Procenty – zadania (egzamin ósmoklasisty)

B

Aby móc obliczyć procent zainteresowanych pływaniem musimy najpierw wiedzieć ilu uczniów brało udział w ankiecie. Skoro każdy uczeń mógł wybrać tylko jedno zainteresowanie, to oznacza że wystarczy zsumować wszystkie wyniki z wykresu i poznamy w ten sposób liczbę uczestników ankiety, zatem:
$$70+130+40+20+30+60=350$$

To oznacza, że w ankiecie brało udział \(350\) uczniów.

Krok 2. Obliczenie procentu uczniów interesujących się pływaniem.
Skoro w ankiecie brało udział \(350\) uczniów, a pływanie wybrało \(70\) osób, to oznacza że pływaniem interesuje się:
$$\frac{70}{350}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

B

Diagram kołowy sumuje się do \(100\%\). Na Emila, Agatę, Jacka i Elę głosowało łącznie:
$$25\%+37,5\%+7,5\%+10\%=80\%$$

To oznacza, że na Adama zagłosowało:
$$100\%-80\%=20\%$$

C

Zadanie można rozwiązać w zasadzie na dwa sposoby:
I sposób - zamieniając procenty na ułamki zwykłe.
Na Agatę zagłosowało \(37,5\%\) osób. Możemy ten procent zamienić na ułamek zwykły, otrzymując:
$$37,5\%=\frac{37,5}{100}=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}$$

Teraz musimy przyrównać otrzymany ułamek do odpowiedzi z treści zadania.
Ułamek \(\frac{3}{8}\) jest większy od \(\frac{1}{3}\), bo \(\frac{1}{3}=\frac{3}{9}\) (jeżeli oba ułamki mają ten sam licznik to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik).
Jednocześnie ułamek \(\frac{3}{8}\) jest mniejszy od \(\frac{2}{5}\). Aby to udowodnić wystarczy sprowadzić obydwa ułamki do wspólnego mianownika:
$$\frac{3}{8}=\frac{15}{40} \\
\frac{2}{5}=\frac{16}{40}$$

Z dwóch ułamków mających ten sam mianownik większy jest ten, który ma większy licznik, zatem prawidłowa byłaby odpowiedź trzecia.

II sposób - zamieniając ułamki zwykłe na procenty.
Ten sposób wydaje się być nieco łatwiejszy w tym przypadku. Tak naprawdę wystarczyłoby pozamieniać ułamki znajdujące się w odpowiedziach na procenty i sprawdzić w którym przedziale znajdzie się nasz ułamek \(37,5\%\). Zamieniając ułamki zwykłe z odpowiedzi na procenty otrzymamy następujące warianty:

Odp. A. Mniej niż \(25\%\) ogółu
Odp. B. Mniej niż \(33\frac{1}{3}\%\), ale więcej niż \(25\%\) ogółu
Odp. C. Więcej niż \(33\frac{1}{3}\%\), ale mniej niż \(40\%\) ogółu
Odp. D. Więcej niż \(40\%\) ogółu

Widzimy wyraźnie, że \(37,5\%\) mieści się jedynie w przedziale z trzeciej odpowiedzi.

Kąt środkowy ma miarę \(72°\).

Skoro wypoczynek w górach wybrało \(20\%\) ankietowanych, to nasz poszukiwany kąt środkowy będzie stanowić \(20\%\) miary kąta pełnego. W takim razie będzie to kąt:
$$0,2\cdot360°=72°$$

A

Samochodów osobowych przejechało łącznie dokładnie \(17\) sztuk. Wszystkich pojazdów przejechało \(25\). To oznacza, że samochody osobowe stanowiły:
$$\frac{17}{25}=\frac{68}{100}=68\%$$

Masa szynki stanowi \(12,5\%\) masy śniadania Michała.

Krok 1. Obliczenie masy wszystkich składników.
Wszystkie składniki użyte do zrobienia śniadania Michała ważą:
$$200g+30g+50g+40g=320g$$

Krok 2. Obliczenie udziału masy szynki w śniadaniu.
Szynka stanowi \(40g\) z \(320g\) posiłku, zatem jej udział procentowy wynosi:
$$\frac{40g}{320g}=\frac{1}{8}=12,5\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz masę wszystkich składników (Krok 1.) oraz zapiszesz, np. w formie ułamka, że udział szynki wynosi \(\frac{40g}{320g}\) i źle zamienisz tę wartość na procenty.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Z treści zadania interesuje nas to, że uczniowie gimnazjum stanowią \(30\%\) wszystkich uczniów zespołu szkół. To oznacza, że gimnazjalistów jest:
$$0,3\cdot900=270$$

B

Krok 1. Obliczenie liczby gimnazjalistów.
Do gimnazjum uczęszcza \(30\%\) z \(900\) uczniów zespołu szkół, zatem gimnazjalistów jest łącznie:
$$0,3\cdot900=270$$

Krok 2. Obliczenie liczby chłopców chodzących do gimnazjum.
Skoro \(40\%\) uczniów gimnazjum to dziewczyny, to analogicznie \(60\%\) gimnazjalistów to chłopcy, zatem chłopców jest łącznie:
$$0,6\cdot270=162$$

Krok 3. Obliczenie ile procent uczniów zespołu szkół stanowią chłopcy uczęszczający do gimnazjum.
Mając komplet informacji możemy teraz wyznaczyć poszukiwany procent. Chłopców chodzących do gimnazjum jest \(162\), wszystkich uczniów zespołu szkół jest \(900\), więc ci chłopcy stanowią:
$$\frac{162}{900}=0,18=18\%$$

D

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - cena płyty przed obniżką
\(0,7x\) - cena płyty po obniżce

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Wiemy, że cena płyty po obniżce jest równa \(49zł\), zatem możemy zapisać, że:
$$0,7x=49zł \\
x=70zł$$

D

Proporcja \(3:8:5\) oznacza, że na każdych trzech pierwszoklasistów przypada ośmiu drugoklasistów i pięciu trzecioklasistów. Czyli na łącznie ośmiu pierwszo- i trzecioklasistów przypada ośmiu drugoklasistów, co oznacza, że drugoklasiści na pewno stanowią połowę, czyli \(50\%\) wszystkich uczestników.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo w tym przypadku podatek VAT jest równy \(2,70zł-2,50zł=0,2zł\), a więc jest to \(\frac{0,2zł}{2,5zł}=0,08=8\%\) ceny netto.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo cena z podatkiem VAT będzie wynosić \(22zł\cdot1,05=23,10zł\).

C

Jeżeli klient ma \(35\) lat to otrzyma on \(35\%\) zniżki, zatem realnie zapłaci \(100\%-35\%=65\%\) ceny okularów. Skoro okulary kosztują \(240zł\), to zapłaci on:
$$0,65\cdot240zł=156zł$$

D

Krok 1. Obliczenie wysokości zniżki.
Skoro okulary kosztują \(450zł\), a klient zapłacił \(288zł\), to otrzymał on zniżkę:
$$450zł-288zł=162zł$$

Krok 2. Ustalenie wieku klienta.
Musimy ustalić ile lat ma klient, czyli tak naprawdę ile procent zniżki otrzymał. Skoro otrzymał on zniżkę \(162zł\) z ceny początkowej \(450zł\), to jego zniżka wyniosła:
$$\frac{162}{450}=0,36=36\%$$

To oznacza, że klient ma \(36\) lat.

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Obliczenie wartości nagród za poszczególne miejsca.
Za pierwsze miejsce przyznano \(5000zł\).
Za drugie miejsce przyznano \(0,7\cdot5000zł=3500zł\).
Za trzecie miejsce przyznano \(0,6\cdot3500zł=2100zł\).

Krok 2. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Pierwsze zdanie jest fałszem, bo nagroda za trzecie miejsce wyniosła \(2100zł\).
Drugie zdanie jest fałszem. Nagroda za trzecie miejsce była o \(5000zł-2100zł=2900zł\) mniejsza, czyli była mniejsza o \(\frac{2900}{5000}=0,58=58\%\).

A

Cena biletu w sezonie zimowym jest o \(20\%\) niższa, zatem wynosi:
$$0,8\cdot40zł=32zł$$

Cena biletu w sezonie letnim jest podwyższona o \(200\%\). Jeżeli byłaby podwyższona o \(100\%\) to bilet byłby dwukrotnie droższy. Skoro cena jest podwyższona o \(200\%\) to bilet będzie trzykrotnie droższy:
$$3\cdot40zł=120zł$$

To oznacza, że bilet na prom w sezonie letnim jest droższy o:
$$120zł-32zł=88zł$$

B

Wiemy, że obniżka ośmioprocentowa daje nam rabat \(120zł\). Nas interesuje pełna kwota roweru (czyli \(100\%\)), zatem możemy skorzystać z prostej proporcji:
Skoro \(8\%\) to \(120zł\)
To \(1\%\) to \(15zł\)
Więc \(100\%\) to \(1500zł\)

C

Do zadania można podejść na wiele sposobów, można nawet układać odpowiednie równania i tworzyć klasyczny układ równań. Jednak można też postąpić nieco sprytniej i szybciej.

Skoro chłopców jest \(65\%\), to dziewczyn jest \(35\%\). Wiemy też, że ta różnica \(65\%-35\%=30\%\) to dokładnie \(60\) uczniów. Teraz możemy ułożyć prostą proporcję. Wiedząc, że dziewczyny stanowią \(35\%\) szkoły i wiedząc że \(30\%\) szkoły to \(60\) uczniów możemy zapisać, że:
Skoro \(30\%\) to \(60\) uczniów
To \(5%\) to \(10\) uczniów
Zatem \(35\%\) to \(70\) uczniów

To oznacza, że do egzaminu przystąpiło \(70\) dziewczyn.

D

Krok 1. Obliczenie ile dodano stolików czteroosobowych.
Wiemy, że zabrano \(10\%\) stolików dwuosobowych, czyli zabrano:
$$0,1\cdot20=2$$

To oznacza, że zabrano \(2\) stoliki dwuosobowe i tym samym (zgodnie z treścią zadania) dołożono \(2\) stoliki czteroosobowe.

Krok 2. Obliczenie o ile procent zwiększono liczbę stolików czteroosobowych.
Skoro było \(10\) stolików i doszły nam \(2\) kolejne, do liczba stolików czteroosobowych zwiększyła się o:
$$\frac{2}{10}\cdot100\%=20\%$$

Krok 1. Obliczenie wartości podatku VAT za okno.
Pierwszą rubryczką do uzupełnienia jest podatek VAT za okno. Stanowi on \(22\%\) ceny netto, zatem będzie on równy:
$$0,22\cdot1200zł=264zł$$

Krok 2. Obliczenie całkowitej kwoty za okno.
Potrzebujemy teraz uzupełnić rubryczkę "Razem" za okno, która tak naprawdę będzie kwotą brutto. Musimy więc do ceny netto dodać wartość podatku VAT, zatem:
$$1200zł+264zł=1464zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny netto za drzwi.
Aby lepiej zrozumieć ideę obliczania ceny netto wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - cena netto drzwi
\(0,22x\) - wartość podatku VAT

Cena drzwi plus wartość podatku VAT ma nam dać kwotę brutto, czyli \(3538zł\). Możemy zatem zapisać, że:
$$x+0,22x=3538zł \\
1,22x=3538zł \\
x=2900zł$$

Cena netto drzwi jest więc równa \(2900zł\).

Krok 4. Obliczenie podatku VAT za drzwi.
Znając już cenę netto za drzwi bez problemu obliczymy należny podatek VAT:
$$0,22\cdot2900zł=638zł$$

Można też byłoby od ceny brutto odjąć cenę netto:
$$3538zł-2900zł=638zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jedną z brakujących wartości w tabeli.
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz dwie z brakujących wartości w tabeli.
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz trzy z brakujących wartości w tabeli.
4 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz wszystkie brakujące wartości w tabeli.

C

Australia zajmuje \(6\%\) powierzchni Ziemi. Skoro powierzchnia Ziemi jest równa \(150mln\;km^2\), to powierzchnia Australii będzie równa:
$$0,06\cdot150mln\;km^2=9mln\;km^2$$

A

Zadanie możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób - obliczając powierzchnię dwóch kontynentów:
Krok 1. Obliczenie powierzchni Antarktydy.
Antarktyda zajmuje \(9\%\) powierzchni Ziemi. Skoro powierzchnia Ziemi jest równa \(150mln\;km^2\), to powierzchnia Antarktydy będzie równa:
$$0,09\cdot150mln\;km^2=13,5mln\;km^2$$

Krok 2. Obliczenie powierzchni Europy.
Europa zajmuje \(7\%\) powierzchni Ziemi. Skoro powierzchnia Ziemi jest równa \(150mln\;km^2\), to powierzchnia Europy będzie równa:
$$0,07\cdot150mln\;km^2=10,5mln\;km^2$$

Krok 3. Obliczenie różnicy powierzchni.
Antarktyda jest większa od Europy o:
$$13,5mln\;km^2-10,5mln\;km^2=3mln\;km^2$$

II sposób - obliczając różnicę procentową w powierzchni kontynentów:
Jeżeli Antarktyda zajmuje \(9\%\) powierzchni Ziemi, a Europa \(7\%\), to znaczy że powierzchnia Antarktydy jest o \(2\) punkty procentowe większa od powierzchni Europy. W związku z tym Antarktyda jest większa od Europy o:
$$0,02\cdot150mln\;km^2=3mln\;km^2$$