Proste prostopadłe i równoległe

Z poprzednich działów wiemy, że każdą prostą możemy opisać wzorem typu \(y=ax+b\). Okazuje się, że współczynnik \(a\) znajdujący się przed iksem decyduje nie tylko o tym czy prosta jest rosnąca czy malejąca, ale także o tym czy dwie proste są względem siebie prostopadłe lub równoległe.

Załóżmy, że mamy dwie proste:
$$y_{1}=a_{1}x+b_{1} \\
y_{2}=a_{2}x+b_{2}$$

Z własności prostych prostopadłych i prostych równoległych wynika, że:
• Proste będą względem siebie prostopadłe wtedy, kiedy \(a_{1}\cdot a_{2}=-1\)
• Proste będą względem siebie równoległe wtedy, kiedy \(a_{1}=a_{2}\)

Zobaczmy więc na konkretnych przykładach jak będzie wyglądało to w praktyce.

Przykład 1. Dana jest prosta \(k\) określona wzorem \(y=2x-3\). Czy prosta \(l\) określona wzorem \(y=-\frac{1}{2}x-5\) jest prostą prostopadłą do prostej \(k\)?

Zgodnie z tym co powiedzieliśmy sobie wcześniej – aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=2\), natomiast druga prosta ma \(a=-\frac{1}{2}\). W związku z tym:
$$2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

Skoro iloczyn dwóch liczb wyniósł \(-1\), to znaczy że te dwie proste są względem siebie prostopadłe.

Przykład 2. Dana jest prosta \(k\) określona wzorem \(y=2x-3\). Czy prosta \(l\) określona wzorem \(y=2x-5\) jest prostą równoległą do prostej \(k\)?

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakową wartość współczynnika kierunkowego \(a\). Pierwsza prosta ma \(a=2\), druga prosta ma także \(a=2\). Skoro więc współczynniki kierunkowe są sobie równe, to te dwie proste na pewno są względem siebie równoległe.

Patrząc się na powyższe przykłady możemy też wyciągnąć wniosek, że współczynnik \(b\) jest dla nas obojętny przy wyznaczaniu prostych prostopadłych i równoległych. Może przybierać on dowolne wartości, bo i tak decydujący będzie współczynnik \(a\). Wyjątkiem będą sytuacje w których będziemy chcieli, by prosta prostopadła lub równoległa przechodziła przez jakiś konkretny punkt, ale tym zagadnieniem zajmiemy się w kolejnym temacie. Spójrzmy zatem na kolejne zadanie:

Przykład 3. Dana jest prosta \(p\) o równaniu \(y=2x-5\). Prostą prostopadłą do prostej \(p\) może być:
A. \(y=2x-3\)
B. \(y=-2x-4\)
C. \(y=\frac{1}{2}x-5\)
D. \(y=-\frac{1}{2}x-6\)

Wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Współczynnik \(b\) w tym momencie nas nie interesuje. Oczywiście możemy sprawdzać po kolei każdą z odpowiedzi A, B, C oraz D, albo też możemy ułożyć proste równanie. Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(2\), a iloczyn współczynników obydwu prostych ma być równy \(-1\), to:
$$a\cdot2=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

To oznacza, że aby prosta była prostopadła do prostej \(p\) to musi mieć współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\). Z naszych odpowiedzi jedynie ostatnia prosta spełnia ten warunek, dlatego też poszukiwanym wzorem będzie \(y=-\frac{1}{2}x-6\).

Jak już nabierzemy wprawy w obliczaniu wartości współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej, to nie będziemy musieli układać równań typu \(a\cdot2=-1\). Wystarczy zapamiętać, że współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej będzie liczbą przeciwną i jednocześnie odwrotną. To znaczy: skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=2\), to liczbą przeciwną będzie \(-2\), a odwrotnością \(-2\) jest \(-\frac{1}{2}\). W ten szybki sposób otrzymaliśmy dokładnie to samo co wyszło nam z równania.

Przykład 4. Dana jest prosta \(k\) o równaniu \(3x+2y-6=0\). Prostą równoległą do prostej \(k\) może być:
A. \(y=3x+6\)
B. \(y=-\frac{1}{3}x+6\)
C. \(y=\frac{3}{2}x+6\)
D. \(y=-\frac{3}{2}x+6\)

W tym zadaniu pewnego rodzaju pułapką jest to, że prosta \(k\) nie jest przedstawiona w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Pierwszym więc krokiem musi być przekształcenie wzoru do postaci kierunkowej, a dopiero potem będziemy mogli przejść do dalszej części zadania.
$$3x+2y-6=0 \\
2y=-3x+6 \quad\bigg/:2 \\
y=-\frac{3}{2}x+3$$

Wiemy już, że prosta \(k\) wyraża się wzorem \(y=-\frac{3}{2}x+3\), czyli współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{3}{2}\). Aby jakaś prosta była do niej równoległa, to muszą mieć one jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Z podanych odpowiedzi jedynie ostatnia prosta \(y=-\frac{3}{2}x+6\) spełnia ten warunek i dlatego to jest poszukiwana przez nas prosta równoległa.

Przykład 5. Dla jakiego parametru \(m\) proste o równaniach \(y=3x-2\) oraz \(y=(m-1)x+6\) są prostopadłe, a dla jakiego są równoległe?

Zadania z parametrami bardzo często potrafią odstraszyć, ale w przypadku prostych prostopadłych i równoległych rozwiązanie tego typu zadań jest często bardzo proste.

Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=3\). Druga prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=m-1\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników musi być równy \(-1\), czyli:
$$3\cdot(m-1)=-1 \\
3m-3=-1 \\
3m=2 \\
m=\frac{2}{3}$$

To oznacza, że proste będą prostopadłe dla \(m=\frac{2}{3}\).

Teraz ustalmy kiedy te proste będą równoległe. Aby proste były równoległe to ich współczynnik kierunkowy musi być jednakowy, czyli:
$$3=m-1 \\
m=4$$

Błyskawicznie obliczyliśmy, że proste będą równoległe dla \(m=4\).

Dodaj komentarz