Proste, odcinki, kąty – zadania (egzamin ósmoklasisty)

D

Powyższa figura ma dokładnie dwie osie symetrii oraz ma jeden środek symetrii:

C

Ten znak drogowy ma dokładnie dwie osie symetrii:

A

Jedną oś symetrii ma tylko pierwszy symbol.

D

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ASD\).
Aby lepiej opisać to zadanie, przyjmijmy, że miejsce przecięcia się wysokości to punkt \(S\).


Zwróćmy teraz uwagę, że kąt \(ESD\) oraz \(ASD\) to kąty przyległe, czyli takie, których łączna miara jest równa \(180°\). Skoro tak, to kąt \(ASD\) ma miarę:
$$|\sphericalangle ASD|=180°-138°=42°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(ADS\). Skoro kąt \(ASD\) ma miarę \(42°\), to:
$$\alpha=180°-90°-42°=48°$$

Uzasadniono, korzystając z własności trójkątów równoramiennych oraz kątów przyległych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy na rysunku kąty proste oraz oznaczmy miejsce przecięcia się wysokości jako punkt \(S\):


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ECB\) oraz \(CSD\).
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, zatem wysokość \(CE\) dzieli nam kąt \(ACB\) na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że kąt \(ECB\) ma także miarę \(20°\).

Spójrzmy teraz na trójkąt \(SDC\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, zatem kąt \(CSD\) będzie mieć miarę:
$$180°-90°-20°=70°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Kąty \(CSD\) oraz poszukiwany kąt \(\alpha\) to kąty przyległe, zatem łączna miara tych dwóch kątów jest równa \(180°\). Skoro tak, to:
$$\alpha=180°-70°=110°$$

Udowodniono obliczając miary poszczególnych kątów.

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAB\).
Kąt \(CAB\) jest kątem przyległym do kąta o mierze \(120°\), a z własności kątów podobnych wiemy, że suma ich miar wynosi \(180°\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle CAB|=180°-120°=60°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\) oraz \(ACB\).
Zacznijmy od kąta \(ABC\). Jest on kątem wierzchołkowym do kąta \(α\) znajdującego się przy wierzchołku \(B\), zatem możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle ABC|=α$$

Mamy więc następującą sytuację:


O naszym trójkącie wiemy, że ma w sobie kąt \(60°\) oraz jakieś dwa kąty o jednakowej mierze \(α\). Spróbujmy zatem wyznaczyć wartość tej \(α\). Wiemy, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), zatem prawdziwą będzie równość:
$$2α+60°=180° \\
2α=120° \\
α=60°$$

Czyli:
$$|\sphericalangle ABC|=60° \\
|\sphericalangle ACB|=60°$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Z naszej analizy wynika, że wszystkie kąty trójkąta \(ABC\) mają miarę \(60°\). Jest to charakterystyczna cecha trójkąta równobocznego, zatem udowadniając miary tych poszczególnych kątów możemy stwierdzić, że trójkąt \(ABC\) jest jak najbardziej trójkątem równobocznym.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę kąta \(\sphericalangle ABC|=60°\) (Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(|\sphericalangle ABC|=α\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono, korzystając z własności trójkątów równoramiennych oraz kątów przyległych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli odcinki \(AC\) i \(BC\) są równej długości, to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny. W trójkątach równoramiennych kąty przy podstawie mają jednakową miarę, więc \(|\sphericalangle CAB|=\alpha\). Dodatkowo oznaczmy sobie kąt \(ACB\) jako \(\gamma\) i mamy taką oto sytuację:


Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro suma miar kątów w trójkącie \(ACB\) jest równa \(180°\), a kąty przy podstawie mają miarę \(\alpha\), to:
$$2\alpha+\gamma=180°$$

Do miary kąta \(ACB\) możemy też podejść z innej perspektywy. Kąt \(\beta\) oraz kąt \(ACB\) są kątami przyległymi. To prowadzi nas do wniosku, że:
$$\beta+\gamma=180°$$

Porównując teraz otrzymane dwa zapisy wyjdzie nam, że:
$$2\alpha+\gamma=\beta+\gamma \\
2\alpha=\beta \\
\alpha=\frac{1}{2}\beta$$

W ten sposób udało nam się wykazać, że kąt \(\alpha\) stanowi połowę miary kąta \(\beta\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz równanie typu \(\beta=180°-2\alpha\) lub \(\alpha+\alpha+\gamma=\beta+\gamma\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Wyznaczenie miar kątów w trójkątach.
Znamy dwie miary kątów w każdym z trójkątów. Policzmy zatem miary brakujących kątów:

Pierwszy trójkąt:
$$180°-80°-49°=51°$$

Drugi trójkąt:
$$180°-51°-49°=80°$$

To oznacza, że obydwa trójkąty mają kąty o miarach \(49°, 51°, 80°\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W trójkątach równoramiennych mamy parę kątów o jednakowej mierze (kąty przy podstawie mają tą samą miarę). W przypadku podanych trójkątów takiej sytuacji nie mamy (każdy kąt ma inną miarę), więc na pewno nie będą to trójkąty równoramienne. Zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że obydwa trójkąty mają jednakowe miary kątów: \(49°, 51°, 80°\). To oznacza, że na pewno są to trójkąty podobne (cecha kąt-kąt-kąt), ale nie wiemy jeszcze, czy są przystające (czyli czy oprócz jednakowych kątów, mają one jeszcze jednakowe długości boków).

Spójrzmy na zaznaczone odcinki \(a\). Zarówno w jednym, jak i drugim trójkącie, odcinek \(a\) jest przy kątach o mierze \(49°\) oraz \(80°\). To pozwala nam stwierdzić, że te trójkąty są faktycznie przystające (cecha kąt-bok-kąt). Zdanie jest więc prawdą.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
To zdanie jest prawdą, bo jest to po prostu jedna z własności równoległoboków. W równoległobokach kąty przy jednym ramieniu mają zawsze łącznie \(180°\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obliczmy najpierw miarę kąta \(α\). Kąt \(α\) jest kątem przyległym do kąta o mierze \(135°\), a z własności kątów przyległych wiemy, że suma ich miar jest równa \(180°\). W związku z tym:
$$α=180°-135°=45°$$

Wiemy już, że suma miar kątów \(α\) i \(β\) wynosi \(180°\), zatem kąt \(β\) będzie miał miarę:
$$β=180°-45°=135°$$

To oznacza, że faktycznie kąt \(α\) ma miarę \(3\) razy mniejszą od kąta \(β\), bowiem \(135°:3=45°\).

A

Z treści zadania wynika, że miary kątów możemy zapisać jako \(2α, 3a, 7α\). Suma miar kątów w trójkącie musi być równa \(180°\), zatem:
$$2α+3α+7α=180° \\
12α=180° \\
α=15°$$

Miara największego kąta jest równa \(7α\), zatem ten kąt ma miarę \(7\cdot15°=105°\). Jest to kąt rozwarty, a to oznacza, że nasz trójkąt jest rozwartokątny.