Punkty A=(3,3) i B=(9,1) są wierzchołkami trójkąta ABC, a punkt M=(1,6) jest środkiem boku AC. Oblicz współrzędne punktu przecięcia

Punkty \(A=(3,3)\) i \(B=(9,1)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), a punkt \(M=(1,6)\) jest środkiem boku \(AC\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej \(AB\) z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka \(C\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty z treści zadania i od razu oszacujmy mniej więcej gdzie znajdzie się punkt \(C\) (z którego to wierzchołka musimy poprowadzić później wysokość trójkąta) oraz punkt \(D\), którego współrzędnych poszukujemy.

punkty A=3,3 i B=9,1 są wierzchołkami trójkąta ABC

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).

Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka \(AC\), bowiem znamy współrzędne środka \(M\) i znamy też współrzędne punktu \(A\), zatem jedyną niewiadomą będą w tej sytuacji współrzędne punktu \(C\). Obliczmy po kolei każdą ze współrzędnych:
$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
1=\frac{3+x_{C}}{2} \\
2=3+x_{C} \\
x_{C}=-1 \\
\text{oraz}\\
y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
6=\frac{3+y_{C}}{2} \\
12=3+y_{C} \\
y_{C}=9$$

Współrzędne punktu \(C\) to w takim razie \(C=(-1;9)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).

Potrzebujemy znać równanie prostej \(AB\), bo to na jej przedłużeniu znajdzie się poszukiwany przez nas punkt \(D\). Możemy tutaj skorzystać ze wzoru na równanie prostej, zatem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-3)(9-3)-(1-3)(x-3)=0 \\
(y-3)6-(-2)(x-3)=0 \\
6y-18-(-2x+6)=0 \\
6y-18+2x-6=0 \\
6y+2x-24=0 \\
6y=-2x+24 \\
y=-\frac{2}{6}x+4 \\
y=-\frac{1}{3}x+4$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(y=-\frac{1}{3}x+4\) przechodzącej przez punkt \(C\).

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma \(a=-\frac{1}{3}\), to poszukiwana prosta prostopadła ma na pewno współczynnik kierunkowy równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\
a=3$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła ma wzór \(y=3x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\), tak aby ta prosta przechodziła dokładnie przez punkt \(C\). Aby to osiągnąć Wystarczy podstawić do tego wzoru współrzędne punktu \(C\) (obliczyliśmy je sobie w drugim kroku):
$$y=3x+b \\
9=3\cdot(-1)+b \\
9=-3+b \\
b=12$$

Poszukiwana prosta prostopadła wyraża się więc wzorem \(y=3x+12\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).

Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych jest punkt ich przecięcia się. Tworząc więc układ równań z dwóch prostych (których wzory sobie wyznaczyliśmy w poprzednich krokach) obliczymy poszukiwane współrzędne punktu \(D\).
\begin{cases}
y=-\frac{1}{3}x+4 \\
y=3x+12
\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-\frac{1}{3}x+4=3x+12 \quad\bigg/\cdot3 \\
-x+12=9x+36 \\
-10x=24 \\
x=-2,4$$

Drugą współrzędną obliczymy podstawiając \(x=-2,4\) do jednego z równań:
$$y=3\cdot(-2,4)+12 \\
y=-7,2+12 \\
y=4,8$$

To oznacza, że współrzędnymi poszukiwanego punktu są \(D=(-2,4;\;4,8)\).

Odpowiedź:

\(D=(-2,4;\;4,8)\)

Dodaj komentarz