Proste, odcinki, kąty – zadania (egzamin ósmoklasisty)

D

Powyższa figura ma dokładnie dwie osie symetrii oraz ma jeden środek symetrii:

C

Ten znak drogowy ma dokładnie dwie osie symetrii:

A

Jedną oś symetrii ma tylko pierwszy symbol.

Udowodniono obliczając miary poszczególnych kątów.

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAB\).
Kąt \(CAB\) jest kątem przyległym do kąta o mierze \(120°\), a z własności kątów podobnych wiemy, że suma ich miar wynosi \(180°\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle CAB|=180°-120°=60°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\) oraz \(ACB\).
Zacznijmy od kąta \(ABC\). Jest on kątem wierzchołkowym do kąta \(α\) znajdującego się przy wierzchołku \(B\), zatem możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle ABC|=α$$

Mamy więc następującą sytuację:


O naszym trójkącie wiemy, że ma w sobie kąt \(60°\) oraz jakieś dwa kąty o jednakowej mierze \(α\). Spróbujmy zatem wyznaczyć wartość tej \(α\). Wiemy, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), zatem prawdziwą będzie równość:
$$2α+60°=180° \\
2α=120° \\
α=60°$$

Czyli:
$$|\sphericalangle ABC|=60° \\
|\sphericalangle ACB|=60°$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Z naszej analizy wynika, że wszystkie kąty trójkąta \(ABC\) mają miarę \(60°\). Jest to charakterystyczna cecha trójkąta równobocznego, zatem udowadniając miary tych poszczególnych kątów możemy stwierdzić, że trójkąt \(ABC\) jest jak najbardziej trójkątem równobocznym.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę kąta \(\sphericalangle ABC|=60°\) (Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(|\sphericalangle ABC|=α\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(β\).


Promienie okręgu tworzą ze stycznymi kąt prosty. Nasz kąt beta jest więc jedynym nieznanym kątem w czworokącie/deltoidzie, zatem jego miara będzie równa:
$$360°-90°-90°-30°=150°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Kąt alfa wraz z kątem beta tworzą kąt pełny o mierze \(360°\). Skoro tak, to:
$$α=360°-150° \\
α=210°$$