Punkty, odcinki i proste – zadania maturalne

Punkty, odcinki i proste - zadania

Zadanie 1. (1pkt) Punkty \(A=(-5,2)\) i \(B=(3,-2)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Obwód tego trójkąta jest równy:

Zadanie 2. (1pkt) Punkty \(A=(-1,3)\) i \(C=(-5,5)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe:

Zadanie 3. (1pkt) Dane są punkty \(A=(1,-4)\) i \(B=(2,3)\). Odcinek \(AB\) ma długość:

Zadanie 4. (1pkt) Punkt \(S=(2,7)\) jest środkiem odcinka \(AB\), w którym \(A=(-1,3)\). Punkt \(B\) ma współrzędne:

Zadanie 5. (1pkt) Punkty \(A=(-1,2)\) i \(B=(5,-2)\) są dwoma kolejnymi wierzchołkami rombu \(ABCD\). Obwód tego rombu jest równy:

Zadanie 6. (1pkt) Punkt \(S=(-4,7)\) jest środkiem odcinka \(PQ\), gdzie \(Q=(17,12)\). Zatem punkt \(P\) ma współrzędne:

Zadanie 7. (1pkt) Punkt \(S=(4;1)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A=(a;0)\) i \(B=(a+3;2)\). Zatem:

Zadanie 8. (1pkt) Punkty \(A=(13,-12)\) i \(C=(15,8)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie:

Zadanie 9. (1pkt) Punkt \(S=(2,-5)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-4,3)\) i \(B=(8,b)\). Wtedy:

Zadanie 10. (1pkt) Dane są punkty \(P=(-2,-2)\), \(Q=(3,3)\). Odległość punktu \(P\) od punktu \(Q\) jest równa:

Zadanie 11. (1pkt) Punkt \(K=(-4,4)\) jest końcem odcinka \(KL\), punkt \(L\) leży na osi \(Ox\), a środek \(S\) tego odcinka leży na osi \(Oy\). Wynika stąd, że:

Zadanie 12. (1pkt) W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że:

Zadanie 13. (1pkt) Prosta określona wzorem \(y=ax+1\) jest symetralną odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-3,2)\) i \(B=(1,4)\). Wynika stąd, że:

Zadanie 14. (4pkt) Punkty \(A=(2,0)\) i \(B=(12,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej \(y=x\). Oblicz współrzędne punktu \(C\).

Zadanie 15. (2pkt) Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach \(A=(3,8)\), \(B=(1,2)\), \(C=(6,7)\) jest prostokątny.

Zadanie 16. (4pkt) Punkty \(A=(1,5)\), \(B=(14,31)\), \(C=(4,31)\) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(C\) przecina prostą \(AB\) w punkcie \(D\). Oblicz długość odcinka \(BD\).

Zadanie 17. (2pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \(A=(-2,2)\) i \(B=(2,10)\).

Zadanie 18. (4pkt) Punkty \(A=(2,11)\), \(B=(8,23)\), \(C=(6,14)\) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(C\) przecina prostą \(AB\) w punkcie \(D\). Oblicz współrzędne punktu \(D\).

Zadanie 19. (4pkt) Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\) oraz \(A=(2,1)\) i \(C=(1,9)\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta jest zawarta w prostej \(y=\frac{1}{2}x\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).

Zadanie 20. (4pkt) Punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(3,-1)\) i \(C=(2,4)\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Oblicz pole tego równoległoboku.

Zadanie 21. (4pkt) Podstawą trójkąta równoramiennego \(ABC\) jest bok \(AB\), gdzie \(A=(2,1)\) i \(B=(5,2)\). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(2x-y-3=0\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

Zadanie 22. (4pkt) Punkty \(A=(3,3)\) i \(B=(9,1)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), a punkt \(M=(1,6)\) jest środkiem boku \(AC\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej \(AB\) z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka \(C\).

Zadanie 23. (2pkt) W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Zadanie 24. (4pkt) Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Ponadto wiadomo, że \(A=(-2,4)\) i \(B=(6,-2)\). Wierzchołek \(C\) należy do osi \(Oy\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

Zadanie 25. (4pkt) Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A=(-2,2)\), \(B=(6,-2)\), \(C=(10,6)\).

Zadanie 26. (2pkt) Dane są proste o równaniach \(y=x+2\) oraz \(y=-3x+b\), które przecinają się w punkcie leżącym na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi \(Ox\).

Zadanie 27. (4pkt) Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC\): \(A=(-3;-3)\) i \(C=(2;7)\) oraz prosta o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\), zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) tego trójkąta.



matura z matematyki



Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta i długość odcinka \(AB\).

Zadanie 28. (5pkt) Dane są punkty \(A=(-4,0)\) i \(M=(2,9)\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y=-2x+10\). Wierzchołek \(B\) trójkąta \(ABC\) to punkt przecięcia prostej \(k\) z osią \(Ox\) układu współrzędnych, a wierzchołek \(C\) jest punktem przecięcia prostej \(k\) z prostą \(AM\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Zadanie 29. (2pkt) Proste \(l\) i \(k\) przecinają się w punkcie \(A=(0,4)\). Prosta \(l\) wyznacza wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu \(8\), zaś prosta \(k\) – trójkąt o polu \(10\). Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt \(A\) oraz punkty przecięcia prostych \(l\) i \(k\) z osią \(Ox\).

Zadanie 30. (5pkt) Dane są wierzchołki trójkąta \(ABC\): \(A=(2,2)\), \(B=(9,5)\) i \(C=(3,9)\). Z wierzchołka \(C\) poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\). Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(D\) i równoległej do boku \(BC\).

Zadanie 31. (1pkt) Punkty \(B=(-2,4)\) i \(C=(5,1)\) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe:

Zadanie 32. (2pkt) W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty \(A=(2,5)\) i \(C=(6,7)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).

24 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Kornel

Dlaczego nie możemy zrobić tak samo zadania 21 jak 19 ?

Natalia

To dla mnie zdecydowanie najcięższe zadania otwarte :( Nie potrafię sobie w ogóle tych figur wyobrazić w układzie współrzędnych, mam nadzieję że na tegorocznej maturze będą łaskawi…

Magdalena

Skąd w zadaniu 25 wiemy, z którego wierzchołka narysować oś symetrii?

emilia20022

Czy w zadaniu 15 można porównać współczynniki kierunkowe dwóch prostych które zawierają te punkty i to tam wychodzi że są one prostopadłe dlatego kąt będzie równy 90 stopni? Pewnie nieudolnie to wytłumaczyła, ale mam nadzieję, że Pan rozumie :)

Michał

w drugim zadaniu ja wyszedłem założenia robiąc podobne zadania że na końcu zrobił bym z tych pierwiastków z 20 2pierwiastek z 5 i potem pole kwadratu i by mi wyszło 20 Czemu w ten sposób nie można zrobić takowego zadania

Dori
Reply to  SzaloneLiczby

Jak 1/2 ? Skąd się wzięła tu 1/2?
Dlaczego nie może zastosować zwory na pole ; a*a ? Wtedy wychodzi (2√5)²=20..

Łukasz

Dlaczego w zadaniu 30 by obliczyć punkt D musimy to robić z prostych. Przecież punkt D możemy potraktować jako środek i obliczyć je ze wzoru na współrzędne środka odcinka AB

Adrian

Czy w zadaniu 15 można wyznaczyć wzory każdej prostej, a następnie a sprawdzić czy któreś proste są w stosunku do siebie prostopadłe?

LoLek321

Czy zastosowany wzór w 2. zadaniu, na pole kwadratu z przekątną jest gdzieś zapisany na karcie wzorów matematycznych ?

Last edited 1 rok temu by LoLek321
enternity336

W ogóle nie rozumiem tej argumentacji z zadania 16, w jaki sposób wyznaczamy współrzędne punktu b
Musimy teraz wyznaczyć współrzędne punktu D, a zrobimy to korzystając z tego, że proste AB oraz BD przecinają się w punkcie D. Współrzędne punktu D otrzymamy więc rozwiązując prosty układ równań, który składa się z równań prostych AB oraz CD:

Ja to widzę tak że prosta DB jest częścią prostej AB. Dla mnie to jest to samo co powiedzieć prosta AD i DB przecinają się w punkcie D.

Bardzo proszę o wytłumaczenie, bo nie rozumiem tego do końca :(

ploski.patryk89

Pomyśleć że zostało już tylko dwa tygodnie. Super się ogląda te lekcje. Fajnie wytłumaczone ale jak już są trudniejsze przykłady to nie zawsze wychodzi. Tak w ogóle to nie jestem tegorocznym maturzystom. Szkole kończyłem w 2009 i wtedy niestety oblałem ustny polski a matmy nie było obowiązkowej a że teraz nie ma ustnych to postanowiłem podejść ponownie i tak się uczę od kilku miesięcy i muszę przyznać że nie jest łatwo bo ciężko się uczyć wszystkiego od początku bo że szkoły to się już prawie nic nie pamięta. Czasem się zastanawiam po co mi to było heh Pozdrawiam

bemczy

Czy takie zadania za 4pkt na maturze które są rozwiązane dobrze ale bez wykonania rysunku są punktowane za maksymalną ilość punktów?