Punkty A=(-6-2√2, 4-2√2), B=(2+4√2, -6√2), C=(2+6√2, 6-2√2) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD

Punkty \(A=(-6-2\sqrt{2}, 4-2\sqrt{2})\), \(B=(2+4\sqrt{2}, -6\sqrt{2})\), \(C=(2+6\sqrt{2}, 6-2\sqrt{2})\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie:

\(S=(-1+4\sqrt{2},\;5-5\sqrt{2})\)
\(S=(-2+\sqrt{2},\;2-4\sqrt{2})\)
\(S=(2+5\sqrt{2},\;3-4\sqrt{2})\)
\(S=(-2+2\sqrt{2},\;5-2\sqrt{2})\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Spróbujmy mniej więcej zaznaczyć w układzie współrzędnych punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\):

punkty są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD

Nie znamy współrzędnych punktu \(D\) (na rysunku jest on tylko by zobrazować sobie jak wygląda ten równoległobok), ale nie jest nam on na szczęście potrzebny. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, zatem wystarczy wyznaczyć środek odcinka \(AC\) (a mamy na to wzór w tablicach).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się przekątnych.

Zgodnie ze wzorami współrzędne \(S=(x_{S};y_{S})\) środka odcinka \(AC\) możemy obliczyć w następujący sposób:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
x_{S}=\frac{-6-2\sqrt{2}+2+6\sqrt{2}}{2} \\
x_{S}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2} \\
x_{S}=-2+2\sqrt{2}$$

Tak naprawdę moglibyśmy w tym momencie skończyć rozwiązywanie zadania, bo tylko w czwartej odpowiedzi znajduje się obliczona przed chwilą współrzędna \(x_{S}\). Dla sprawdzenia i wprawy obliczmy sobie jeszcze współrzędną \(y_{S}\):
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
y_{S}=\frac{4-2\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}}{2} \\
y_{S}=\frac{10-4\sqrt{2}}{2} \\
y_{S}=5-2\sqrt{2}$$

Odpowiedź:

D. \(S=(-2+2\sqrt{2},\;5-2\sqrt{2})\)

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!