Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 6, a przeciwprostokątna AB

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na trójkąt długości boków z treści zadania (musimy przy okazji uważać na oznaczenia, tak aby przeciwprostokątną był bok \(AB\)), otrzymamy taką oto sytuację:
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\).
Znamy długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, więc obliczymy brakującą długość przyprostokątnej korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AC|^2+6^2=(3\sqrt{5})^2 \\
|AC|^2+36=9\cdot5 \\
|AC|^2+36=45 \\
|AC|^2=9 \\
|AC|=3 \quad\lor\quad |AC|=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|AC|=3\).

Krok 3. Obliczenie tangensa kąta \(CAB\).
Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko danego kąta, względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. W naszym przypadku oznacza to, że:
$$tg\alpha=\frac{|BC|}{|AC|} \\
tg\alpha=\frac{3}{6} \\
tg\alpha=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź

C

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments