Rozwiązanie
Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Spójrzmy na trójkąty \(AEF\) oraz \(ADB\). Są to trójkąty podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skoro tak, to zajdzie między tutaj następująca zależność:
$$\frac{|AF|}{|EF|}=\frac{|AB|}{|BD|}$$
Jeżeli teraz przyjmiemy, że długość boku rombu to \(a\) i podstawimy znaną długość \(|BD|=12\), to otrzymamy:
$$\frac{|AF|}{a}=\frac{|AB|}{12}$$
Teraz spójrzmy na trójkąty \(FBG\) oraz \(ABC\). One także są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt i tutaj także moglibyśmy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{|BF|}{|FG|}=\frac{|AB|}{|AC|}$$
Podstawiając długość boku rombu \(a\) oraz \(|AC|=16\), otrzymamy:
$$\frac{|BF|}{a}=\frac{|AB|}{16}$$
Krok 2. Obliczenie długości boku rombu.
Dobrze byłoby dostrzec, że długość boku \(AB\) jest sumą długości \(AF\) oraz \(BF\), czyli odcinków, które pojawiają się w zapisanych równaniach z pierwszego kroku. Spróbujmy te równania przekształcić, tak aby mieć po lewej stronie jedynie \(AF\) oraz \(BF\):
Pierwsze równanie:
$$\frac{|AF|}{a}=\frac{|AB|}{12} \quad\bigg/\cdot a \\
|AF|=\frac{|AB|\cdot a}{12}$$
Drugie równanie:
$$\frac{|BF|}{a}=\frac{|AB|}{16} \quad\bigg/\cdot a \\
|BF|=\frac{|AB|\cdot a}{16}$$
Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$|AB|=|AF|+|BF| \\
|AB|=\frac{|AB|\cdot a}{12}+\frac{|AB|\cdot a}{16} \quad\bigg/\cdot48 \\
48\cdot |AB|=4\cdot|AB|\cdot a+3\cdot|AB|\cdot a \\
48\cdot |AB|=7\cdot|AB|\cdot a \quad\bigg/:|AB| \\
48=7a \\
a=\frac{48}{7}$$
skąd się wzięło 48? a później 3 i 4?
Mnożę obustronnie przez 48, aby pozbyć się ułamków (48 to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 12 i 16, które są w mianownikach ułamków), aczkolwiek nic się nie stanie jak pomnożysz obydwie strony przez np. 96 czy nawet 192. No i jak pomnożymy to przez te 48, to 1/12|AB|*a razy 48 to jest 4|AB|*a, no i analogicznie 1/16|AB|*a razy 48 to 3|AB|*a