Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(ABC\). Kąt \(ACS\) jest trzy razy większy od kąta \(BAS\), a kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\). Oblicz kąty trójkąta \(ABC\).

punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Musimy dostrzec, że trójkąty \(ABS\), \(BSC\) i \(ASC\) są równoramienne, bo każdy z nich ma dwa ramiona o długości promienia okręgu. Trójkąty równoramienne mają tę cechę, że przy podstawie posiadają dwa kąty identycznej miary. W związku z tym, jeśli oznaczymy sobie jako \(α\) kąt \(BAS\), to także kąt \(ABS\) jest równy \(α\).

Z treści zadania wiemy też, że kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\), czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami miara kąta \(CBS\) jest równa \(2α\). To oznacza, że i kąt \(BCS\) ma miarę \(2α\). I analogicznie skoro kąt \(ACS\) jest równy \(3α\), to i kąt \(CAS\) ma miarę \(3a\). Oznaczmy sobie wszystkie te dane na rysunku pomocniczym.

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie miar kątów trójkąta \(ABC\).

Suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\). Na rysunku widzimy, że:
$$|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCA|+|\sphericalangle CAB|=3α+5α+4α=12α$$

To oznacza, że bardzo łatwo możemy wyznaczyć wartość \(α\) i tym samym obliczyć miarę każdego z kątów.
$$12α=180° \\
α=15°$$

Zatem:
$$|\sphericalangle ABC|=3α=3\cdot15°=45° \\
|\sphericalangle BCA|=5α=5\cdot15°=75° \\
|\sphericalangle CAB|=4α=4\cdot15°=60°$$

Odpowiedź:

\(|\sphericalangle ABC|=45°, |\sphericalangle BCA|=75°, |\sphericalangle CAB|=60°\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.