Przekątne równoległoboku ABCD mają długości: |AC|=16 oraz |BD|=12

Przekątne równoległoboku \(ABCD\) mają długości: \(|AC|=16\) oraz \(|BD|=12\). Wierzchołki \(E, F, G\) oraz \(H\) rombu \(EFGH\) leżą na bokach równoległoboku \(ABCD\) (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

matura z matematyki



Oblicz długość boku rombu \(EFGH\).

Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Spójrzmy na trójkąty \(AEF\) oraz \(ADB\). Są to trójkąty podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skoro tak, to zajdzie między tutaj następująca zależność:
$$\frac{|AF|}{|EF|}=\frac{|AB|}{|BD|}$$

Jeżeli teraz przyjmiemy, że długość boku rombu to \(a\) i podstawimy znaną długość \(|BD|=12\), to otrzymamy:
$$\frac{|AF|}{a}=\frac{|AB|}{12}$$

Teraz spójrzmy na trójkąty \(FBG\) oraz \(ABC\). One także są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt i tutaj także moglibyśmy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{|BF|}{|FG|}=\frac{|AB|}{|AC|}$$

Podstawiając długość boku rombu \(a\) oraz \(|AC|=16\), otrzymamy:
$$\frac{|BF|}{a}=\frac{|AB|}{16}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku rombu.
Dobrze byłoby dostrzec, że długość boku \(AB\) jest sumą długości \(AF\) oraz \(BF\), czyli odcinków, które pojawiają się w zapisanych równaniach z pierwszego kroku. Spróbujmy te równania przekształcić, tak aby mieć po lewej stronie jedynie \(AF\) oraz \(BF\):

Pierwsze równanie:
$$\frac{|AF|}{a}=\frac{|AB|}{12} \quad\bigg/\cdot a \\
|AF|=\frac{|AB|\cdot a}{12}$$

Drugie równanie:
$$\frac{|BF|}{a}=\frac{|AB|}{16} \quad\bigg/\cdot a \\
|BF|=\frac{|AB|\cdot a}{16}$$

Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$|AB|=|AF|+|BF| \\
|AB|=\frac{|AB|\cdot a}{12}+\frac{|AB|\cdot a}{16} \quad\bigg/\cdot48 \\
48\cdot |AB|=4\cdot|AB|\cdot a+3\cdot|AB|\cdot a \\
48\cdot |AB|=7\cdot|AB|\cdot a \quad\bigg/:|AB| \\
48=7a \\
a=\frac{48}{7}$$

Odpowiedź

\(a=\frac{48}{7}\)

2 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Paulina

skąd się wzięło 48? a później 3 i 4?