Przekształcanie wzorów

W tym temacie dowiemy się czym jest przekształcanie wzorów oraz jak dokonywać takich przekształceń w sposób prawidłowy, tak aby uniknąć niepotrzebnych błędów.

Zanim jednak przejdziemy do przekształceń to powiedzmy sobie w jaki sposób rozwiązywaliśmy równania typu \(a+7=9\). To oczywiście prosta sprawa, po prostu odejmowaliśmy obustronnie siódemkę i w ten sposób wychodziło nam, że \(a=2\). Rozpisanie tego procesu liczenia wyglądało następująco:
$$a+7=9 \quad\bigg/-7 \\
a=9-7 \\
a=2$$

Teraz wyobraźmy sobie, że zamiast siódemki mamy niewiadomą \(b\), natomiast zamiast dziewiątki pojawi nam się niewiadoma \(c\). Będziemy mieć więc równanie \(a+b=c\). W jaki sposób wyznaczymy z tego równania/wzoru ile jest równa niewiadoma \(a\)? Zrobimy dokładnie to w ten sam sposób jak to odbywało się na liczbach:
$$a+b=c \quad\bigg/-b \\
a+b-b=c-b \\
a=c-b$$

To co właśnie zrobiliśmy przed chwilą nazywamy przekształcaniem wzorów. Wzór \(a+b=c\) przekształciliśmy do postaci \(a=c-b\). Co nam daje takie przekształcenie? Dzięki niemu wiemy jakim wzorem jest określona w tym przypadku niewiadoma \(a\). Zastosowanie takich przekształceń jest bardzo szerokie – dzięki nim będziemy w stanie przykładowo rozwiązywać układy równań czy też będziemy mogli sprawniej dokonywać obliczeń geometrycznych wyznaczając np. ze wzorów na pole figury długości poszczególnych boków. Wykonajmy sobie kilka takich przykładowych przekształceń:

Przykład 1. Wyznacz wartość \(y\) z równania \(2x=y+3\).

$$2x=y+3 \quad\bigg/-3 \\
2x-3=y+3-3 \\
2x-3=y \\
\text{czyli inaczej zapisując:} \\
y=2x-3$$

Oczywiście rozwiązując równania nie musimy tak bardzo tego rozpisywać jak powyżej, aczkolwiek jeśli jest to początek naszej przygody z przekształcaniem równań, to takie rozpisywanie wcale nie jest takim złym pomysłem – przynajmniej niczego nie przegapimy.

Przykład 2. Wyznacz wartość \(y\) z równania \(x=2y+8\).

Zadanie dość podobne do poprzedniego, aczkolwiek tym razem będziemy musieli wykonać jedno działanie więcej, bo w naszym równaniu nie występuje samotny \(y\), tylko jednomian \(2y\):
$$x=2y+8 \quad\bigg/-8 \\
x-8=2y \quad\bigg/:2 \\
y=\frac{x-8}{2}$$

Przykład 3. Wyznacz wysokość \(h\) ze wzoru na pole trójkąta.

Tym razem przykład bardzo praktyczny. Często bowiem w różnych zadaniach mamy sytuację w której podane są jakieś informacje, a my przekształcając znany wzór musimy wyznaczyć poszukiwaną miarę. Spróbujmy właśnie w ten sposób wyznaczyć wysokość ze wzoru na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah \quad\bigg/\cdot2 \\
2P=ah \quad\bigg/:a \\
h=\frac{2P}{a}$$

Jest jednak jeszcze jedna rzecz o której koniecznie musimy sobie powiedzieć. Z racji tego iż w matematyce nie istnieje coś takiego jak dzielenie przez zero, to od czasu do czasu będziemy zmuszeni zapisać tak zwane założenia do naszych przekształceń. Spójrzmy na taką oto sytuację. Mamy wzór:
$$\frac{3a}{c}=b$$

Chcemy wyznaczyć wartość \(a\), czyli doprowadzić ten wzór do postaci \(a=…\) W mianowniku ułamka po lewej stronie równania znalazła się niewiadoma \(c\) i chcąc się pozbyć tej postaci ułamkowej pierwszą rzeczą jaka nam się nasuwa jest oczywiście pomnożenie obydwu stron równania przez \(c\). To jest oczywiście dobry pomysł, ale najpierw musimy zapisać założenia. Zastanówmy się czy jest możliwe, by \(c=0\). Nie jest to możliwe, bo mielibyśmy po lewej stronie ułamek \(\frac{3a}{0}\), a więc powstałoby dzielenie przez zero, które w matematyce nie istnieje. Musimy więc zawsze zapisać odpowiednie założenia do naszego zadania, w tym przypadku: \(c\neq0\).

Dopiero teraz możemy przystąpić do przekształcania:
$$\frac{3a}{c}=b \quad\bigg/\cdot c \\
3a=bc \quad\bigg/:3 \\
a=\frac{bc}{3}$$

Pojawia się tutaj od razu takie problematyczne pytanie: Czy zawsze trzeba pisać założenia? Często założenia są podane w treści zadania, wtedy odpada nam obowiązek ich wypisywania. Rzadko kiedy wypisuje się też założenia w takich prostych zadaniach z geometrii, gdzie posługujemy się dość pospolitymi miarami (np. wzory na pole danej figury, wzór na prędkość itd.) o których wiemy że są po prostu wartościami dodatnimi. Przykładowo długość boku trójkąta zawsze jest różna od zera, nie ma więc sensu w każdym zadaniu z geometrii pisać, że \(a\neq0\). Nie mniej jednak warto pamiętać o tym skąd wynika fakt, że w niektórych przypadkach pojawiają się pewne wykluczenia, bo zdarzają się i takie zadania, które właśnie polegają na szczegółowym zapisaniu założeń.

Dodaj komentarz