Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że obwód prostokąta znajdującego się w podstawie jest równy \(24cm\). Jeśli więc oznaczymy boki prostokąta jako \(x\) oraz \(y\), to otrzymamy równanie:
$$2\cdot(x+y)=24 \\
x+y=12 \\
y=12-x$$
Chcemy obliczyć objętość naszej bryły i wiemy, że \(H=10\), zatem drugim równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$V=x\cdot y\cdot10$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(V(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną. Chcąc tego dokonać, możemy podstawić wyznaczoną wartość \(y=12-x\) do równania \(V=x\cdot y\cdot10\), otrzymując:
$$V=x\cdot(12-x)\cdot10 \\
V=(12x-x^2)\cdot10 \\
V=120x-10x^2 \\
V=-10x^2+120x$$
Otrzymaliśmy informację, że objętość można opisać wzorem \(-10x^2+120x\). I teraz następuje kluczowy moment w tego typu zadaniach - musimy całość potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(V\)). Zapisalibyśmy więc, że \(V(x)=-10x^2+120x\). Warto też dodać, że skoro \(y=12-x\), a długość boków \(x\) oraz \(y\) musi być dodatnia, to dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0;12)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-10\)). To sprawia, że nasza funkcja będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:
Musimy teraz dowiedzieć się, dla jakiego \(x\) objętość \(V\) będzie największa. Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że ta największa wartość będzie osiągnięta w wierzchołku. Musimy zatem obliczyć dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana. W tym celu skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$
Do tego wzoru podstawiamy współczynniki \(a\) oraz \(b\) naszej funkcji kwadratowej. W przypadku funkcji \(V(x)=-10x^2+120x\) widzimy, że współczynnik \(a=-10\) oraz \(b=120\), zatem:
$$x_{W}=\frac{-120}{2\cdot(-10)} \\
x_{W}=\frac{-120}{-20} \\
x_{W}=6$$
To oznacza, że największą objętość osiągniemy, gdy długość boku \(x\) będzie równa \(6\).
Krok 4. Obliczenie objętości.
Celem zadania obliczenie objętości tego prostopadłościanu. Korzystając z wcześniej wyznaczonego wzoru \(V=-10x^2+120x\) i podstawiając do niego \(x=6\), otrzymamy:
$$V=-10\cdot6^2+120\cdot6 \\
V=-10\cdot36+720 \\
V=-360+720 \\
V=360[cm^3]$$
