Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Rozwiązywanie zadania dobrze jest rozpocząć od narysowania przynajmniej szkicu całej sytuacji. Trójkąt \(ABC\) wraz z symetralną będzie wyglądał mniej więcej w ten oto sposób:
Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka \(AB\).
Symetralna przechodzi zawsze przed środek odcinka, stąd też chcemy poznać jakie współrzędne ma środek odcinka \(AB\). W tym celu skorzystamy ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$
I tu taka mała podpowiedź - aby ułatwić sobie obliczenia, można byłoby współrzędne punktu \(A\) zapisać w postaci ułamków dziesiętnych \(A=\left(4,4;\;-4,2\right)\). Pozwoli nam to wykonać szybkie i sprawne obliczenia na kalkulatorze:
$$S=\left(\frac{4,4+6}{2};\frac{-4,2+7}{2}\right) \\
S=\left(\frac{10,4}{2};\frac{2,8}{2}\right) \\
S=\left(5,2;\;1,4\right)$$
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy wyznaczyć wręcz pełne równanie prostej \(AB\). Nam jednak wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego \(a\), bo to on przyda nam się później do zapisania równania symetralnej, która jest prostą prostopadłą. Możemy oczywiście wyznaczyć ten współczynnik budując odpowiedni układ równań, ale prościej i szybciej będzie skorzystać ze wzoru na współczynnik \(a\), zatem:
$$a=\frac{7-1,4}{6-5,2} \\
a=\frac{5,6}{0,8} \\
a=7$$
Krok 4. Wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\) (czyli prostej \(SD\)).
Symetralna odcinka \(AB\) jest prostą prostopadłą do tego boku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(AB\) ma ten współczynnik \(a=7\), to symetralna będzie miała współczynnik \(a=-\frac{1}{7}\), bo \(7\cdot\left(-\frac{1}{7}\right)=-1\). Skoro tak, to wiemy już, że prosta symetralna będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{1}{7}+b\). Brakujący współczynnik \(b\) poznamy podstawiając współrzędne punktu \(S\) do tego równania, zatem:
$$1,4=-\frac{1}{7}\cdot5,2+b \\
\frac{7}{5}=-\frac{1}{7}\cdot\frac{26}{5}+b \\
\frac{7}{5}=-\frac{26}{35}+b \\
\frac{49}{35}=-\frac{26}{35}+b \\
b=\frac{75}{35}=2\frac{5}{35}=2\frac{1}{7}$$
To oznacza, że prosta symetralna wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{7}x+2\frac{1}{7}\).
Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Do wyznaczenia miejsca przecięcia się symetralnej z prostą \(BC\) potrzebujemy równania prostej \(BC\). Znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\), więc możemy albo skorzystać z długiego wzoru z tablic maturalnych, albo też z tradycyjnej metody układu równań. Skorzystajmy z tej drugiej metody, zatem podstawmy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\) do postaci \(y=ax+b\), otrzymując taki oto układ:
\begin{cases}
7=6a+b \\
2=-9a+b
\end{cases}
Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$5=15a \\
a=\frac{1}{3}$$
Podstawiając teraz wyznaczone \(a=\frac{1}{3}\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), obliczymy brakujący współczynnik \(b\), zatem:
$$7=6\cdot\frac{1}{3}+b \\
7=2+b \\
b=5$$
To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+5\).
Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że współrzędne punktu \(D\) poznamy rozwiązując układ równań, który składa się z dwóch prostych przecinających się w tym punkcie - czyli w naszym przypadku będą to symetralna odcinka oraz prosta \(BC\). Musimy zatem rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=-\frac{1}{7}x+2\frac{1}{7} \\
y=\frac{1}{3}x+5
\end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$-\frac{1}{7}x+2\frac{1}{7}=\frac{1}{3}x+5 \quad\bigg/\cdot21 \\
-3x+45=7x+105 \\
-10x=60 \\
x=-6$$
Podstawiając teraz współrzędną \(x=-6\) do wybranego równania z układu (np. drugiego), obliczymy brakującą współrzędną \(y\), zatem:
$$y=\frac{1}{3}\cdot(-6)+5 \\
y=-2+5 \\
y=3$$
Tym samym możemy stwierdzić, że \(D=(-6,3)\).
