Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy

Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $ABC$. Kąt $ACS$ jest trzy razy większy od kąta $BAS$, a kąt $CBS$ jest dwa razy większy od kąta $BAS$. Oblicz kąty trójkąta $ABC$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Musimy dostrzec, że trójkąty $ABS$, $BSC$ i $ASC$ są równoramienne, bo każdy z nich ma dwa ramiona o długości promienia okręgu. Trójkąty równoramienne mają tę cechę, że przy podstawie posiadają dwa kąty identycznej miary. W związku z tym, jeśli oznaczymy sobie jako $α$ kąt $BAS$, to także kąt $ABS$ jest równy $α$.

Z treści zadania wiemy też, że kąt $CBS$ jest dwa razy większy od kąta $BAS$, czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami miara kąta $CBS$ jest równa $2α$. To oznacza, że i kąt $BCS$ ma miarę $2α$. I analogicznie skoro kąt $ACS$ jest równy $3α$, to i kąt $CAS$ ma miarę $3a$. Oznaczmy sobie wszystkie te dane na rysunku pomocniczym.

Krok 2. Obliczenie miar kątów trójkąta $ABC$.

To oznacza, że bardzo łatwo możemy wyznaczyć wartość $α$ i tym samym obliczyć miarę każdego z kątów.
$$12α=180° \\
α=15°$$

Odpowiedź:

$|\sphericalangle ABC|=45°, |\sphericalangle BCA|=75°, |\sphericalangle CAB|=60°$

Zadania

Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(ABC\). Kąt \(ACS\) jest trzy razy większy od kąta \(BAS\), a kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\). Oblicz kąty trójkąta \(ABC\).