Punkty A=(-2,-8) i B=(14,-8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=|AC|

Punkty \(A=(-2,-8)\) i \(B=(14,-8)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB|=|AC|\). Wysokość \(AD\) tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x-7\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego trójkąta.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie całą sytuację, tak aby było łatwiej zrozumieć co musimy policzyć:

matura z matematyki

Z rysunku powinniśmy wywnioskować, że kluczem do sukcesu będzie odnalezienie współrzędnych punktu \(D\), który jest środkiem odcinka \(BC\) (wiemy że jest środkiem, bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części). Aby jednak tego dokonać, musimy poznać równanie prostej \(BC\).

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prostą \(BC\) możemy wyrazić równaniem \(y=ax+b\). Aby poznać pełen wzór, to musimy obliczyć wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). O prostej \(BC\) wiemy, że jest prostopadła do prostej \(AD\), zatem iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AD\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to prosta \(BC\) ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\
a=-2$$

To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-2x+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do tego równania współrzędne jednego z punktów przechodzących przez tą prostą, czyli punktu \(B=(14;-8)\):
$$y=-2x+b \\
-8=-2\cdot14+b \\
-8=-28+b \\
b=20$$

W ten oto sposób udało nam się wyznaczyć równanie prostej \(BC\) i jest to \(y=-2x+20\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest miejscem przecięcia się prostych \(BC\) oraz \(AD\), zatem współrzędne tego punktu będą rozwiązaniem układu równań składającego się ze wzorów tych dwóch prostych:
$$\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-7 \\
y=-2x+20
\end{cases}$$

Stosując metodę podstawiania otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x-7=-2x+20 \\
\frac{5}{2}x=27 \\
5x=54 \\
x=\frac{54}{5}$$

Znamy już współrzędną iksową punktu \(D\), a współrzędną igrekową obliczymy podstawiając do jednego z równań wyliczonego przed chwilą iksa:
$$y=-2x+20 \\
y=-2\cdot\frac{54}{5}+20 \\
y=-\frac{108}{5}+20 \\
y=-\frac{8}{5}$$

To oznacza, że \(D=\left(\frac{54}{5};-\frac{8}{5}\right)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Ustaliliśmy już, że punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(BC\). Środek odcinka \(BC\) możemy opisać wzorem:
$$D=\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2};\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)$$

Znając współrzędne środka \(D\) oraz punktu \(B\) obliczymy współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{D}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2} \\
\frac{54}{5}=\frac{14+x_{C}}{2} \\
\frac{108}{5}=14+x_{C} \\
x_{C}=\frac{38}{5} \\
\quad \\
y_{D}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2} \\
-\frac{8}{5}=\frac{-8+y_{C}}{2} \\
-\frac{16}{5}=-8+y_{C} \\
y_{C}=\frac{24}{5}$$

Zatem poszukiwane przez nas współrzędne punktu \(C\) są następujące: \(C=\left(\frac{38}{5};\frac{24}{5}\right)\)

Odpowiedź

\(C=\left(\frac{38}{5};\frac{24}{5}\right)\)

Dodaj komentarz