Proste prostopadłe i równoległe przechodzące przez dany punkt

Aby omówić proste prostopadłe i równoległe przechodzące przez dany punkt musimy sobie przypomnieć dwie kluczowe własności prostych prostopadłych i równoległych:
• Dwie proste określone równaniem \(y=ax+b\) są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) (czyli liczb stojących przed iksem) jest równy \(-1\).
• Dwie proste określone równaniem \(y=ax+b\) są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\).

Zgodnie z tymi definicjami prostymi prostopadłymi do prostej \(y=3x+4\) byłyby np. \(y=-\frac{1}{3}x+3\) albo \(y=-\frac{1}{3}x+2\), a prostymi równoległymi byłyby przykładowo proste \(y=3x+3\) albo \(y=3x+2\). Jak widzimy, istnieje nieskończenie wiele takich prostych prostopadłych i równoległych. W tym temacie będziemy jednak szukać wzoru jednej konkretnej prostej, która przechodzić będzie przez wskazany punkt.

Przykład 1. Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej \(y=3x+4\), która przechodzi przez punkt o współrzędnych \(A=(2;1)\).

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro nasza pierwsza proste ma \(a=3\), to prosta do niej równoległa ma także \(a=3\). To oznacza, że prostą równoległą moglibyśmy zapisać w postaci \(y=3x+b\). Jakiegokolwiek \(b\) byśmy teraz nie podstawili, to prosta będzie równoległa, ale my szukamy tej jednej konkretnej, która przechodzi przez punkt \(A=(2;1)\). W związku z tym do równania \(y=3x+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) (czyli \(x=2\) oraz \(y=1\)) i w ten sposób wyznaczymy wartość współczynnika \(b\):
$$y=3x+b \\
1=3\cdot2+b \\
1=6+b \\
b=-5$$

Skoro \(b=-5\), to równanie naszej prostej równoległej będzie następujące: \(y=3x+(-5)\), czyli po prostu \(y=3x-5\).

Przykład 2. Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej \(y=3x+4\), która przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=3\), zatem druga prosta musi mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot3=-1 \\
a=-\frac{1}{3}$$

To oznacza, że prosta prostopadła wyraża się wzorem \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Teraz musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(b\). Jeżeli jakaś prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, to znaczy że będzie przechodzić przez punkt \(A=(0;0)\). Podstawiając zatem do równania \(y=-\frac{1}{3}x+b\) współrzędne \(x=0\) oraz \(y=0\) otrzymamy:
$$0=-\frac{1}{3}\cdot0+b \\
0=0+b \\
b=0$$

Skoro \(b=0\), to równanie naszej prostej prostopadłej będzie następujące: \(y=-\frac{1}{3}x+0\), czyli po prostu \(y=-\frac{1}{3}x\).

Dodaj komentarz