Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku O. Miary zaznaczonych kątów alfa i beta są odpowiednio równe

Punkty \(A, B, C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów \(α\) i \(β\) są odpowiednio równe:

punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku O

\(α=36°, β=72°\)
\(α=54°, β=72°\)
\(α=36°, β=108°\)
\(α=72°, β=72°\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie miary kąta \(α\).

Przyglądając się rysunkowi musimy zauważyć, że nasz kąt \(α\) (który jest kątem środkowym) oraz kąt \(DAC\) (który jest kątem wpisanym) są oparte na tym samym łuku. To oznacza, że miara kąta \(α\) będzie dwa razy większa od miary kąta \(DAC\), czyli:
$$α=36°\cdot2=72°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(β\).

Zanim obliczymy miarę kąta \(β\), to przyda nam się jeszcze znajomość kąta \(ADC\). Jego miara jest równa:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-36°-36°=108°$$

Skoro nasz czworokąt jest wpisany w okrąg to suma kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa \(180°\). Naprzeciw naszego kąta \(β\) leży obliczony przed chwilą kąt \(ADC\), tak więc miara kąta \(β\) jest równa:
$$β=180°-108°=72°$$

Tak na marginesie, to w zasadzie można byłoby rozwiązać to zadanie bez umiejętności obliczania miary kąta \(β\). Wystarczy przyjrzeć się odpowiedziom i skoro wiemy, że \(α=36°\) to zostają nam dwie możliwości \(β=72°\) lub \(β=108°\). Z rysunku jasno wynika, że \(β\) jest na pewno kątem ostrym, stąd też gdybyśmy nie umieli dokończyć tego zadania w matematyczny sposób, to sprytną analizą sytuacji możemy i tak wybrać prawidłową odpowiedź.

Odpowiedź:

D. \(α=72°, β=72°\)

Dodaj komentarz