Punkty, odcinki i proste – zadania maturalne

C

Znając współrzędne punktów \(A\) i \(B\) jesteśmy w stanie obliczyć odległość między tymi punktami (czyli w naszym przypadku długość boku trójkąta). W tym celu skorzystamy z następującego wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Podstawiamy współrzędne wierzchołków do powyższego wzoru i obliczamy w ten sposób długość boku \(AB\).
$$|AB|=\sqrt{(3-(-5)^2+(-2-2)^2} \\
|AB|=\sqrt{8^2+(-4)^2} \\
|AB|=\sqrt{64+16} \\
|AB|=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{5}=4\sqrt{5}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta \(ABC\).
Treścią zadania było obliczenie obwodu trójkąta, a nie tylko długości jednego z jego boków. W trójkącie równobocznym wszystkie trójkąty mają tą samą miarę, stąd też:
$$Obw_{ABC}=3\cdot4\sqrt{5}=12\sqrt{5}$$

A

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Znając współrzędne dwóch punktów możemy obliczyć długość danego odcinka za pomocą wzoru:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(-5-(-1))^2+(5-3)^2} \\
|AC|=\sqrt{(-4)^2+2^2} \\
|AC|=\sqrt{16+4} \\
|AC|=\sqrt{20}$$

Warto też dodać, że zgodnie z treścią zadania jest to przekątna naszego kwadratu.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni kwadratu.
Najprościej będzie tutaj skorzystać ze wzoru na pole kwadratu z wykorzystaniem długości przekątnej:
$$P=\frac{1}{2}\cdot d^2 \\
P=\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{20})^2 \\
P=\frac{1}{2}\cdot20 \\
P=10$$

C

Skorzystamy z wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne poszczególnych punktów otrzymamy:
$$|AB|=\sqrt{(2-1)^2+(3-(-4))^2} \\
|AB|=\sqrt{1^2+7^2} \\
|AB|=\sqrt{1+49} \\
|AB|=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$$

A

Współrzędne środka odcinka \(S=(x_{S};y_{S})\) wyznaczymy ze wzoru:
$$S=(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2})$$

Znając współrzędne środka oraz jednego z punktów, możemy wykorzystać ten wzór do wyznaczenia współrzędnych punktu \(B\). Oczywiście można też podstawiać po kolei współrzędne ze wszystkich odpowiedzi, ale spróbujmy to zadanie rozwiązać tak, jakby było ono zadaniem otwartym.

Krok 1. Obliczenie współrzędnej \(x_{B}\).
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
2=\frac{-1+x_{B}}{2} \\
4=-1+x_{B} \\
x_{B}=5$$

Tak naprawdę już w tym momencie możemy zakończyć obliczenia, bo już widzimy, że pasującą odpowiedzią może być tylko \(A\). Obliczmy jeszcze jednak współrzędną \(y_{B}\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(y_{B}\).
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
7=\frac{3+y_{B}}{2} \\
14=3+y_{B} \\
y_{B}=11$$

To oznacza, że poszukiwanymi współrzędnymi są \(B=(5,11)\).

D

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Z treści zadania możemy wyczytać, że punkty \(A\) i \(B\) są kolejnymi wierzchołkami rombu, czyli że tworzoną one odcinek, który jest jednocześnie bokiem naszej figury. Na początku więc obliczmy długość tego odcinka. Skorzystamy tutaj ze wzoru na długość odcinka, znając jego współrzędne:
$$a=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$$

\(x_{1}\) oraz \(y_{1}\) to współrzędne pierwszego punktu, a \(x_{2}\) oraz \(y_{2}\) to współrzędne drugiego punktu.

Podstawiając współrzędne \(A=(-1;2)\) i \(B=(5;-2)\) otrzymamy:
$$a=\sqrt{(5-(-1))^2+(-2-2)^2} \\
a=\sqrt{6^2+(-4)^2} \\
a=\sqrt{36+16} \\
a=\sqrt{52} \\
a=\sqrt{4\cdot13} \\
a=2\sqrt{13}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu rombu.
Znamy długość jednego z boków rombu, a wiemy że romb ma cztery boki równej długości. To znaczy, że:
$$Obw=4a \\
Obw=4\cdot2\sqrt{13} \\
Obw=8\sqrt{13}$$

C

Środek odcinka \(PQ\) o współrzędnych \(P=(x_{P};y_{P})\) oraz \(Q=(x_{Q};y_{Q})\) możemy opisać wzorem:
$$S=(\frac{x_{P}+x_{Q}}{2};\frac{y_{P}+y_{Q}}{2})$$

Skorzystamy z tej informacji i ze wzoru \(x_{S}=(\frac{x_{P}+x_{Q}}{2})\) wyznaczymy współrzędną \(x_{P}\), a ze wzoru \(y_{S}=(\frac{y_{P}+y_{Q}}{2})\) wyznaczymy współrzędną \(y_{P}\).

Krok 1. Obliczenie współrzędnej \(x\) punktu \(P\).
$$x_{S}=(\frac{x_{P}+x_{Q}}{2}) \\
-4=(\frac{x_{P}+17}{2}) \\
-8=x_{P}+17 \\
x_{P}=-25$$

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(y\) punktu \(P\).
$$y_{S}=(\frac{y_{P}+y_{Q}}{2}) \\
7=(\frac{y_{P}+12}{2}) \\
14=y_{P}+12 \\
y_{P}=2$$

W takim razie współrzędne poszukiwanego punktu to \(P=(-25;2)\).

D

Jeśli dobrze się przyjrzymy wszystkim informacjom, to zauważymy że niewiadoma \(a\) występuje tylko we współrzędnej iksowej punktów \(A\) i \(B\). To oznacza, że wszystko jesteśmy w stanie obliczyć korzystając ze wzoru na środek odcinka:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
4=\frac{a+a+3}{2} \\
8=2a+3 \\
2a=5 \\
a=\frac{5}{2}$$

C

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości. Aby więc poznać współrzędne punktu przecięcia możemy zastosować wzór na środek odcinka:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Podstawiamy do tego wzoru współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\):
$$S=\left(\frac{13+15}{2};\frac{-12+8}{2}\right) \\
S=\left(\frac{28}{2};\frac{-4}{2}\right) \\
S=(14;-2)$$

A

Współrzędne środka \(S=(x_{S};y_{S})\) odcinka o końcach \(A=(x_{A};y{A})\) oraz \(B=(x_{B};y{B})\) możemy wyliczyć za pomocą wzorów:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$

Nas tak naprawdę interesuje tylko współrzędna \(y\), bo to tam pojawia się niewiadoma \(b\), której wartość musimy policzyć, zatem:
$$-5=\frac{3+b}{2} \\
-10=3+b \\
b=-13$$

C

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, czyli tak naprawdę na odległość między dwoma punktami:
$$|PQ|=\sqrt{(x_{Q}-x_{P})^2+(y_{Q}-y_{P})^2} \\
|PQ|=\sqrt{(3-(-2))^2+(3-(-2))^2} \\
|PQ|=\sqrt{5^2+5^2} \\
|PQ|=\sqrt{25+25} \\
|PQ|=\sqrt{25\cdot2} \\
|PQ|=5\sqrt{2}$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W zasadzie wykonując dokładny rysunek moglibyśmy odczytać z niego rozwiązanie, bez dokonywania jakichkolwiek obliczeń.



Nawet gdybyśmy zrobili tylko szkic tej sytuacji, to po prostej analizie odpowiedzi możemy odrzucić \(B\) oraz \(C\), bo pierwszą współrzędną punktu \(S\) jest na pewno \(0\) (wiemy to, bo zgodnie z treścią zadania punkt ten leży na osi \(Oy\)). W zasadzie to i odpowiedź \(D\) możemy odrzucić, bo punkt \(S\) jest na pewno niżej położony niż punkt \(K\), więc druga współrzędna (igrekowa) musi być mniejsza od \(4\). W ten oto sposób wiemy już, że to musi być odpowiedź \(A\).

Nie mniej jednak spróbujmy to obliczyć, bo mogłyby tutaj znaleźć się znacznie bardziej skomplikowane liczby (np. z pierwiastkami). Ustalmy zatem jakie znamy współrzędne:
$$K=(-4;4) \\
L=(x_{L};0) \\
S=(0;y_{S})$$

Naszym zadaniem jest podanie współrzędnych punktu \(S\), zatem brakuje nam współrzędnej \(y_{S}\). Do wyznaczenia brakującej współrzędnej wykorzystamy wzór na środek odcinka.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(y_{S}\).
Ze wzoru na środek odcinka wiemy, że:
$$x_{S}=\frac{x_{K}+x_{L}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{K}+y_{L}}{2}$$

Nas interesuje tylko współrzędna "igrekowa", bo "iksową" już znamy, zatem:
$$y_{S}=\frac{y_{K}+y_{L}}{2} \\
y_{S}=\frac{4+0}{2} \\
y_{S}=2$$

To oznacza, że poszukiwane współrzędne to \(S=(0;2)\).

B

Skorzystamy tutaj ze wzoru na wyznaczenie współrzędnych środka odcinka:
$$M=(x_{M};y_{M})=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie z tego wzoru wartości \(x_{A}\) (bo jest ona opisana niewiadomą \(a\)) oraz wartości \(y_{B}\) (która jest opisana niewiadomą \(b\)).

Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(a\).
$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
3=\frac{a+7}{2} \\
6=a+7 \\
a=-1$$

Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(b\).
$$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
4=\frac{6+b}{2} \\
8=6+b \\
b=2$$

C

Zanim przejdziemy do obliczeń to omówmy sobie co tak naprawdę musimy obliczyć. Mamy podane współrzędne punktu \(A\) i \(B\), które tworzą odcinek w układzie współrzędnych. Przez ten odcinek poprowadzono prostą symetralną (czyli tak naprawdę prostopadłą do tego odcinka, która przechodzi przez jego środek). Naszym zadaniem jest obliczenie współczynnika kierunkowego \(a\) tej prostej symetralnej.



Krok 1. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\).
Zanim obliczymy współczynnik kierunkowy symetralnej, to potrzebny nam będzie współczynnik kierunkowy prostej na której znajduje się odcinek \(AB\). Obliczymy go za pomocą wzoru:
$$m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
m=\frac{4-2}{1-(-3)} \\
m=\frac{2}{4} \\
m=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(y=ax+1\).
Tak jak wcześniej ustaliliśmy - skoro jest to symetralna odcinka \(AB\), to znaczy że jest to prosta prostopadła. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem:
$$a\cdot m=-1 \\
a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\
a=-2$$

\(C=(3;3) \quad\lor\quad C=(4;4)\)

Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Każdy punkt w układzie współrzędnych możemy opisać jako \(C=(x;y)\). W treści zadania mamy jednak podaną bardzo ważną informację, która mówi nam że punkt \(C\) leży na prostej \(y=x\). Możemy więc podstawić "iksa" pod drugą współrzędną punktu \(C\), dzięki czemu otrzymamy współrzędne \(C=(x;x)\). To nam bardzo uprości rozwiązanie tego zadania, bo w ten sposób pozbyliśmy się już jednej niewiadomej. Całą resztę możemy już obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
Długość poszczególnych odcinków (np. odcinka \(AB\)) w układzie współrzędnych możemy opisać wzorem:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

W Twierdzeniu Pitagorasa musimy każdą wartość podnieść do kwadratu, więc pierwiastek z powyższego równania zniknie nam w trakcie obliczeń. Przykładowo:
$$|AB|^2=(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2$$

Z treści zadania wynika, że przeciwprostokątną jest odcinek \(AB\), tak więc:
$$\color{orange}{|AC|^2}+\color{blue}{|BC|^2}=\color{green}{|AB|^2} \\
\color{orange}{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}+\color{blue}{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}=\color{green}{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiamy współrzędne: \(A=(2,0)\), \(B=(12,0)\) oraz \(C=(x;x)\):
$$(x-2)^2+(x-0)^2+(x-12)^2+(x-0)^2=(12-2)^2+(0-0)^2 \\
x^2-4x+4+x^2+x^2-24x+144+x^2=100 \\
4x^2-28x+48=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Korzystając z metody delty otrzymamy:
Współczynniki: \(a=4,\;b=-28,\;c=48\)
$$Δ=b^2-4ac=(-28)^2-4\cdot4\cdot48=784-768=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-28)-4}{2\cdot4}=\frac{28-4}{8}=\frac{24}{8}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-28)+4}{2\cdot4}=\frac{28+4}{8}=\frac{32}{8}=4$$

Krok 4. Ustalenie współrzędnych punktu \(C\).
Nie możemy odrzucić żadnego z otrzymanych rozwiązań równania kwadratowego z trzeciego kroku, a to oznacza że będziemy mieli dwa rozwiązania tego zadania. Zgodnie z tym co sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku - współrzędne punktu \(C\) określić możemy jako \((x;x)\), zatem:
$$C=(3;3) \quad\lor\quad C=(4;4)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje między długościami boków korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, ale nie obliczysz z nich współrzędnych punktu \(C\) i zakończysz na tym zadanie (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy rozpiszesz równanie ułożone na podstawie Twierdzenia Pitagorasa, wykorzystasz wzory na długość odcinka i podstawisz odpowiednie dane z treści zadania (patrz: Krok 2.) ale nie dostrzeżesz tego, że współrzędna "iksowa" punktu \(C\) jest równa współrzędnej "igrekowej".
3 pkt
• Gdy dojdziesz do końca zadania, ale otrzymasz zły wynik w wyniku błędu rachunkowego.
ALBO
• Gdy otrzymane rozwiązanie jest niepełne (np. zawiera tylko jedną z dwóch możliwości).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono obliczając długości boków i korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.

W tym zadaniu wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
W ten sposób obliczymy długości trzech odcinków: \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\), a następnie za pomocą Twierdzenia Pitagorasa sprawdzimy, czy rzeczywiście będzie to trójkąt prostokątny.

Krok 1. Obliczenie długości boków \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(1-3)^2+(2-8)^2} \\
|AB|=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2} \\
|AB|=\sqrt{4+36} \\
|AB|=\sqrt{40}$$
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(6-3)^2+(7-8)^2} \\
|AC|=\sqrt{3^2+(-1)^2} \\
|AC|=\sqrt{9+1} \\
|AC|=\sqrt{10}$$
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(6-1)^2+(7-2)^2} \\
|BC|=\sqrt{5^2+5^2} \\
|BC|=\sqrt{25+25} \\
|BC|=\sqrt{50}$$

Krok 2. Sprawdzenie, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to długości jego boków spełniają równanie wynikające z Twierdzenia Pitagorasa, zatem:
$$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2 \\
(\sqrt{40})^2+(\sqrt{10})^2=(\sqrt{50})^2 \\
40+10=50 \\
50=50 \\
L=P$$

Skoro lewa i prawa strona równania są sobie równe, to znaczy że długości boków spełniają Twierdzenie Pitagorasa, zatem trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz poszczególne długości boków (patrz: Krok 1.) i nie udowodnisz (np. korzystając z Twierdzenia Pitagorasa), że jest to trójkąt prostokątny.
ALBO
• Gdy obliczysz współczynniki kierunkowe prostych będących przyprostokątnymi (czyli \(AB\) oraz \(BC\).
2 pkt
• Udowodnisz tezę korzystając z Twierdzenia Pitagorasa albo za pomocą jakiejkolwiek innej metody (np. udowadniając że iloczyn współczynników kierunkowych prostych będących przyprostokątnymi jest równy \(-1\)).
ALBO
• Udowodnisz tezę za pomocą bardzo dokładnego rysunku w układzie współrzędnych.

\(|BD|=2\sqrt{5}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego i określenie danych potrzebnych do rozwiązania zadania.
Nie musimy dokładnie zaznaczać wszystkiego na układzie współrzędnych, ale dobrze jest chociaż poglądowo narysować sobie ułożenie tego trójkąta, dzięki czemu łatwiej nam będzie wykonać późniejsze obliczenia.



Znamy współrzędne punktów \(A\), \(B\) oraz \(C\), więc za pomocą wzoru moglibyśmy obliczyć równanie każdej prostej, która przechodzi przez dwa wybrane przez nas punkty. Gdybyśmy znali wzory prostych \(AB\) oraz \(CD\) i stworzyli z nich układ równań, to wynik jaki byśmy otrzymali byłby punktem przecięcia się tych prostych, a więc byłyby to współrzędne punktu \(D\), którego nam brakuje.

Ustalmy więc teraz jak wyznaczyć wzory prostych \(AB\) oraz \(CD\).
• Wzór na prostą \(AB\) wyznaczymy tworząc bardzo prosty układ równań składający się z dwóch równań funkcji \(y=ax+b\), gdzie w pierwszym równaniu za \(x\) oraz \(y\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a w drugim równaniu współrzędne punktu \(B\). Ewentualnie moglibyśmy skorzystać ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, który znajduje się w tablicach.
• Wzór na prostą \(CD\) wyznaczymy korzystając z tego, że jest to prosta prostopadła do prostej \(AB\), a więc iloczyn współczynników prostych \(CD\) oraz \(AB\) będzie musiał być równy \(-1\).

Po ustaleniu współrzędnych punktu \(D\) bez problemu obliczymy długość odcinka \(BD\) ze wzoru:
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2}$$

Teraz czas na obliczenia tych elementów, które wypisaliśmy sobie w naszym planie działania.

Krok 2. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\).
Pod ogólny wzór funkcji \(y=ax+b\) podstawiamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), tworząc układ równań:
\begin{cases}
5=a+b \\
31=14a+b
\end{cases}

Aby rozwiązać ten układ równań najprościej jest odjąć pierwsze równanie od drugiego, albo też do drugiego równania podstawić wartość \(b=5-a\) wynikającą z pierwszego równania. W obydwu przypadkach dojdziemy do tego, że \(13a=26\), więc \(a=2\).

Bez problemu wyliczymy także współczynnik \(b\), korzystając chociażby z równania \(b=5-a\), a więc \(b=5-2=3\).

Wyszło nam, że wzór funkcji przechodzącej przez nasze punkty \(A\) oraz \(B\) to \(y=2x+3\).

Krok 3. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(C\) oraz \(D\).
Ustaliliśmy już, że prosta \(CD\) będzie prostopadła do prostej \(AB\). To oznacza, że iloczyn ich współczynników \(a\) będzie równy \(-1\). Skoro współczynnik \(a\) prostej \(AB\) był równy \(2\), to współczynnik \(a\) prostej \(CD\) będzie równy:
$$a\cdot2=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wzór prostej \(CD\) ma więc postać \(y=-\frac{1}{2}x+b\).

Musimy jeszcze obliczyć współczynnik \(b\), a zrobimy to podstawiając do wzoru funkcji współrzędne punktu \(C=(4,31)\), stąd też:
$$31=-\frac{1}{2}\cdot4+b \\
31=-2+b \\
b=33$$

W związku z tym prosta \(CD\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+33\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Musimy teraz wyznaczyć współrzędne punktu \(D\), a zrobimy to korzystając z tego, że proste \(AB\) oraz \(CD\) przecinają się w punkcie \(D\). Współrzędne punktu \(D\) otrzymamy więc rozwiązując prosty układ równań, który składa się z równań prostych \(AB\) oraz \(CD\):
\begin{cases}
y=2x+3 \\
y=-\frac{1}{2}x+33
\end{cases}

Metodą podstawiania podstawiamy za \(y\) wartość z pierwszego równania do drugiego i otrzymujemy równanie:
$$2x+3=-\frac{1}{2}x+33 \\
2\frac{1}{2}x=30 \\
x=12$$

Obliczmy jeszcze współrzędną \(y\):
$$y=2x+3 \\
y=2\cdot12+3 \\
y=27$$

W ten sposób wyznaczyliśmy współrzędne punktu \(D=(12;27)\).

Krok 5. Wyznaczenie długości odcinka \(|BD|\).
Z tablic maturalnych możemy odczytać wzór na długość odcinka (a w zasadzie na odległość między dwoma punktami), dzięki któremu po podstawieniu odpowiednich współrzędnych wyznaczymy długość odcinka \(BD\):
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2} \\
|BD|=\sqrt{(12-14)^2+(27-31)^2} \\
|BD|=\sqrt{4+16} \\
|BD|=\sqrt{20} \\
|BD|=2\sqrt{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(CD\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(CD\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 4.)
ALBO
• Gdy zastosujesz Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta \(CDB\) albo zapiszesz inne równanie w którym jedyną niewiadomą pozostanie poszukiwana długość odcinka \(BD\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=-\frac{1}{2}x+6\)

Krok 1. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby wyznaczyć prostą w postaci \(y=ax+b\) przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:
\begin{cases}
2=-2a+b \\
10=2a+b
\end{cases}

Układ możemy rozwiązać dowolną metodą, najprościej jest go chyba jednak odjąć od siebie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$-8=-4a \\
a=2$$

Znając współczynnik \(a\) możemy jeszcze wyliczyć współczynnik \(b\) z dowolnego równania. Zatem:
$$2=-2\cdot2+b \\
2=-4+b \\
b=6$$

Wiemy już, że nasza prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) opisana jest wzorem w postaci: \(y=2x+6\).

Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka \(AB\).
Symetralna odcinka dzieli dany odcinek na dwie równe części. Jeśli poznamy dokładne współrzędne tego punktu przecięcia się symetralnej z odcinkiem, to będziemy już bardzo blisko rozwiązania. Współrzędne środka odcinka \(AB\) obliczmy w następujący sposób:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-2+2}{2};\frac{2+10}{2}\right) \\
S=\left(\frac{0}{2};\frac{12}{2}\right) \\
S=(0;6)$$

Krok 3. Wyznaczenie równania symetralnej.
Symetralna musi być prostopadła względem prostej, której równanie wyznaczyliśmy sobie w pierwszym kroku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że skoro równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) ma współczynnik \(a=2\), to nasza symetralna ma na pewno współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\) (bo \(2\cdot-\frac{1}{2}=-1\)). W tym momencie wiemy już, że nasza prosta jest opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).

W drugim kroku obliczyliśmy, że symetralna przechodzi przez punkt \(S=(0;6)\). Już z samego tego faktu możemy odczytać współczynnik \(b\) tej prostej prostopadłej, bo współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina oś \(Oy\). Bez liczenia możemy więc stwierdzić, że \(b=6\). Gdybyśmy jednak tego nie dostrzegli (albo gdyby ten punkt miał inne współrzędne), to współczynnik \(b\) możemy wyliczyć podstawiając po prostu współrzędne tego punktu do równania prostej \(y=-\frac{1}{2}x+b\), czyli:
$$6=-\frac{1}{2}\cdot0+b \\
6=0+b \\
b=6$$

Nasza symetralna jest więc opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+6\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a=2\) prostej \(AB\) (patrz: Krok 1) oraz podasz współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej, czyli \(a=-\frac{1}{2}\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\), czyli \(S=(0;6)\) (patrz: Krok 2).
ALBO
• Gdy narysujesz układ współrzędnych i z niego odczytasz współrzędne środka odcinka \(AB\) i współczynnik kierunkowy \(a=2\) prostej \(AB\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (dopuszczalna jest także forma w postaci ogólnej \(x+2y-12=0\)).

\(D=(4;15)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Naszkicujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy w nim współrzędne punktów z treści zadania.



Najlepszą metodą na znalezienie współrzędnych punktu \(D\) będzie chyba wyznaczenie najpierw równania prostej \(AB\), później wyznaczenie równania prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(C\), no i na sam koniec rozwiązanie układu równań złożonego z tych dwóch prostych.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Do wyznaczenia równania prostej przechodzącej przez punkt \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy posłużyć się prostym wzorem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

Podstawiając współrzędne punktów \(A=(2,11)\) oraz \(B=(8,23)\) otrzymamy:
$$(y-11)(8-2)-(23-11)(x-2)=0 \\
(y-11)\cdot6-12\cdot(x-2)=0 \\
6y-66-12x+24=0 \\
6y-12x-42=0 \\
6y=12x+42 \quad\bigg/:6 \\
y=2x+7$$

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(AB\), przechodzącej przez punkt \(C\).
Szukamy prostej prostopadłej w postaci \(y=ax+b\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro więc pierwsza prosta ma \(a=2\), to druga musi mieć:
$$a\cdot2=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(C=(6;14)\), który przez tą prostą przechodzi. Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{2}x+b \\
14=-\frac{1}{2}\cdot6+b \\
14=-3+b \\
b=17$$

To oznacza, że prosta prostopadła ma wzór \(y=-\frac{1}{2}x+17\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych są współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. W naszym przypadku będą to poszukiwane współrzędne punktu \(D\), zatem:
\begin{cases}
y=2x+7 \\
y=-\frac{1}{2}x+17
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, możemy podstawić wartość \(y=2x+7\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$2x+7=-\frac{1}{2}x+17 \quad\bigg/\cdot2 \\
4x+14=-x+34 \\
5x=20 \\
x=4$$

Podstawiając wartość \(x=4\) do jednego z równań obliczymy drugą współrzędną:
$$y=2\cdot4+7 \\
y=8+7 \\
y=15$$

Współrzędne poszukiwanego punktu to w takim razie \(D=(4;15)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\), czyli że \(a=2\).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(P=15\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej prostopadłej, przechodzącej przez punkt \(C\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(CD=\sqrt{5}\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiedni układ równań składający się z dwóch prostych (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu jako \(D=(x;\;2x+7)\) i zapiszesz równanie z jedną niewiadomą typu \(\sqrt{(x-6)^2+(2x+7-14)^2}=\sqrt{5}\)
ALBO
• Gdy źle wyznaczysz równanie prostej \(AB\), albo źle obliczysz pole trójkąta, ale konsekwentnie dalej rozwiązujesz zadanie poprawnie.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
ALBO
• Gdy gdy sporządzisz dokładny rysunek i z niego odczytasz poszukiwane współrzędne.

\(B=\left(6\frac{4}{5};3\frac{2}{5}\right)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Nasz rysunek możemy wykonać dość dokładnie, dzięki czemu będziemy w stanie zweryfikować później poprawność naszych obliczeń.

Krok 2. Określenie współrzędnych punktu \(B\).
Współrzędne każdego punktu możemy określić jako \((x;y)\). Z treści zadania wiemy, że przez punkt \(B\) przechodzi prosta o równaniu \(y=\frac{1}{2}x\). Możemy więc podstawić wartość tego "igreka" za współrzędną \(y\) i zapisać współrzędne tego punktu jako: \(B=(x;\frac{1}{2}x)\).

Dzięki temu pozbyliśmy się niewiadomej \(y\), a to nam znacznie ułatwi dotarcie do końcowego rozwiązania.

Krok 3. Zapisanie równania wynikającego z trójkąta równoramiennego.
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Wiemy, że boki \(AC\) oraz \(BC\) mają tą samą długość, dlatego między miarami tych odcinków możemy postawić znak równości. Znamy współrzędne \(A\) i \(C\), zapisaliśmy też sobie współrzędne punktu \(B\) z wykorzystaniem jednej niewiadomej, zatem:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(1-2)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+\left(9-\frac{x}{2}\right)^2 \\
1+64=1-2x+x^2+81-9x+\frac{x^2}{4} \\
65=x^2+\frac{1}{4}x^2-11x+82 \\
\frac{5}{4}x^2-11x+17=0 \quad\bigg/\cdot4 \\
5x^2-44x+68=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=5,\;b=-44,\;c=68\)
$$Δ=b^2-4ac=(-44)^2-4\cdot5\cdot68=1936-1360=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)-24}{2\cdot5}=\frac{44-24}{10}=\frac{20}{10}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)+24}{2\cdot5}=\frac{44+24}{10}=\frac{68}{10}$$

Krok 5. Analiza otrzymanych rozwiązań i określenie końcowych współrzędnych punktu \(B\).
Dla \(x=2\) otrzymaliśmy współrzędną punktu \(A\). To nie jest więc to rozwiązanie, które nas interesuje, choć też jest dla nas ważne, bo przy okazji potwierdza poprawność naszych obliczeń (wszak punkt \(A\) także leży na prostej \(y=\frac{1}{2}x\)).

Współrzędne punktu \(B\) otrzymaliśmy z drugiego rozwiązania, czyli \(x=\frac{68}{10}\). Brakuje nam jeszcze współrzędnej \(y\), ale zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie w drugim kroku i zgodnie z równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt:
$$y=\frac{1}{2}x \\
y=\frac{1}{2}\cdot\frac{68}{10} \\
y=\frac{68}{20}$$

Otrzymane wyniki możemy jeszcze skrócić i wyłączyć z nich całość, tak więc:
$$x=\frac{68}{10}=6\frac{4}{5} \\
y=\frac{68}{20}=3\frac{2}{5}$$

Poszukiwane współrzędne to \(B=\left(6\frac{4}{5};3\frac{2}{5}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(B\) z jedną niewiadomą \(x\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(CD\) w postaci \(y=-2x+11\) (gdzie punkt \(D\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu \(C\)).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(|AC|=\sqrt{65}\).
2 pkt
• Gdy w zależności od sposobu rozwiązywania ułożysz odpowiednie równanie bądź stworzysz układ równań, z którego da się obliczyć współrzędne punktu \(B\) - jest tu bardzo wiele różnych możliwości (np. mogą to być równania związane z długościami odcinków, z odległością punktu od prostej itd.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zapisane równanie lub układ równań do postaci ogólnej równania kwadratowego np. \(5x^2-44x+68=0\) (patrz: Krok 3.) lub \(\frac{5}{4}x^2-11x+17=0\) lub \(5y^2-22y+17=0\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu D=(\frac{22}{5};\frac{11}{5})\) (gdzie punkt \(D\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu \(C\)).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=24\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
To zadanie jest chyba jednym z najbardziej rozbudowanych zadań jakie pojawiły się na maturze w ciągu ostatnich lat, zwłaszcza jeśli chcielibyśmy to obliczać standardową metodą. Prześledźmy sobie ten najbardziej typowy tok rozwiązania tego zadania, a ja za chwilę powiem Ci jak można to zadanie zrobić znacznie szybciej.



Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\). Możemy też sobie mniej lub bardziej dokładnie zaznaczyć punkt \(D\), tak aby wiedzieć jak wygląda ten równoległobok. Nie mniej jednak punkt \(D\) nam nie będzie potrzebny, bo do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy znać długość podstawy (czyli \(|AB|\)) oraz wysokość trójkąta. Z tą wysokością problem jest taki, że znajduje się ona poza figurą i chcąc poznać jej długość musimy zaznaczyć sobie nowy punkt \(E\), którego współrzędnych nie znamy. O punkcie \(E\) Wiemy tylko tyle, że leży na pewno na przedłużeniu odcinka \(AB\) i to pozwoli nam wyznaczyć jego współrzędne. Ogólnie proces liczenia będzie bardzo długi i żmudny:
- musimy wyznaczyć wzór prostej przechodzącej przed punkty \(A\) i \(B\) (ze wzoru lub z układu równań)
- musimy wyznaczyć wzór prostej prostopadłej, która przejdzie przez punkt \(C\)
- na przecięciu się tych dwóch prostych znajdzie się ten problematyczny punkt \(E\) (rozwiązując układ równań poznamy jego współrzędne)
- musimy obliczyć długość odcinka \(AB\)
- musimy obliczyć długość odcinka \(CE\)
- no i na koniec musimy wymnożyć wartości długości tych dwóch odcinków obliczając tym samym pole

Rozwiązywanie tego w ten sposób zajmie naprawdę dużo czasu, a i o pomyłkę będzie dość prosto. Awaryjnie można też byłoby skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej, dzięki czemu moglibyśmy pominąć obliczenie współrzędnych punktu \(E\). Wtedy podstawilibyśmy do tego wzoru współrzędne punktu \(C\) oraz wzór prostej przechodzącej przez odcinek \(AB\).

Teoretycznie można byłoby się też pokusić o pewne uproszczenie, wyznaczając długości odcinków \(AB\) oraz \(CE\) z Twierdzenia Pitagorasa i licząc po kratkach poszczególne długości przyprostokątnych.

Wszystkie problemy jednak znikają kiedy dostrzeżemy, że wystarczyłoby obliczyć pole trójkąta \(ABC\) i pomnożyć tą wartość przez \(2\), wszak przekątna równoległoboku dzieli figurę na dwa trójkąty o równej powierzchni. I już za sam fakt dostrzeżenia tego można było na maturze otrzymać jeden punkt. Pytanie tylko jak wyliczyć pole tego trójkąta. I tu z pomocą przychodzi nam wzór z tablic, o którym mało kto wie, bo jest bardzo rzadko stosowany.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
W tablicach odczytujemy wzór na pole trójkąta, znając współrzędne wszystkich trzech punktów:
Pole trójkąta \(ABC\) o znanych współrzędnych wierzchołków wyliczymy z następującego wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})|$$

Podstawiając odpowiednie współrzędne otrzymamy:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|(3-(-1))(4-(-5))-(-1-(-5))(2-(-1))| \\
P=\frac{1}{2}\cdot|4\cdot9-4\cdot3| \\
P=\frac{1}{2}\cdot|36-12| \\
P=\frac{1}{2}\cdot24 \\
P=12$$

Krok 3. Obliczenie pola równoległoboku.
Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy, przekątna \(AC\) dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty, tak więc skoro znamy pole trójkąta \(ABC\) to wystarczy teraz wynik ten pomnożyć przez \(2\) i otrzymamy pole równoległoboku:
$$P=2\cdot12 \\
P=24$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że pole czworokąta jest dwa razy większe od pola trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\), czyli \(|AB|=4\sqrt{2}\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole trójkąta z użyciem współrzędnych wierzchołka (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(E\), czyli \(E=(5;1)\).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość równoległoboku: \(|CE|=3\sqrt{2}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(C=(3;3)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie poszczególne punkty w układzie współrzędnych oraz narysujmy prostą, której wzór jest podany w treści zadania i która zawiera się w jednym z ramion. Równanie naszej prostej po przekształceniu do postaci kierunkowej możemy zapisać jako \(y=2x-3\), co oznacza że współczynnik kierunkowy prostej jest dodatni. Prosta jest więc rosnąca i to właśnie na niej znajdzie się poszukiwany przez nas punkt \(C\) i jak się za chwilę okaże, znajdzie się tam też punkt \(A\).



Krok 2. Wyznaczenie symetralnej odcinka \(AB\).
Generalnie naszym celem jest wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(C\). Aby go wyznaczyć musimy znać wzory dwóch prostych, z których zbudujemy układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne przecięcia się prostych (czyli współrzędne punktu \(C\)). Jedną prostą już mamy (jest podana w treści zadania) i teraz musimy jakoś wyznaczyć drugą prostą, która przez ten punkt \(C\) przejdzie. Oczywiście nie wyznaczymy wzoru prostej \(BC\), no bo właśnie brakuje nam tej współrzędnej \(C\). Co wiec możemy zrobić?

Możemy wyznaczyć równanie prostej, która jest prostopadła do odcinka \(AB\) i która przechodzi przez środek tego odcinka. Ta prosta będzie na pewno przechodzić przez punkt \(C\) bo będzie to tak naprawdę wysokość trójkąta równoramiennego, a wiemy że w trójkątach równoramiennych wysokość pada dokładnie na środek podstawy. Czyli chcąc standardowo rozwiazać to zadanie moglibyśmy wyznaczyć wzór prostej \(AB\) (bo znamy odpowiednie wierzchołki), następnie wyznaczylibyśmy środek tego odcinka (wyszłoby nam, że \(S=(\frac{7}{2};\frac{3}{2})\)) no i na sam koniec wyznaczylibyśmy wzór prostej prostopadłej do prostej \(AB\), która przechodzi przez punkt \(S\). Ja jednak pokażę Ci jak można byłoby taką symetralną wyznaczyć nieco prościej:

Wiemy, że jest to trójkąt równoramienny w którym \(|AC|=|CB|\). Skoro znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), to możemy je podstawić do wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AC|=|CB| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^2+(y_{B}-y_{C})^2}$$

Dla przejrzystości obliczeń podnieśmy do potęgi obie strony równania i przyjmijmy że \(x_{c}=x\) oraz \(y_{c}=y\).
$$\require{cancel}
(x-x_{A})^2+(y-y_{A})^2=(x_{B}-x)^2+(y_{B}-y)^2 \\
(x-2)^2+(y-1)^2=(5-x)^2+(2-y)^2 \\
\cancel{x^2}-4x+\cancel{4}+\cancel{y^2}-2y+1=25-10x+\cancel{x^2}+\cancel{4}-4y+\cancel{y^2} \\
2y=-6x+24 \quad\bigg/:2 \\
y=-3x+12$$

Udało nam się otrzymać kolejny wzór prostej, która przechodzi przed punkt \(C\) i jest to właśnie symetralna odcinka \(AB\).

Krok 3. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\).
Z wyznaczonego w drugim kroku równania prostej i z równania podanego w treści zadania (który po przekształceniu jest równy \(y=2x-3\)) możemy stworzyć taki mały układ równań. Obrazowo rzecz ujmując - te dwie proste przetną się w punkcie \(C\), a wiemy z interpretacji geometrycznej układu równań, że miejsce przecięcia się dwóch prostych jest właśnie rozwiązaniem układu równań. Zatem:
\begin{cases}
y=-3x+12 \\
y=2x-3
\end{cases}

Rozwiązując metodę podstawiania otrzymamy:
$$-3x+12=2x-3 \\
15=5x \\
x=3$$

Znając współrzędną \(x\) możemy już bez problemu obliczyć współrzędną \(y\):
$$y=2x-3 \\
y=2\cdot3-3 \\
y=3$$

To oznacza, że poszukiwane przez nas współrzędne to \(C=(3;3)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\), czyli \(S=(\frac{7}{2};\frac{3}{2})\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie symetralnej prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz układ równań składający się ze wzorów dwóch prostych (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy popełnisz po drodze błąd rachunkowy, ale konsekwentnie do niego rozwiążesz całe zadanie.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(D=(-2,4;\;4,8)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty z treści zadania i od razu oszacujmy mniej więcej gdzie znajdzie się punkt \(C\) (z którego to wierzchołka musimy poprowadzić później wysokość trójkąta) oraz punkt \(D\), którego współrzędnych poszukujemy.



Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka \(AC\), bowiem znamy współrzędne środka \(M\) i znamy też współrzędne punktu \(A\), zatem jedyną niewiadomą będą w tej sytuacji współrzędne punktu \(C\). Obliczmy po kolei każdą ze współrzędnych:
$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
1=\frac{3+x_{C}}{2} \\
2=3+x_{C} \\
x_{C}=-1 \\
\text{oraz}\\
y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
6=\frac{3+y_{C}}{2} \\
12=3+y_{C} \\
y_{C}=9$$

Współrzędne punktu \(C\) to w takim razie \(C=(-1;9)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Potrzebujemy znać równanie prostej \(AB\), bo to na jej przedłużeniu znajdzie się poszukiwany przez nas punkt \(D\). Możemy tutaj skorzystać ze wzoru na równanie prostej, zatem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-3)(9-3)-(1-3)(x-3)=0 \\
(y-3)6-(-2)(x-3)=0 \\
6y-18-(-2x+6)=0 \\
6y-18+2x-6=0 \\
6y+2x-24=0 \\
6y=-2x+24 \\
y=-\frac{2}{6}x+4 \\
y=-\frac{1}{3}x+4$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(y=-\frac{1}{3}x+4\) przechodzącej przez punkt \(C\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma \(a=-\frac{1}{3}\), to poszukiwana prosta prostopadła ma na pewno współczynnik kierunkowy równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\
a=3$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła ma wzór \(y=3x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\), tak aby ta prosta przechodziła dokładnie przez punkt \(C\). Aby to osiągnąć Wystarczy podstawić do tego wzoru współrzędne punktu \(C\) (obliczyliśmy je sobie w drugim kroku):
$$y=3x+b \\
9=3\cdot(-1)+b \\
9=-3+b \\
b=12$$

Poszukiwana prosta prostopadła wyraża się więc wzorem \(y=3x+12\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych jest punkt ich przecięcia się. Tworząc więc układ równań z dwóch prostych (których wzory sobie wyznaczyliśmy w poprzednich krokach) obliczymy poszukiwane współrzędne punktu \(D\).
\begin{cases}
y=-\frac{1}{3}x+4 \\
y=3x+12
\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-\frac{1}{3}x+4=3x+12 \quad\bigg/\cdot3 \\
-x+12=9x+36 \\
-10x=24 \\
x=-2,4$$

Drugą współrzędną obliczymy podstawiając \(x=-2,4\) do jednego z równań:
$$y=3\cdot(-2,4)+12 \\
y=-7,2+12 \\
y=4,8$$

To oznacza, że współrzędnymi poszukiwanego punktu są \(D=(-2,4;\;4,8)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 2.) oraz gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(C\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=(-7;0)\), więc pierwszą współrzędną jest \(x=-7\).

Krok 1. Ustalenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby poznać wzór tej prostej musimy stworzyć prosty układ równań. Do wzoru ogólnego w postaci \(y=ax+b\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases}
-12=-43a+b \\
19=50a+b
\end{cases}

Możemy ten układ rozwiązać w dowolny sposób, ale najprościej jest odjąć go od siebie stronami, dzięki czemu pozbędziemy się \(b\), zatem:
$$-31=-93a \\
a=\frac{1}{3}$$

Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić go do któregoś z równań i wyznaczyć w ten sposób współczynnik \(b\).
$$19=50\cdot\frac{1}{3}+b \\
\frac{57}{3}=\frac{50}{3}+b \\
b=\frac{7}{3}$$

Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) to: \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).

Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu \(P\).
Skoro nasza prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\), to znaczy że \(P=(x;0)\). Musimy wyznaczyć współrzędną \(x\) punktu \(P\), więc wystarczy przyrównać wzór naszej prostej do zera:
$$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=0 \quad\bigg/\cdot3 \\
x+7=0 \\
x=-7$$

To oznacza, że pierwszą współrzędną jest \(x=-7\), a pełne współrzędne tego punktu to \(P=(-7;0)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wzór prostej \(AB\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie w którym niewiadoma jest pierwsza współrzędna punktu \(P\), np.: \(\frac{50-p}{19}=\frac{p-(43)}{12}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(C=\left(0;-\frac{5}{3}\right)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W treści zadania mamy podane bardzo dokładne współrzędne punktów \(A\) i \(B\), które w dodatku są liczbami całkowitymi, więc możemy wykonać dość przyzwoity rysunek pomocniczy, który przy okazji posłuży nam później do weryfikacji obliczeń. Zastanówmy się też gdzie może znaleźć się nasz punkt \(C\). Na pewno będzie on na osią \(Oy\), ale gdzie tak mniej więcej powinniśmy się go spodziewać? Nad osią iksów, czy pod nią? Na pewno nie może być nad osią, bo nad osią będzie bardzo daleko od punktu \(B\), a jednocześnie blisko punktu \(A\). To nas nie satysfakcjonuje, bo wiemy z relacji \(|AC|=|BC|\), że odległość punktu \(C\) od punktu \(A\) oraz \(B\) jest jednakowa. Ten nasz poszukiwany punkt znajdzie się tuż pod osią iksów - a gdzie dokładnie, to sobie to zaraz obliczymy.



Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(y_{C}\).
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Znamy współrzędne \(A\) i \(B\), ale to nie wszystko, bo znamy też jeszcze jedną bardzo ważną współrzędną - wiemy, że współrzędna \(x\) punktu \(C\) jest równa \(x_{C}=0\), bo wierzchołek \(C\) leży do osi \(Oy\).
Wiemy też, że \(|AC|=|BC|\), a to z kolei pozwoli nam ułożyć odpowiednie równanie, z którego wyznaczymy sobie brakującą współrzędną \(y_{C}\).
$$\require{cancel}
|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2 \\
(0-(-2))^2+(y_{C}-4)^2=(0-6)^2+(y_{C}-(-2))^2 \\
2^2+(y_{C}-4)^2=(-6)^2+(y_{C}+2)^2 \\
\cancel{4}+\cancel{y_{C}^2}-8y_{c}+16=36+\cancel{y_{C}^2}+4y_{C}+\cancel{4} \\
-12y=20 \\
y_{C}=-\frac{20}{12} \\
y_{C}=-\frac{5}{3}$$

To oznacza, że \(C=\left(0;-\frac{5}{3}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że pierwszą współrzędną punktu \(C\) jest \(x=0\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\), czyli \(S=(2;1)\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{4}\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na długość jednego z odcinków trójkąta np. \(|AC|=\sqrt{2^2+(y-4)^2}\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{4}\) oraz gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{4}\).
3 pkt
• Gdy ułożysz równanie wykorzystujące informację, że \(|AC|=|BC|\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie symetralnej odcinka \(AB\): \(4x-3y-5=0\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=-3x+16\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych trzy punkty podane w treści zadania oraz dorysujmy oś symetrii tego trójkąta:



Skąd wiemy, że ta oś symetrii przechodzi przez wierzchołek \(B\)? Skoro trójkąt ma jedną oś symetrii (a tak wynika z treści zadania) to spodziewamy się, że jest to trójkąt równoramienny. Już po rysunku szkicowym widać, że parą ramion równej długości będą ramiona \(AB\) oraz \(BC\), a więc w takim przypadku symetralna będzie przechodzić przez wierzchołek \(B\). Jeśli jednak nie jesteśmy co do tego przekonani, to zawsze możemy sprawdzić długości każdego z boków, używając wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-x_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(6-(-2))^2+(-2-2)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80} \\
|BC|=\sqrt{(10-6)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} \\
|AC|=\sqrt{(10-(-2))^2+(6-2)^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}$$

Teraz już jesteśmy pewni, że jest to trójkąt równoramienny i że na pewno istnieje tylko jedna oś symetrii, która przechodzi przez punkt \(B\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AC\), bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na dwa równe odcinki. Tak więc aby wyznaczyć współrzędne tego punktu \(D\) skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-2+10}{2}=\frac{8}{2}=4 \\
y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$$

W związku z tym współrzędnymi naszego punktu są \(D=(4;4)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta.
Znajomość współrzędnych punktu \(D\) znacznie ułatwia znalezienie równania osi symetrii, bo wystarczy że skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(B=(6;-2)\) oraz \(D=(4;4)\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0 \\
(y-(-2))(4-6)-(4-(-2))(x-6)=0 \\
(y+2)(-2)-6(x-6)=0 \\
-2y-4-6x+36=0 \\
-2y-6x+32=0 \\
-2y=6x-32 \quad\bigg/:(-2)\\
y=-3x+16$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości dwóch boków trójkąta (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
ALBO
• Gdy napiszesz, że poszukiwaną osią symetrii jest symetralna odcinka \(AC\).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
ALBO
• Gdy uzasadnisz (wskazując, że jest to trójkąt równoramienny), dlaczego poszukiwaną osią symetrii jest symetralna odcinka \(AC\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie osi symetrii w postaci prostej przechodzącej przez dwa punkty \(B=(6;-2)\) oraz \(D=(4;4)\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz wyznaczysz współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka \(AC\), czyli \(a=-3\).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(D=(4;4)\) oraz zapiszesz, że poszukiwana oś symetrii przechodzi przez punkt \(B\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=2\frac{2}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Jedna z tych prostych jest rosnąca (bo ma dodatni współczynnik kierunkowy \(a=1\)), a druga jest malejąca (bo jej współczynnik kierunkowy \(a=-3\)). Bardzo ważną informacją jest to, że te dwie proste przecinają się w punkcie \(P=(0,2)\). To automatycznie oznacza, że obydwie proste mają współczynnik \(b=2\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\).
Obliczmy sobie miejsca w których te dwie proste przecinają się z osią \(Ox\) (czyli miejsca zerowe). Znajomość tych współrzędnych przyda nam się do wyznaczania długości podstawy trójkąta. Aby obliczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać \(x+2\) oraz \(-3x+2\) do zera, zatem:
I prosta: \(x_{1}+2=0 \Rightarrow x_{1}=-2\)
II prosta: \(-3x_{2}+2=0 \Rightarrow x_{2}=\frac{2}{3}\)

Krok 3. Obliczenie długości podstawy trójkąta.
Za pomocą obliczonych przed chwilą współrzędnych możemy określić długość podstawy trójkąta:
$$a=|x_{2}-x_{1}|=\left|\frac{2}{3}-(-2)\right|=2\frac{2}{3}$$

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta.
Wysokość trójkąta znamy, bo pokrywa się ona z osią \(Oy\), a więc bez problemu możemy określić że \(h=2\). Długość podstawy obliczyliśmy sobie przed chwilą i wyszło, że \(a=2\frac{2}{3}\). Zatem pole tego trójkąta jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot2\frac{2}{3}\cdot2 \\
P=2\frac{2}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wartość współczynnika \(b\): \(b=2\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy narysujesz wykresy tych funkcji i zaznaczysz punkt przecięcia \(P=(0,2)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(B=(7;4\frac{1}{2})\) oraz \(|AB|=12\frac{1}{2}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Do zadania możemy podejść tak naprawdę na dwa sposoby. Pierwszy sposób polegałby na tym, że wyznaczylibyśmy sobie równanie prostej przechodzącej przez punkty \(AC\), a następnie wyznaczylibyśmy równanie prostej prostopadłej (czyli poznalibyśmy wzór prostej \(BC\)). Znając wzór prostej \(BC\) łatwo wyznaczylibyśmy współrzędne punktu \(B\), bo to będzie punkt przecięcia się prostej \(BC\) oraz prostej której wzór jest podany w treści zadania. To jest taki standardowy sposób rozwiązywania tego typu zadań.

My jednak policzymy sobie to nieco sprytniej i zastosujemy tutaj drugi sposób, który wykorzystuje Twierdzenie Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(B\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
Do wyznaczenia współrzędnych punktu \(B\) wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Analogicznie możemy wyznaczyć w ten sposób długości odcinków \(AC\) czy też \(BC\).

Współrzędne punktów \(A\) i \(C\) są nam znane, więc możemy w prosty sposób wyznaczyć długość odcinka \(AC\). Bez znajomości współrzędnych punktu \(B\) nie będziemy w stanie obliczyć natomiast długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\), ale przy wykorzystaniu Twierdzenia Pitagorasa będziemy w stanie utworzyć równanie, które pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości obliczeń przyjmijmy, że współrzędne punktu \(B\) to \(x\) oraz \(y\):
$$\require{cancel}
|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2 \\
(x-2)^2+(y-7)^2+(2-(-3))^2+(7-(-3))^2=(x-(-3))^2+(y-(-3))^2 \\
(x-2)^2+(y-7)^2+5^2+10^2=(x+3)^2+(y+3)^2 \\
\cancel{x^2}-4x+4+\cancel{y^2}-14y+49+25+100=\cancel{x^2}+6x+9+\cancel{y^2}+6y+9 \\
-4x-14y+178=6x+6y+18 \\
10x+20y=160 \quad\bigg/:10 \\
x+2y=16$$

Tak na marginesie to otrzymaliśmy w ten sposób równanie prostej \(BC\). Gdybyśmy chcieli, to moglibyśmy je jeszcze przekształcić i zapisać w postaci kierunkowej, czyli \(y=-\frac{1}{2}x+8\).

Wracając do otrzymanego równania \(x+2y=16\), to teraz pod wartość \(y\) możemy podstawić równanie prostej na której leży nasz punkt \(B\), czyli \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\) i otrzymamy:
$$x+2\cdot\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\right)=16 \\
x+\frac{6}{4}x-\frac{6}{4}=16 \quad\bigg/\cdot4 \\
4x+6x-6=64 \\
10x=70 \\
x=7$$

Podstawiając teraz wartość tej współrzędnej do równania prostej z treści zadania wyznaczymy także wartość współrzędnej \(y\):
$$y=\frac{3}{4}\cdot7-\frac{3}{4} \\
y=\frac{21}{4}-\frac{3}{4} \\
y=\frac{18}{4}=4\frac{1}{2}$$

Otrzymaliśmy w ten sposób współrzędne \(B=(7;4\frac{1}{2})\).

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) i \(B\) obliczymy długość odcinka \(AB\) z wykorzystaniem wzoru o którym mówiliśmy sobie w drugim kroku:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{\left(7-(-3)\right)^2+\left(4\frac{1}{2}-(-3)\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{10^2+7\frac{1}{2}^2} \\
|AB|=\sqrt{100+\left(\frac{15}{2}\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{\frac{400}{4}+\frac{225}{4}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{625}{4}} \\
|AB|=\frac{25}{2}=12\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa oraz długości odcinków w układzie współrzędnych zapiszesz równanie \((x-2)^2+(y-7)^2+5^2+10^2=(x+3)^2+(y+3)^2\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=2\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci \(x+2\cdot\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\right)=16\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\): \(y=-\frac{1}{2}x+8\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(B=(7;4\frac{1}{2})\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=34\frac{5}{7}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zróbmy sobie prosty szkic tej całej sytuacji i zaznaczmy w układzie współrzędnych dane z treści zadania:



Musimy wyznaczyć współrzędne punktu \(B\) (potrzebne będą do wyznaczenia długości podstawy) oraz współrzędne punktu \(C\) (potrzebne do wyznaczenia wysokości trójkąta).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Wyznaczenie współrzędnych tego punktu jest stosunkowo dość proste, bo jest to tak naprawdę miejsce zerowe prostej \(k\) (tak wynika z treści zadania). Można więc powiedzieć, że \(B=(x;0)\) zatem podstawiając te współrzędne do prostej o równaniu \(y=-2x+10\) otrzymamy:
$$-2x+10=0 \\
-2x=-10 \\
x=5$$

To oznacza, że \(B=(5;0)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(M\).
Skoro znamy współrzędne obydwu tych punktów to możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej albo też zbudować prosty układ równań. Szybciej będzie chyba skorzystać ze wzoru:
$$(y-y_{A})(x_{M}-x_{A})-(y_{M}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-0)(2-(-4))-(9-0)(x-(-4))=0 \\
(y-0)(2+4)-9\cdot(x+4)=0 \\
(y-0)\cdot6-9\cdot(x+4)=0 \\
6y-9x-36=0 \\
6y=9x+36 \quad\bigg/:6 \\
y=\frac{3}{2}x+6$$

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Stworzymy układ równań składających się z dwóch prostych, których miejscem przecięcia się są właśnie współrzędne punktu \(C\).
\begin{cases}
y=-2x+10 \\
y=\frac{3}{2}x+6
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania otrzymujemy:
$$-2x+10=\frac{3}{2}x+6 \quad\bigg/\cdot2 \\
-4x+20=3x+12 \\
-7x=-8 \\
x=\frac{8}{7}$$

Współrzędną \(y\) obliczmy podstawiając wartość \(x=\frac{8}{7}\) do jednego z równań:
$$y=-2\cdot\frac{8}{7}+10 \\
y=\frac{-16}{7}+10 \\
y=\frac{-16}{7}+\frac{70}{7} \\
y=\frac{54}{7}$$

Mamy zatem: \(C=\left(\frac{8}{7};\frac{54}{7}\right)\).

Krok 5. Obliczenie pola trójkąta.
Do obliczenia pola trójkąta potrzebujemy jeszcze poznać długości podstawy trójkąta i wysokości.
• Długość podstawy trójkąta: \(|AB|=5+4=9\) (wynika to bezpośrednio z rysunku - pięć jednostek z punktu \(A\) do środka układu współrzędnych plus cztery jednostki ze środka układu współrzędnych do punktu \(B\)).
• Wysokość trójkąta to tak naprawdę współrzędna igrekowa punktu \(C\), czyli \(H=\frac{54}{7}\).

Pole trójkąta jest więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot H \\
P=\frac{1}{2}\cdot9\cdot\frac{54}{7} \\
P=\frac{1}{2}\cdot\frac{486}{7} \\
P=\frac{243}{7}=34\frac{5}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(B=(5;0)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{2}\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AM\), czyli \(y=\frac{3}{2}x+6\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz zależność między długościami odcinków \(CD\) oraz \(DA\) (gdzie punkt \(D\) jest miejscem przecięcia się wysokości trójkąta z osią iksów): \(\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{3}{2}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(C=\left(\frac{8}{7};\frac{54}{7}\right)\) (patrz: Krok 4.), ale nie obliczysz współrzędnych punktu \(B\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość podstawy \(|AB|=9\) (patrz: Krok 5.) i zapiszesz równanie lub układ równań z którego można obliczyć współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, z którego można wyznaczyć wysokość trójkąta \(ABC\) np. \(\frac{h}{9-\frac{1}{2}h}=\frac{3}{2}\).
4 pkt
• Gdy obliczysz zarówno współrzędne punktu \(B\) jak i \(C\) (patrz: Krok 2. oraz 4.)
ALBO
• Gdy obliczysz przynajmniej drugą współrzędną punktu \(C\), czyli \(y_{c}=\frac{54}{7}\) (patrz: Krok 4.) oraz wyznaczysz długość podstawy \(|AB|=9\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że wysokość trójkąta \(ABC\) to \(h=\frac{54}{7}\).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P_{ABC}=2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy naszkicować sobie powyższą sytuację, co jak się za chwilę okaże będzie kluczem do rozwiązania tego zadania.



Dodatkowo oznaczyłem sobie początek układu współrzędnych jako punkt \(O\), tak aby móc dokładnie nazywać poszczególne trójkąty które będziemy sobie za chwilę rozpatrywać.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Naszym zadaniem zgodnie z treścią zadania jest tak naprawdę obliczenie pola trójkąta \(ABC\). Jego pole powierzchni jest różnicą między polami trójkątów \(OCA\) oraz \(OBA\), zatem:
$$P_{ABC}=P_{OCA}-P_{OBA}$$

Z treści zadania wynika, że \(P_{OCA}=10\) oraz \(P_{OBA}=8\), zatem:
$$P_{ABC}=10-8 \\
P_{ABC}=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości przyprostokątnych leżących na osi \(Ox\), czyli \(a=4\) oraz \(b=8\).
ALBO
• Gdy podasz współrzędne punktów przecięcia się z osią \(Ox\), czyli \(B=(4;0)\) oraz \(C=(5;0)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(y=-\frac{2}{3}x+\frac{204}{29}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy zobrazować tą sytuację, zaznaczając poszczególne punkty w układzie współrzędnych.



Ustalmy teraz co musimy obliczyć. Chcemy przede wszystkim wyznaczyć współrzędne punktu \(D\). Jednak żeby to zrobić, to musimy najpierw wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty \(AB\), a następnie musimy znaleźć prostą prostopadłą do tej prostej, która przechodzi przez punkt \(C\). Punkt \(D\) będzie miejscem przecięcia się tych dwóch prostych. Na sam koniec musimy jeszcze wyznaczyć prostą równoległą do boku \(BC\), która przejdzie przez punkt \(D\). No to po kolei:

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Możemy albo skorzystać ze wzoru na prostą przechodzącą przez punkty \(AB\), albo ułożyć i rozwiązać układ równań w którym do wzoru ogólnego \(y=ax+b\) podstawimy raz współrzędne punktu \(A\), a drugi raz współrzędne punktu \(B\).
\begin{cases}
2=2a+b \\
5=9a+b
\end{cases}

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-3=-7a \\
a=\frac{3}{7}$$

Znając współczynnik \(a\) możemy z dowolnego równania wyznaczyć także współczynnik \(b\):
$$2=2\cdot\frac{3}{7}+b \\
2=\frac{6}{7}+b \\
b=\frac{8}{7}$$

To oznacza, że prosta \(AB\) jest opisana równaniem \(y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Skoro prosta \(CD\) jest ma być prostopadła do prostej \(AB\), a to znaczy że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{3}{7}\), to prosta \(CD\) ma współczynnik \(a\) równy:
$$a\cdot\frac{3}{7}=-1 \\
a=-\frac{7}{3}$$

Wiemy już, że nasza prosta musi się wyrażać wzorem \(y=-\frac{7}{3}x+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), ale skoro prosta przechodzi przez punkt \(C\) o znanych nam współrzędnych, to podstawiając te współrzędne do wzoru bez problemu obliczymy brakujący współczynnik:
$$y=-\frac{7}{3}x+b \\
9=-\frac{7}{3}\cdot3+b \\
9=-7+b \\
b=16$$

To oznacza, że prosta \(CD\) jest opisana równaniem \(y=-\frac{7}{3}x+16\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Zgodnie z geometryczną interpretacją układu równań, rozwiązanie układu równań dwóch prostych da wynik będący miejscem przecięcia się tych prostych, czyli w naszym przypadku otrzymamy współrzędne punktu \(D\).
\begin{cases}
y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7} \\
y=-\frac{7}{3}x+16
\end{cases}

Podstawiając wartość \(y\) z pierwszej funkcji do drugiej otrzymamy:
$$\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}=-\frac{7}{3}x+16 \quad\bigg/\cdot21 \\
9x+24=-49x+336 \\
58x=312 \\
x=\frac{312}{58}=\frac{156}{29}$$

Podstawiajac wartość \(x=\frac{156}{29}\) do dowolnego z równań zapisanego wcześniej układu (do drugiego będzie chyba łatwiej, bo tam mamy tylko jeden ułamek) wyznaczymy współrzędną \(y\):
$$y=-\frac{7}{3}\cdot\frac{156}{29}+16 \\
y=-\frac{1092}{87}+16 \\
y=-\frac{364}{29}+16 \\
y=-\frac{364}{29}+\frac{464}{29} \\
y=\frac{100}{29}$$

Zatem \(D=\left(\frac{156}{29};\frac{100}{29}\right)\).

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Zanim wyznaczymy prostą równoległą do prostej \(BC\), to musimy poznać równanie tej prostej \(BC\). Wyznaczymy je dokładnie w ten sam sposób co równanie prostej \(AB\) z kroku drugiego.
\begin{cases}
5=9a+b \\
9=3a+b
\end{cases}

Odejmujemy równanie stronami i otrzymujemy:
$$-4=6a \\
a=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$$

I w zasadzie tyle nam wystarczy, nie potrzebujemy już obliczać współczynnika \(b\). Wystarczy nam sam współczynnik \(a\) bo to właśnie on jest potrzebny do wyznaczenia prostej równoległej.

Krok 6. Wyznaczenie równania prostej równoległej przechodzącej przez punkt \(D\).
I to jest już ostatnia rzecz którą musimy zrobić - czyli wyznaczyć wzór prostej równoległej do \(BC\), która przechodzi przez punkt \(D\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik \(a\). My w poprzednim punkcie ten współczynnik sobie wyznaczyliśmy, zatem wiemy już, że ta poszukiwana prosta równoległa będzie opisana wzorem:
$$y=-\frac{2}{3}x+b$$

Brakuje nam współczynnika \(b\), ale bez problemu go wyznaczymy podstawiając do tej prostej współrzędne punktu \(D\), które wyliczyliśmy w czwartym kroku, zatem:
$$\frac{100}{29}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{156}{29}+b \\
\frac{100}{29}=-\frac{312}{87}+b \\
\frac{100}{29}=-\frac{104}{29}+b \\
b=\frac{204}{29}$$

Szukana prosta równoległa ma więc równanie: \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{204}{29}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\), czyli \(a=\frac{3}{7}\) (patrz: Krok 2) lub prostej \(BC\), czyli \(a=-\frac{2}{3}\) (patrz: Krok 5.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz układ równań w skład którego wejdą równania prostej \(AB\) oraz \(CD\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(D=(\frac{156}{29};\frac{100}{29})\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(BC\).
Skoro punkty \(B\) i \(C\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to znaczy że odcinek \(BC\) jest bokiem kwadratu (a nie np. przekątną). Obliczając więc długość tego boku wiemy, że otrzymana wartość będzie długością boku kwadratu. Zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka:
$$|BC|=\sqrt{(x_{c}-x_{b})^2+(y_{c}-y_{b})^2} \\
|BC|=\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2} \\
|BC|=\sqrt{7^2+(-3)^2} \\
|BC|=\sqrt{49+9} \\
|BC|=\sqrt{58}$$

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu.
Znając długość boku kwadratu bez problemu obliczymy jego pole powierzchni:
$$P=a^2 \\
P=(\sqrt{58})^2 \\
P=58$$

\(y=-2x+14\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na początku dobrze jest zaznaczyć sobie w układzie współrzędnych punkty \(A\) oraz \(C\), a także prostą na której znajdą się brakujące punkty \(B\) oraz \(D\). I tu pierwsze bardzo ważne spostrzeżenie - przekątne kwadratu przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a więc nasza prosta będzie na pewno przechodzić przez punkt \(S\), który jest środkiem odcinka \(AC\).



Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(S\).
Skorzystamy ze wzorów, które dostępne są w tablicach matematycznych:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4 \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}=6 \\
S=(4;6)$$

Krok 3. Wyznaczenie wzoru prostej \(AC\).
Nasz plan działania jest dość prosty. Wyznaczymy sobie wzór prostej \(AC\), a następnie wzór prostej prostopadłej, która będzie przechodzić przez punkt \(S\). To właśnie ta prosta prostopadła jest przez nas poszukiwana. Prosta \(AC\) przyjmuje postać \(y=ax+b\), więc możemy podstawić pod ten wzór najpierw współrzędne punktu \(A\), następnie punktu \(C\) i w ten sposób stworzymy prosty układ równań:
\begin{cases}
5=2a+b \\
7=6a+b
\end{cases}

Możemy zastosować tu metodę podstawiania, przyjmując z pierwszego równania \(b=5-2a\), jednak znacznie prościej i szybciej będzie po prostu odjąć to równanie stronami. Otrzymamy wtedy:
$$-2=-4a \quad\bigg/:(-4) \\
a=\frac{1}{2}$$

Możemy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) tej prostej, choć nie będzie nam on już potrzebny do dalszych obliczeń. Podstawiamy obliczoną przed chwilą wartość współczynnika \(a\) do wybranego równania, otrzymując:
$$5=2\cdot\frac{1}{2}+b \\
5=1+b \\
b=4$$

Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(C\) to \(y=\frac{1}{2}+4\).

Krok 4. Wyznaczenie wzoru prostej \(BD\).
Prosta \(BD\) będzie na pewno prostopadła do prostej \(AC\) oraz będzie przechodzić przez punkt \(S\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(\frac{1}{2}\) to druga musi mieć:
$$a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\
a=-2$$

Wiemy już, że prosta \(BD\) przyjmuje postać \(y=-2x+b\). Brakuje nam jeszcze tylko współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając współrzędne punktu \(S\), przez który musi ta prosta przechodzić, stąd też:
$$6=-2\cdot4+b \\
6=-8+b \\
b=14$$

Wzór prostej \(BD\) to w takim razie \(y=-2x+14\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne przecięcia się przekątnych (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(C\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy rozwiązanie zadania nie jest do końca poprawne, ale wynika to z błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.