Prosta k jest styczna w punktach A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu

Prosta $k$ jest styczna w punktach $A$ do okręgu o środku $O$. Punkt $B$ leży na tym okręgu i miara kąta $AOB$ jest równa $80$ stopni. Przez punkty $O$ i $B$ poprowadzono prostą $k$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek). Miara kąta $BAC$ jest równa:

A. $10°$

B. $30°$

C. $40°$

D. $50°$

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie miary kąta $BAO$.
Spójrzmy na trójkąt $AOB$. Na pewno jest to trójkąt równoramienny, bowiem boki $AO$ oraz $BO$ są promieniami okręgu. Skoro tak, to kąty przy podstawie $AB$ muszą mieć jednakową miarę. Jeżeli więc kąt między ramionami ma miarę $80°$, to na kąty przy podstawie zostaje:
$$180°-80°=100°$$

Obydwa kąty muszą mieć jednakową miarę, zatem:
$$|\sphericalangle BAO|=100°:2=50°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta $BAC$.
Spójrzmy na trójkąt $CAO$. Jest to trójkąt prostokątny, bo styczna do okręgu zawsze tworzy z promieniem kąt prosty. Poszukiwany kąt $BAC$ będzie więc różnicą między kątem prostym i kątem $BAO$ (który przed chwilą wyznaczyliśmy). W związku z tym:
$$|\sphericalangle BAC|=90°-50°=40°$$

Odpowiedź

Zadania

Prosta k jest styczna w punktach A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu

Prosta \(k\) jest styczna w punktach \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa \(80\) stopni. Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BAC\) jest równa: