Prosta określona wzorem y=ax+1 jest symetralną odcinka AB, gdzie A=(-3,2) i B=(1,4)

Prosta określona wzorem \(y=ax+1\) jest symetralną odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-3,2)\) i \(B=(1,4)\). Wynika stąd, że:

\(a=-\frac{1}{2}\)
\(a=\frac{1}{2}\)
\(a=-2\)
\(a=2\)
Rozwiązanie:

Zanim przejdziemy do obliczeń to omówmy sobie co tak naprawdę musimy obliczyć. Mamy podane współrzędne punktu \(A\) i \(B\), które tworzą odcinek w układzie współrzędnych. Przez ten odcinek poprowadzono prostą symetralną (czyli tak naprawdę prostopadłą do tego odcinka, która przechodzi przez jego środek). Naszym zadaniem jest obliczenie współczynnika kierunkowego \(a\) tej prostej symetralnej.

prosta określona wzorem y=ax+1 jest symetralną odcinka AB

Krok 1. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\).

Zanim obliczymy współczynnik kierunkowy symetralnej, to potrzebny nam będzie współczynnik kierunkowy prostej na której znajduje się odcinek \(AB\). Obliczymy go za pomocą wzoru:
$$m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
m=\frac{4-2}{1-(-3)} \\
m=\frac{2}{4} \\
m=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(y=ax+1\).

Tak jak wcześniej ustaliliśmy – skoro jest to symetralna odcinka \(AB\), to znaczy że jest to prosta prostopadła. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem:
$$a\cdot m=-1 \\
a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\
a=-2$$

Odpowiedź:

C. \(a=-2\)

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!