Punkty \(E=(7,1)\) i \(F=(9,7)\) to środki boków, odpowiednio \(AB\) i \(BC\) kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość:
Z naszego rysunku musimy odczytać bardzo ważną informację (którą zaznaczyłem już na rysunku), czyli że przekątna \(AC\) jest dwa razy większa od przekątnej \(EF\). Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy od boku \(EB\) oraz analogicznie bok \(BC\) jest dwa razy dłuższy od boku \(BF\). Krótko mówiąc – bok \(EF\) jest tak jakby przekątną kwadratu, który ma dwa razy krótszy bok od kwadratu \(ABCD\). Stąd też przekątna \(EF\) jest dwa razy krótsza od przekątnej \(AC\).
Skoro tak, to musimy teraz obliczyć długość przekątnej \(EF\) i otrzymany wynik pomnożyć przez dwa – wtedy otrzymamy długość przekątnej \(AC\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|EF|=\sqrt{(x_{F}-x_{E})^2+(y_{F}-y_{E})^2} \\
|EF|=\sqrt{(9-7)^2+(7-1)^2} \\
|EF|=\sqrt{2^2+6^2} \\
|EF|=\sqrt{4+36} \\
|EF|=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$
Zgodnie z tym co zapisaliśmy wcześniej, przekątna \(AC\) jest dwa razy dłuższa od przekątnej \(EF\), zatem:
$$|AC|=2\cdot2\sqrt{10}=4\sqrt{10}$$
C. \(4\sqrt{10}\)
To nie może być kwadrat ponieważ długości odcinków EB i BF nie są równe.
Punkty E oraz F dzielą boki kwadratu na dwie równe części (tak wynika z treści zadania), zatem na pewno EB oraz BF są sobie równe :)