Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k jest styczna

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ i tworzy z cięciwą $AB$ kąt o mierze $32°$. Ponadto odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

Miara kąta rozwartego $BOC$ jest równa:

A. $148°$

B. $116°$

C. $154°$

D. $122°$

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie miary kąta $OAB$.
Z własności stycznych do okręgu wynika, że prosta $k$ musi być prostopadła do promienia. To pozwala nam stwierdzić, że suma kątów $OAB$ oraz oznaczonego kąta o mierze $32°$ musi być łącznie równa $90°$. Skoro tak, to:
$$|\sphericalangle OAB|=90°-32°=58°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta $BOC$.
Poszukiwany kąt $BOC$ jest kątem środkowym, który jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany $OAB$. Z własności kątów środkowych i wpisanych wynika, że miara kąta środkowego będzie dwa razy większa od wpisanego, zatem:
$$|\sphericalangle BOC|=58°\cdot2=116°$$

Odpowiedź

Zadania

Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k jest styczna

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt o mierze \(32°\). Ponadto odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

Miara kąta rozwartego \(BOC\) jest równa:

Rozwiązanie

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt o mierze \(32°\). Ponadto odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta rozwartego \(BOC\) jest równa:

Rozwiązanie