczy

Jak najbardziej! Rysunek nie jest konieczny :) Aczkolwiek jak mamy dobry rysunek, a same obliczenia są błędne, to można często dostać jakiś punkt :)

Odpowiedz

Anonymous

Dlaczego w zadaniu 18 korzystany ze wzoru (y−yA)(xB−xA)−(yB−yA)(x−xA)=0
Do wyznaczenia równania prostej przechodzącej przez punkt AB, a w zadaniu 16 korzystalismy ze wzoru y=ax+b tworzylismy uklad rownan i to rozwiazywalismy, dlaczego w zadaniu 18 nie możemy też tak zrobić?

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Anonymous

Możemy rozwiązywać zadania zarówno jednym, jak i drugim sposobem ;) To nie ma znaczenia, częściej stosuję metodę układu równań, ale tutaj akurat skorzystałem ze wzoru, by przypomnieć Wam, że ta metoda też istnieje ;)

Odpowiedz

Anonymous

Reply to SzaloneLiczby

a oki, to spróbuje rozwiązać te zadania, dziękuję za odpowiedź!

Odpowiedz

Michal_Kwita

w zadaniu 24 pozbywasz się obustronnie pierwiastka. Nie wiedziałem, że tak można zrobić, czy to powinno być jakos z boku zapisane?

Odpowiedz

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Michal_Kwita

Jak najbardziej można tak robić – wręcz jest to klasyczne zachowanie przy tego typu zadaniach :) Jeśli chciałbyś to jeszcze ładniej zapisać, to można byłoby na końcu postawić taką dużą kreskę i dać tam małą dwójkę w wykładniku potęgi, co sugerowałoby, że obydwie strony podnosimy do kwadratu, co właśnie spowoduje pozbycie się pierwiastków :)

Odpowiedz