Proste prostopadłe i równoległe – zadania maturalne

C

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) to prosta do niej prostopadła będzie miała:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \\
a=4$$

Taki współczynnik znalazł się tylko w trzeciej odpowiedzi, stąd też poszukiwanym równaniem prostej było \(y=4x-1\).

C

Krok 1. Sprawdzenie, czy te proste są równoległe.
Aby proste były równoległe to ich współczynniki kierunkowe \(a\) (czyli liczba stojąca przed wartością \(x\)) muszą być identyczne. W naszym przypadku w pierwszym równaniu współczynnik \(a=2\), a w drugim \(a=-\frac{1}{3}\). W związku z tym proste te na pewno nie są równoległe, ani tym bardziej się nie pokrywają.

Krok 2. Sprawdzenie, czy te proste są prostopadłe.
Aby proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, bo \(2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}\). To z kolei wyklucza informację o tym, że mogłyby to być proste prostopadłe.

W związku z powyższymi krokami wykluczyliśmy odpowiedzi \(A\), \(B\) oraz \(D\). Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź \(C\), bo te proste przecinają się pod kątem innym niż prosty.

C

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\).
Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe to warunkiem koniecznym jest to, aby miały one identyczny współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przykładzie prosta \(k\) ma współczynnik \(a=2\), więc prosta \(l\) musi mieć dokładnie taki sam współczynnik kierunkowy, dlatego będzie ona na pewno opisana wzorem \(y=2x+b\). Dzięki temu już na \(100\%\) wiemy, że pod uwagę bierzemy już tylko drugą i trzecią odpowiedź.

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Teraz musimy ustalić jaka jest brakująca wartość współczynnika \(b\). Do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy współrzędne naszego punktu \(D=(-2,1)\), czyli \(x=-2\) oraz \(y=1\), dzięki czemu poznamy wartość współczynnika \(b\).
$$y=2x+b \\
1=2\cdot(-2)+b \\
1=-4+b \\
b=5$$

Krok 3. Zapisanie wzoru poszukiwanej prostej.
Skoro \(a=2\) oraz \(b=5\), to prosta \(l\) ma postać \(y=2x+5\).

A

Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Aby móc wskazać równanie prostej równoległej musimy doprowadzić nasze równanie do postaci ogolnej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Aby tego dokonać wystarczy tak naprawdę przenieść wartości \(y\) na lewą stronę, a pozostałe wyrazy na prawą. Zatem:
$$3x-6y+7=0 \\
-6y=-3x-7 \\
6y=3x+7 \\
y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{6}$$

Krok 2. Określenie wzoru prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć identyczną wartość współczynnika kierunkowego \(a\). W naszym przypadku \(a=\frac{1}{2}\), więc prawidłowa jest tylko i wyłącznie pierwsza odpowiedź.

A

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\), zatem współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\
a=3$$

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu wykres prostej przetnie się z osią \(Oy\). Skoro prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, czyli punkt o współrzędnych \((0;0)\), to oznacza, że \(b=0\).

Równanie poszukiwanej prostej prostopadłej to w takim razie: \(y=3x\).

D

Krok 1. Określenie tego, kiedy dwie proste są względem siebie prostopadłe.
Aby dwie proste określone wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że:
$$\frac{2}{m}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$

Krok 2. Rozwiązanie otrzymanego równania.
$$\frac{2}{m}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1 \\
-\frac{6}{2m}=-1 \\
-6=-2m \\
2m=6 \\
m=3$$

A

Krok 1. Określenie wartości współczynnika \(a\) prostej równoległej.
Skoro obie proste są względem siebie równoległe, to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być taki sam. Prosta \(l\) ma współczynnik \(a=-\frac{2}{5}\), zatem i prosta \(k\) musi mieć identyczny. W naszych odpowiedziach pojawiają się jednak ułamki dziesiętne, zatem zapiszmy, że \(a=-0,4\).

Krok 2. Określenie wartości współczynnika \(b\) prostej równoległej.
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji przecina oś \(Oy\). Widzimy, że funkcja przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;3)\), zatem \(b=3\).

To oznacza, że poszukiwanym równaniem prostej równoległej będzie:
$$y=-0,4x+3$$

C

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=m\). Druga ma \(a=1-2m\), zatem:
$$m=1-2m \\
3m=1 \\
m=\frac{1}{3}$$

D

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Jest tylko jedna para, która spełnia taką własność i są to proste \(k\) oraz \(m\).
$$\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$$

A

Krok 1. Utworzenie równania z parametrem \(m\).
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie:
$$m^2=4m-4$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem:
$$m^2=4m-4 \\
m^2-4m+4=0 \\
(m-2)^2=0 \\
m-2=0 \\
m=2$$

A

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem:
$$2m\cdot4m^2=-1 \\
8m^3=-1 \\
m^3=-\frac{1}{8} \\
m=-\frac{1}{2}$$

C

Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem:
$$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1\\
2m=-m+1 \\
3m=1 \\
m=\frac{1}{3}$$

D

Krok 1. Określenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro w pierwszej prostej \(a=-\frac{1}{4}\), to prostopadła do niej będzie mieć:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4) \\
a=4$$

To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać \(y=4x+b\).

Krok 2. Określenie współczynnika \(b\) prostej prostopadłej.
Musimy ustalić jeszcze współczynnik \(b\) naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia \(A=(-2,4)\) do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą.
$$y=4x+b \\
4=4\cdot(-2)+b \\
4=-8+b \\
b=12$$

Prostą \(l\) opisuje więc równanie \(y=4x+12\).

C

Krok 1. Określenie wartości współczynników kierunkowych obu prostych.
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(a=-\frac{3}{4}\), natomiast drugiej prostej jest równy \(a=0\) (jest to funkcja stała).

Krok 2. Weryfikacja poszczególnych odpowiedzi.
\(Odp. A.\): Aby dwie przecinały się pod kątem \(90°\) (czyli aby proste były względem siebie prostopadłe) to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, więc odrzucamy tą odpowiedź.

\(Odp. B.\) oraz \(Odp. D.\): Aby dwie proste były równoległe względem siebie (niezależnie od tego czy się pokrywają czy nie) to muszą mieć identyczny współczynnik kierunkowy. Tą odpowiedź także musimy odrzucić, bo u nas współczynniki są różne.

Jedyną odpowiedzią, która nam zostaje jest \(Odp. C\). i faktycznie te dwie proste przetną się pod kątem innym niż \(90°\), co możemy jeszcze zweryfikować na rysunku: