Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Objętość tego stożka wyraża się wzorem:
\(\frac{\sqrt{3}}{6}πa^3\)
\(\frac{\sqrt{3}}{8}πa^3\)
\(\frac{\sqrt{3}}{12}πa^3\)
\(\frac{\sqrt{3}}{24}πa^3\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro w przekroju jest trójkąt równoboczny, to możemy wprowadzić następujące oznaczenia:
Z rysunku wynika, że promień podstawy jest równy \(r=\frac{1}{2}a\).
Krok 2. Wyznaczenie pola podstawy i wysokości stożka.
Znając długość promienia możemy obliczyć pole podstawy stożka:
$$P_{p}=πr^2 \\
P_{p}=π\cdot\left(\frac{1}{2}a\right)^2 \\
P_{p}=\frac{1}{4}πa^2$$
Wysokość stożka jest wysokością naszego trójkąta równobocznego, zatem zgodnie ze standardowym wzorem na wysokość trójkąta równobocznego:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
Krok 3. Obliczenie objętości stożka.
Do wzoru na objętość stożka musimy podstawić dane wyznaczone w drugim kroku:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}πa^2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
V=\frac{\sqrt{3}}{24}πa^3$$
Odpowiedź:
D. \(\frac{\sqrt{3}}{24}πa^3\)
