Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Teoretycznie moglibyśmy próbować po kratkach określić współrzędne punktu \(D\), tak aby potem obliczyć długość przekątnej \(BD\), ale jest spora rozpiętość między punktami, więc łatwo tutaj o pomyłkę. Zróbmy więc to zadanie w sposób bardziej uniwersalny, zaczynając od prostego szkicu całej sytuacji:
Krok 2. Obliczenie współrzędnych miejsca przecięcia się przekątnych równoległoboku.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Skoro tak, to znając współrzędne wierzchołków \(A\) oraz \(C\), możemy obliczyć środek tego odcinka, czyli jednocześnie miejsce przecięcia się tych przekątnych. Wykorzystamy w tym celu wzór na środek odcinka w układzie współrzędnych:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-6+10}{2};\frac{5+(-3)}{2}\right) \\
S=\left(\frac{4}{2};\frac{2}{2}\right) \\
S=(2;1)$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka BS (połowa przekątnej).
Odcinek \(BS\) to odcinek od wierzchołka równoległoboku do miejsca przecięcia się przekątnych. Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|BS|=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2} \\
|BS|=\sqrt{(2-5)^2+(1-7)^2} \\
|BS|=\sqrt{(-3)^2+(-6)^2} \\
|BS|=\sqrt{9+36} \\
|BS|=\sqrt{45} \\
|BS|=3\sqrt{5}$$
Krok 4. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Skoro przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, to przekątna \(BD\) będzie dwa razy większa od odcinka \(BS\), zatem:
$$|BD|=2\cdot3\sqrt{5} \\
|BD|=6\sqrt{5}$$
