Punkty \(E=(7,1)\) i \(F=(9,7)\) to środki boków, odpowiednio \(AB\) i \(BC\) kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość:
Z naszego rysunku musimy odczytać bardzo ważną informację (którą zaznaczyłem już na rysunku), czyli że przekątna \(AC\) jest dwa razy większa od przekątnej \(EF\). Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy od boku \(EB\) oraz analogicznie bok \(BC\) jest dwa razy dłuższy od boku \(BF\). Krótko mówiąc – bok \(EF\) jest tak jakby przekątną kwadratu, który ma dwa razy krótszy bok od kwadratu \(ABCD\). Stąd też przekątna \(EF\) jest dwa razy krótsza od przekątnej \(AC\).
Skoro tak, to musimy teraz obliczyć długość przekątnej \(EF\) i otrzymany wynik pomnożyć przez dwa – wtedy otrzymamy długość przekątnej \(AC\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|EF|=\sqrt{(x_{F}-x_{E})^2+(y_{F}-y_{E})^2} \\
|EF|=\sqrt{(9-7)^2+(7-1)^2} \\
|EF|=\sqrt{2^2+6^2} \\
|EF|=\sqrt{4+36} \\
|EF|=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$
Zgodnie z tym co zapisaliśmy wcześniej, przekątna \(AC\) jest dwa razy dłuższa od przekątnej \(EF\), zatem:
$$|AC|=2\cdot2\sqrt{10}=4\sqrt{10}$$
C. \(4\sqrt{10}\)
To nie może być kwadrat ponieważ długości odcinków EB i BF nie są równe.
Punkty E oraz F dzielą boki kwadratu na dwie równe części (tak wynika z treści zadania), zatem na pewno EB oraz BF są sobie równe :)
Skoro to kwadrat, a wymienione punkty są środkami boków, to odległości między tymi punktami w osi X i w osi Y powinny być równe, a nie są. W osi X odległość ta wynosi 2, a w osi Y jest to aż 6. Wychodzi nam bardzo rozciągnięty prostokąt.
Błędnie zakładasz, że boki kwadratu są równoległe do osi OX oraz OY ;) Tak obrazowo rzecz ujmując – ten kwadrat w rzeczywistości będzie przechylony ;)
Prawda, zwracam honor. Tak to jest, jak się z automatu coś przyjmie i nawet nie pomyśli o tym, że może być inaczej. Zabrakło jednak tej uwagi w poprzednim komentarzu, ponieważ Marek zapewne myślał tak samo jak ja, stąd ten komentarz.
To bardzo dobrze, że dzielicie się swoimi wątpliwościami i nie boicie się pytać ;) Tutaj wszyscy się uczymy i dzięki Twojemu pytaniu ktoś inny też załapie o co chodzi w tym zadaniu ;)
Z jakiej matury jest to zadanie?
To jest zadanie z przykładowego arkuszu CKE:
https://szaloneliczby.pl/matura-podstawowa-matematyka-przykladowy-arkusz-cke-odpowiedzi/