Punkty A=(-1,1) i C=(1,9) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na układ współrzędnych znane nam punkty oraz równanie prostej \(AB\), tak aby łatwiej dostrzec co musimy policzyć:

matura z matematyki

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że boku \(AC\) oraz \(BC\) są równej długości. Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych \(|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}\) oraz \(|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}\) i podstawić tam współrzędne naszych punktów \(A=(-1,1)\), \(C=(1,9)\) oraz \(B=(x,y)\). Otrzymamy wtedy:
$$\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
\sqrt{(1-(-1))^2+(9-1)^2}=\sqrt{(1-x)^2+(9-y)^2} \quad\bigg/^2 \\
(1+1)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+(9-y)^2 \\
2^2+8^2=(1-x)^2+(9-y)^2 \\
4+64=(1-x)^2+(9-y)^2 \\
(1-x)^2+(9-y)^2=68$$

Krok 3. Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.
Póki co mamy równanie z dwiema niewiadomymi - \(x\) oraz \(y\). Pod wartość igreka możemy teraz podstawić równanie z treści zadania, czyli \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Dzięki temu będziemy mieć równanie z jedną niewiadomą. I ten sposób rozwiązania jest dobry (i jest chyba najpopularniejszy), ale sprawi iż w trakcie liczenia będziemy mieć dużo ułamków na swojej drodze, przez co łatwo będzie o błąd. Możemy więc postąpić nieco sprytniej. Przekształcając równanie prostej otrzymamy:
$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
2y=x+3 \\
x=2y-3$$

Teraz możemy podstawić to równanie pod naszego iksa i otrzymamy:
$$(1-(2y-3))^2+(9-y)^2=68 \\
(1-2y+3)^2+(9-y)^2=68 \\
(4-2y)^2+(9-y)^2=68 \\
16-16y+4y^2+81-18y+y^2=68 \\
5y^2-34y+97=68 \\
5y^2-34y+29=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, zatem:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=29\)
$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot29=1156-580=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)-24}{2\cdot5}=\frac{34-24}{10}=\frac{10}{10}=1 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)+24}{2\cdot5}=\frac{34+24}{10}=\frac{58}{10}=\frac{29}{5}$$

Krok 5. Interpretacja otrzymanego wyniku i wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Otrzymaliśmy dwa wyniki: \(y=1\) oraz \(y=\frac{29}{5}\). Spróbujmy zatem wyznaczyć dla obu tych przypadków współrzędną iksową, podstawiając igreki np. do równania \(x=2y-3\).

Dla \(y=1\):
$$x=2\cdot1-3 \\
x=2-3 \\
x=-1$$

Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=-1\) oraz \(y=1\), czyli współrzędne punktu \(A\).

Dla \(y=\frac{29}{5}\):
$$x=2\cdot\frac{29}{5}-3 \\
x=\frac{58}{5}-3 \\
x=\frac{43}{5}$$

Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=\frac{43}{5}\) oraz \(y=\frac{29}{5}\) i to są właśnie współrzędne punktu \(B\).

Odpowiedź

\(B=\left(\frac{43}{5},\frac{29}{5}\right)\)

Dodaj komentarz