Aby omówić proste prostopadłe i równoległe przechodzące przez dany punkt musimy sobie przypomnieć dwie kluczowe własności prostych prostopadłych i równoległych:
• Dwie proste określone równaniem \(y=ax+b\) są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) (czyli liczb stojących przed iksem) jest równy \(-1\).
• Dwie proste określone równaniem \(y=ax+b\) są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\).
Zgodnie z tymi definicjami prostymi prostopadłymi do prostej \(y=3x+4\) byłyby np. \(y=-\frac{1}{3}x+3\) albo \(y=-\frac{1}{3}x+2\), a prostymi równoległymi byłyby przykładowo proste \(y=3x+3\) albo \(y=3x+2\). Jak widzimy, istnieje nieskończenie wiele takich prostych prostopadłych i równoległych. W tym temacie będziemy jednak szukać wzoru jednej konkretnej prostej, która przechodzić będzie przez wskazany punkt.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro nasza pierwsza proste ma \(a=3\), to prosta do niej równoległa ma także \(a=3\). To oznacza, że prostą równoległą moglibyśmy zapisać w postaci \(y=3x+b\). Jakiegokolwiek \(b\) byśmy teraz nie podstawili, to prosta będzie równoległa, ale my szukamy tej jednej konkretnej, która przechodzi przez punkt \(A=(2;1)\). W związku z tym do równania \(y=3x+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) (czyli \(x=2\) oraz \(y=1\)) i w ten sposób wyznaczymy wartość współczynnika \(b\):
$$y=3x+b \\
1=3\cdot2+b \\
1=6+b \\
b=-5$$
Skoro \(b=-5\), to równanie naszej prostej równoległej będzie następujące: \(y=3x+(-5)\), czyli po prostu \(y=3x-5\).
Wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=3\), zatem druga prosta musi mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot3=-1 \\
a=-\frac{1}{3}$$
To oznacza, że prosta prostopadła wyraża się wzorem \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Teraz musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(b\). Jeżeli jakaś prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, to znaczy że będzie przechodzić przez punkt \(A=(0;0)\). Podstawiając zatem do równania \(y=-\frac{1}{3}x+b\) współrzędne \(x=0\) oraz \(y=0\) otrzymamy:
$$0=-\frac{1}{3}\cdot0+b \\
0=0+b \\
b=0$$
Skoro \(b=0\), to równanie naszej prostej prostopadłej będzie następujące: \(y=-\frac{1}{3}x+0\), czyli po prostu \(y=-\frac{1}{3}x\).