Punkty E=(7,1) i F=(9,7) to środki boków, odpowiednio AB i BC kwadratu ABCD

Punkty \(E=(7,1)\) i \(F=(9,7)\) to środki boków, odpowiednio \(AB\) i \(BC\) kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość:

\(4\sqrt{5}\)
\(10\)
\(4\sqrt{10}\)
\(20\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

punkty E=7,1 i F=9,7 to środki boków

Z naszego rysunku musimy odczytać bardzo ważną informację (którą zaznaczyłem już na rysunku), czyli że przekątna \(AC\) jest dwa razy większa od przekątnej \(EF\). Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy od boku \(EB\) oraz analogicznie bok \(BC\) jest dwa razy dłuższy od boku \(BF\). Krótko mówiąc – bok \(EF\) jest tak jakby przekątną kwadratu, który ma dwa razy krótszy bok od kwadratu \(ABCD\). Stąd też przekątna \(EF\) jest dwa razy krótsza od przekątnej \(AC\).

Skoro tak, to musimy teraz obliczyć długość przekątnej \(EF\) i otrzymany wynik pomnożyć przez dwa – wtedy otrzymamy długość przekątnej \(AC\).

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej \(EF\).

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|EF|=\sqrt{(x_{F}-x_{E})^2+(y_{F}-y_{E})^2} \\
|EF|=\sqrt{(9-7)^2+(7-1)^2} \\
|EF|=\sqrt{2^2+6^2} \\
|EF|=\sqrt{4+36} \\
|EF|=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).

Zgodnie z tym co zapisaliśmy wcześniej, przekątna \(AC\) jest dwa razy dłuższa od przekątnej \(EF\), zatem:
$$|AC|=2\cdot2\sqrt{10}=4\sqrt{10}$$

Odpowiedź:

C. \(4\sqrt{10}\)

8 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Marek

To nie może być kwadrat ponieważ długości odcinków EB i BF nie są równe.

matura to bzdura
Reply to  SzaloneLiczby

Skoro to kwadrat, a wymienione punkty są środkami boków, to odległości między tymi punktami w osi X i w osi Y powinny być równe, a nie są. W osi X odległość ta wynosi 2, a w osi Y jest to aż 6. Wychodzi nam bardzo rozciągnięty prostokąt.

matura to bzdura
Reply to  SzaloneLiczby

Prawda, zwracam honor. Tak to jest, jak się z automatu coś przyjmie i nawet nie pomyśli o tym, że może być inaczej. Zabrakło jednak tej uwagi w poprzednim komentarzu, ponieważ Marek zapewne myślał tak samo jak ja, stąd ten komentarz.

Igor

Z jakiej matury jest to zadanie?