Procenty – zadania (egzamin ósmoklasisty)

A

Krok 1. Ustalenie na którym poziomie ukończyła quiz Asia.
Skoro \(32\%\) uczniów napisało quiz gorzej od Asi, to znaczy że Asia musi być na IV poziomie. Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że \(32\%\) to dokładnie tyle ile procent uczniów zakończyło quiz na poziomach I-III:
$$4\%+12\%+16\%=32\%$$

Krok 2. Obliczenie ile procent uczniów napisało quiz lepiej od Asi.
Od Asi napisali lepiej wszyscy ci, którzy osiągnęli poziom V oraz VI, a takich osób jest:
$$32\%+8\%=40\%$$

A

Samochodów osobowych przejechało łącznie dokładnie \(17\) sztuk. Wszystkich pojazdów przejechało \(25\). To oznacza, że samochody osobowe stanowiły:
$$\frac{17}{25}=\frac{68}{100}=68\%$$

C

Zadanie można rozwiązać w zasadzie na dwa sposoby:
I sposób - zamieniając procenty na ułamki zwykłe.
Na Agatę zagłosowało \(37,5\%\) osób. Możemy ten procent zamienić na ułamek zwykły, otrzymując:
$$37,5\%=\frac{37,5}{100}=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}$$

Teraz musimy przyrównać otrzymany ułamek do odpowiedzi z treści zadania.
Ułamek \(\frac{3}{8}\) jest większy od \(\frac{1}{3}\), bo \(\frac{1}{3}=\frac{3}{9}\) (jeżeli oba ułamki mają ten sam licznik to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik).
Jednocześnie ułamek \(\frac{3}{8}\) jest mniejszy od \(\frac{2}{5}\). Aby to udowodnić wystarczy sprowadzić obydwa ułamki do wspólnego mianownika:
$$\frac{3}{8}=\frac{15}{40} \\
\frac{2}{5}=\frac{16}{40}$$

Z dwóch ułamków mających ten sam mianownik większy jest ten, który ma większy licznik, zatem prawidłowa byłaby odpowiedź trzecia.

II sposób - zamieniając ułamki zwykłe na procenty.
Ten sposób wydaje się być nieco łatwiejszy w tym przypadku. Tak naprawdę wystarczyłoby pozamieniać ułamki znajdujące się w odpowiedziach na procenty i sprawdzić w którym przedziale znajdzie się nasz ułamek \(37,5\%\). Zamieniając ułamki zwykłe z odpowiedzi na procenty otrzymamy następujące warianty:

Odp. A. Mniej niż \(25\%\) ogółu
Odp. B. Mniej niż \(33\frac{1}{3}\%\), ale więcej niż \(25\%\) ogółu
Odp. C. Więcej niż \(33\frac{1}{3}\%\), ale mniej niż \(40\%\) ogółu
Odp. D. Więcej niż \(40\%\) ogółu

Widzimy wyraźnie, że \(37,5\%\) mieści się jedynie w przedziale z trzeciej odpowiedzi.

B

Aby móc obliczyć procent zainteresowanych pływaniem musimy najpierw wiedzieć ilu uczniów brało udział w ankiecie. Skoro każdy uczeń mógł wybrać tylko jedno zainteresowanie, to oznacza że wystarczy zsumować wszystkie wyniki z wykresu i poznamy w ten sposób liczbę uczestników ankiety, zatem:
$$70+130+40+20+30+60=350$$

To oznacza, że w ankiecie brało udział \(350\) uczniów.

Krok 2. Obliczenie procentu uczniów interesujących się pływaniem.
Skoro w ankiecie brało udział \(350\) uczniów, a pływanie wybrało \(70\) osób, to oznacza że pływaniem interesuje się:
$$\frac{70}{350}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

Masa szynki stanowi \(12,5\%\) masy śniadania Michała.

Krok 1. Obliczenie masy wszystkich składników.
Wszystkie składniki użyte do zrobienia śniadania Michała ważą:
$$200g+30g+50g+40g=320g$$

Krok 2. Obliczenie udziału masy szynki w śniadaniu.
Szynka stanowi \(40g\) z \(320g\) posiłku, zatem jej udział procentowy wynosi:
$$\frac{40g}{320g}=\frac{1}{8}=12,5\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz masę wszystkich składników (Krok 1.) oraz zapiszesz, np. w formie ułamka, że udział szynki wynosi \(\frac{40g}{320g}\) i źle zamienisz tę wartość na procenty.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Sprawdźmy poprawność każdej z podanych odpowiedzi:
Odp. A. - na wszystkie zwierzęta poza psami zagłosowało \(5\%+20\%+25\%+5\%=55\%\) ankietowanych. To oznacza, że na psa faktycznie zagłosowało \(100\%-55\%=45\%\) ankietowanych, czyli zdanie jest prawdą.
Odp. B. - na królika głosowało \(5\%\) uczniów, a na chomika \(20\%\), czyli faktycznie na królika zagłosowało \(4\) razy mniej osób.
Odp. C. - skoro na chomika głosowało \(20\%\) uczniów i było to \(16\) osób, to zgodnie z proporcją, \(100\%\) uczniów to \(16\cdot5=80\) osób. Na kota głosowało \(25\%\) uczniów, czyli \(0,25\cdot80=20\) ankietowanych. To oznacza, że to zdanie jest fałszem.
Odp. D. - zgodnie z obliczeniami z poprzedniej odpowiedzi, faktycznie było \(80\) ankietowanych.

Fałszywe zdanie znalazło się więc w trzeciej odpowiedzi.

B

Krok 1. Obliczenie liczby gimnazjalistów.
Do gimnazjum uczęszcza \(30\%\) z \(900\) uczniów zespołu szkół, zatem gimnazjalistów jest łącznie:
$$0,3\cdot900=270$$

Krok 2. Obliczenie liczby chłopców chodzących do gimnazjum.
Skoro \(40\%\) uczniów gimnazjum to dziewczyny, to analogicznie \(60\%\) gimnazjalistów to chłopcy, zatem chłopców jest łącznie:
$$0,6\cdot270=162$$

Krok 3. Obliczenie ile procent uczniów zespołu szkół stanowią chłopcy uczęszczający do gimnazjum.
Mając komplet informacji możemy teraz wyznaczyć poszukiwany procent. Chłopców chodzących do gimnazjum jest \(162\), wszystkich uczniów zespołu szkół jest \(900\), więc ci chłopcy stanowią:
$$\frac{162}{900}=0,18=18\%$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
\(120\%\) możemy zamienić na ułamek dziesiętny \(1,2\). Analogicznie \(180\%\) możemy zamienić na ułamek dziesiętny \(1,8\). W związku z tym:
\(120\%\) liczby \(180\) jest równe \(1,2\cdot180=216\)
\(180\%\) liczby \(120\) jest równe \(1,8\cdot120=216\)

Wyszły nam jednakowe wyniki, zatem pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
\(20\%\) możemy zamienić na ułamek dziesiętny \(0,2\). Analogicznie \(40\%\) możemy zamienić na ułamek dziesiętny \(0,4\). W związku z tym:
\(20\%\) liczby \(36\) jest równe \(0,2\cdot36=7,2\)
\(40\%\) liczby \(18\) jest równe \(0,4\cdot18=7,2\)

Wyszły nam jednakowe wyniki, zatem drugie zdanie jest prawdą.

D

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - cena płyty przed obniżką
\(0,7x\) - cena płyty po obniżce

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Wiemy, że cena płyty po obniżce jest równa \(49zł\), zatem możemy zapisać, że:
$$0,7x=49zł \\
x=70zł$$

D

Krok 1. Obliczenie wysokości zniżki.
Skoro okulary kosztują \(450zł\), a klient zapłacił \(288zł\), to otrzymał on zniżkę:
$$450zł-288zł=162zł$$

Krok 2. Ustalenie wieku klienta.
Musimy ustalić ile lat ma klient, czyli tak naprawdę ile procent zniżki otrzymał. Skoro otrzymał on zniżkę \(162zł\) z ceny początkowej \(450zł\), to jego zniżka wyniosła:
$$\frac{162}{450}=0,36=36\%$$

To oznacza, że klient ma \(36\) lat.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Rozpiszmy sobie jak zmieniała się cena laptopa:
\(x\) - początkowa cena laptopa
\(0,85x\) - cena laptopa po pierwszej obniżce
\(0,85x-150\) - cena laptopa po drugiej obniżce

Z treści zadania wiemy, że po obu obniżkach laptop kosztuje \(2400zł\), więc możemy zapisać, że:
$$0,85x-150=2400 \\
0,85x=2550 \\
x=3000$$

To oznacza, że początkowa cena laptopa wynosiła \(3000zł\). Pierwsze zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tu już bez obliczeń powinniśmy dostrzec, że to zdanie jest fałszem, ponieważ już po pierwszej obniżce o \(15\%\) cena laptopa stanowiła \(85\%\) ceny początkowej, a po niej nastąpiła jeszcze kolejna obniżka.

Możemy jednak samodzielnie obliczyć jakim procentem ceny początkowej jest cena po obu obniżkach. Skoro cena końcowa jest równa \(2400zł\), a cena początkowa wynosiła \(3000zł\), to otrzymamy:
$$\frac{2400}{3000}\cdot100\%=0,8\cdot100\%=80\%$$

Zdanie jest więc fałszem.

B

Wiemy, że obniżka ośmioprocentowa daje nam rabat \(120zł\). Nas interesuje pełna kwota roweru (czyli \(100\%\)), zatem możemy skorzystać z prostej proporcji:
Skoro \(8\%\) to \(120zł\)
To \(1\%\) to \(15zł\)
Więc \(100\%\) to \(1500zł\)

A

Do zadania możemy podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie sprawdzić ile wynosi obniżka w poszczególnych sklepach.
• Sklep Alfa - skoro płacimy tylko \(\frac{2}{3}\) ceny, to rabat wyniósł \(\frac{1}{3}\), czyli około \(33,3\%\).
• Sklep Beta - tutaj wiemy, że obniżka wynosi \(30\%\).
• Sklep Gamma - tutaj ścięto ćwierć ceny, czyli rabat wyniósł \(25\%\).

Najwyższy rabat jest więc w sklepie Alfa, zatem to tam łyżwy będą najtańsze.

A

Cena biletu w sezonie zimowym jest o \(20\%\) niższa, zatem wynosi:
$$0,8\cdot40zł=32zł$$

Cena biletu w sezonie letnim jest podwyższona o \(200\%\). Jeżeli byłaby podwyższona o \(100\%\) to bilet byłby dwukrotnie droższy. Skoro cena jest podwyższona o \(200\%\) to bilet będzie trzykrotnie droższy:
$$3\cdot40zł=120zł$$

To oznacza, że bilet na prom w sezonie letnim jest droższy o:
$$120zł-32zł=88zł$$

A. 2.,

W pierwszej promocji otrzymujemy \(20\%\) czekolady więcej, czyli za \(9,60zł\) otrzymamy \(1,2\cdot20dag=24dag\) czekolady. Klient potrzebuje \(120dag\), czyli musiałby zakupić \(120:24=5\) tabliczek. Zapłaciłby za nie \(5\cdot9,60zł=48zł\).

W drugiej promocji cena czekolady spada o \(20\%\), czyli wynosi \(0,8\cdot9,60zł=7,68zł\). Klient potrzebuje \(120dag\), czyli musiałby zakupić \(120:20=6\) tabliczek. Zapłaciłby za nie \(6\cdot7,68zł=46,08zł\).

To oznacza, że faktycznie promocja II jest bardziej opłacalna, ponieważ w promocji II \(1 dag\) czekolady kosztuje mniej niż w promocji I.

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Obliczenie wartości nagród za poszczególne miejsca.
Za pierwsze miejsce przyznano \(5000zł\).
Za drugie miejsce przyznano \(0,7\cdot5000zł=3500zł\).
Za trzecie miejsce przyznano \(0,6\cdot3500zł=2100zł\).

Krok 2. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Pierwsze zdanie jest fałszem, bo nagroda za trzecie miejsce wyniosła \(2100zł\).
Drugie zdanie jest fałszem. Nagroda za trzecie miejsce była o \(5000zł-2100zł=2900zł\) mniejsza, czyli była mniejsza o \(\frac{2900}{5000}=0,58=58\%\).

B

Nieruchomość podrożała o:
$$280tys.-56tys.=224tys.$$

To oznacza, że w ujęciu procentowym wartość wzrosła o:
$$\frac{224tys.}{56tys.}\cdot100\%=4\cdot100\%=400\%$$

A

\(44\%\) uczniów ma siostrę i \(72\%\) uczniów ma brata. Sumując te procenty otrzymamy \(44\%+72\%=116\%\). To sugeruje nam, że \(16\%\) osób ma i siostrę, i brata.

Z treści zadania wynika, że siostrę i brata ma \(4\) uczniów. Możemy zatem ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(16\%\) uczniów to \(4\) osoby
Więc \(4\%\) uczniów to \(1\) osoba
Zatem \(100\%\) uczniów to \(25\) osób

To oznacza, że w ankiecie wzięło udział \(25\) osób.

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Na początku mamy \(32\) cukierki, w tym \(5\) truskawkowych. Zobaczmy co się stanie jak dołożymy \(3\) lub \(4\) cukierki truskawkowe (bo takie mamy opcje w odpowiedziach).

a) Jak dołożymy \(3\) cukierki truskawkowe to będziemy mieli \(35\) cukierków, w tym \(8\) truskawkowych. Cukierki truskawkowe będą więc stanowiły wtedy \(\frac{8}{35}\approx23\%\).
b) Jak dołożymy \(4\) cukierki truskawkowe to będziemy mieli \(36\) cukierków, w tym \(9\) truskawkowych. Cukierki truskawkowe będą więc stanowiły wtedy \(\frac{9}{36}=25\%\).

Musimy więc dołożyć \(4\) cukierki truskawkowe.

A jak rozwiązać to zadanie gdyby było to zadanie otwarte (bez podanych odpowiedzi)? Biorąc pod uwagę, że 25\% możemy zapisać w postaci ułamka \(\frac{1}{4}\) to należałoby wtedy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{5+x}{32+x}=\frac{1}{4}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$4\cdot(5+x)=1\cdot(32+x) \\
20+4x=32+x \\
3x=12 \\
x=4$$

Wyszło nam więc ponownie, że należałoby dołożyć \(4\) cukierki truskawkowe.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
W torebce mamy \(32\) cukierki, w tym \(17\) pomarańczowych. Chcemy by pomarańczowych cukierków było \(40\%\), czyli żeby było ich \(\frac{4}{10}\). Jeżeli z paczki zabierzemy \(x\) pomarańczowych cukierków, to będziemy mieć ich \(17-x\). Pomniejszy nam się też liczba wszystkich cukierków w paczce i teraz wyniesie ona \(32-x\). Zatem powstanie nam równanie:
$$\frac{17-x}{32-x}=\frac{4}{10}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$10\cdot(17-x)=4\cdot(32-x) \\
170-10x=128-4x \\
42=6x \\
x=7$$

Musimy więc zabrać \(7\) pomarańczowych cukierków.

D

Krok 1. Obliczenie ile dodano stolików czteroosobowych.
Wiemy, że zabrano \(10\%\) stolików dwuosobowych, czyli zabrano:
$$0,1\cdot20=2$$

To oznacza, że zabrano \(2\) stoliki dwuosobowe i tym samym (zgodnie z treścią zadania) dołożono \(2\) stoliki czteroosobowe.

Krok 2. Obliczenie o ile procent zwiększono liczbę stolików czteroosobowych.
Skoro było \(10\) stolików i doszły nam \(2\) kolejne, do liczba stolików czteroosobowych zwiększyła się o:
$$\frac{2}{10}\cdot100\%=20\%$$

C

Do zadania można podejść na wiele sposobów, można nawet układać odpowiednie równania i tworzyć klasyczny układ równań. Jednak można też postąpić nieco sprytniej i szybciej.

Skoro chłopców jest \(65\%\), to dziewczyn jest \(35\%\). Wiemy też, że ta różnica \(65\%-35\%=30\%\) to dokładnie \(60\) uczniów. Teraz możemy ułożyć prostą proporcję. Wiedząc, że dziewczyny stanowią \(35\%\) szkoły i wiedząc że \(30\%\) szkoły to \(60\) uczniów możemy zapisać, że:
Skoro \(30\%\) to \(60\) uczniów
To \(5%\) to \(10\) uczniów
Zatem \(35\%\) to \(70\) uczniów

To oznacza, że do egzaminu przystąpiło \(70\) dziewczyn.

Pensja Pani Marii wzrosła o \(5\%\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wypiszmy kluczowe informacje zawarte w zadaniu:
\(x\) - miesięczna pensja (przez pierwsze 9 miesięcy)
\(3780\) - miesięczna pensja (przez pozostałe 3 miesiące roku)

Krok 2. Obliczenie miesięcznej pensji (od stycznia do września).
Skoro przez \(9\) miesięcy Pani Maria otrzymywała pensję \(x\), a przez \(3\) miesiące pensję \(3780zł\) i w ciągu roku dało to łącznie \(43740zł\), to:
$$9x+3\cdot3780=43740 \\
9x+11340=43740 \\
9x=32400 \\
x=3600$$

Krok 3. Obliczenie procentowego wzrostu pensji.
Skoro Pani Maria zarabia teraz \(3780zł\), a zarabiała \(3600zł\), to jej pensja wzrosła o:
$$3780-3600=180$$

Musimy teraz obliczyć, o ile procent wzrosła miesięczna pensja. Skoro Pani Maria zarabiała \(3600zł\) i od tej kwoty dostała \(180zł\) podwyżki, to ta podwyżka stanowi:
$$\frac{180}{3600}\cdot100\%=5\%$$

To oznacza, że pensja Pani Marii wzrosła o \(5\%\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia wysokości miesięcznych zarobków w 9 początkowych miesiącach (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia podwyżki zarobków w ostatnim kwartale roku, ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(12\) meczów

Krok 1. Obliczenie ile procent meczów było przegranych.
Z diagramu kołowego wynika, że przegrane mecze stanowią:
$$100\%-45\%-25\%=30\%$$

Krok 2. Obliczenie ile było wszystkich meczów.
Skoro drużyna wygrała \(25\%\) meczów i było to \(10\) spotkań, to oznacza że drużyna rozegrała \(40\) meczów w trakcie całego sezonu.

Krok 3. Obliczenie ile meczów było przegranych.
Skoro drużyna przegrała \(30\%\) meczów, a takich spotkań rozegrała \(40\), to znaczy że liczba meczów zakończonych porażką jest równa:
$$0,3\cdot40=12$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich rozegranych meczów (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

A

Zadanie możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób - obliczając powierzchnię dwóch kontynentów:
Krok 1. Obliczenie powierzchni Antarktydy.
Antarktyda zajmuje \(9\%\) powierzchni Ziemi. Skoro powierzchnia Ziemi jest równa \(150mln\;km^2\), to powierzchnia Antarktydy będzie równa:
$$0,09\cdot150mln\;km^2=13,5mln\;km^2$$

Krok 2. Obliczenie powierzchni Europy.
Europa zajmuje \(7\%\) powierzchni Ziemi. Skoro powierzchnia Ziemi jest równa \(150mln\;km^2\), to powierzchnia Europy będzie równa:
$$0,07\cdot150mln\;km^2=10,5mln\;km^2$$

Krok 3. Obliczenie różnicy powierzchni.
Antarktyda jest większa od Europy o:
$$13,5mln\;km^2-10,5mln\;km^2=3mln\;km^2$$

II sposób - obliczając różnicę procentową w powierzchni kontynentów:
Jeżeli Antarktyda zajmuje \(9\%\) powierzchni Ziemi, a Europa \(7\%\), to znaczy że powierzchnia Antarktydy jest o \(2\) punkty procentowe większa od powierzchni Europy. W związku z tym Antarktyda jest większa od Europy o:
$$0,02\cdot150mln\;km^2=3mln\;km^2$$

\(48zł\)

Krok 1. Obliczenie ceny kwiatów.
Klient za kwiaty zapłacił:
$$3\cdot3zł+2\cdot8zł+5\cdot3zł= \\
=9zł+16zł+15zł=40zł$$

Krok 2. Obliczenie kwoty dodatków.
Dodatki będą kosztować \(20\%\) wartości kwiatów, czyli:
$$0,2\cdot40zł=8zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny całego bukietu.
Sumując kwiaty oraz dodatki wyjdzie nam, że bukiet kosztuje:
$$40zł+8zł=48zł$$

W pojemniku znajdowały się \(104\) piłeczki.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Tutaj możemy tak naprawdę tworzyć bardzo różnorodne oznaczenia, ale patrząc na kontekst zadania to najprościej będzie chyba odnosić się zawsze do niebieskich piłek:
\(x\) - liczba niebieskich piłeczek
\(0,8x\) - liczba czarnych piłeczek
\(x+6\) - liczba zielonych piłeczek

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Skoro niebieskich i zielonych piłeczek jest łącznie o \(48\) więcej niż czarnych, to powstaje nam równanie:
$$niebieskie+zielone=czarne+48 \\
x+(x+6)=0,8x+48 \\
2x+6=0,8x+48 \\
1,2x=42 \\
x=35$$

Krok 3. Obliczenie liczby poszczególnych piłeczek.
Wiemy już, że mamy \(35\) niebieskich piłeczek. Teraz musimy policzyć pozostałe kolory:
Czarne: \(0,8\cdot35=28\)
Zielone: \(35+6=41\)

Krok 4. Obliczenie łącznej liczby wszystkich piłeczek.
Wszystkich piłeczek mamy zatem:
$$35+28+41=104$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia stosując jedną niewiadomą (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie ilość piłeczek jednego koloru (Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Helena otrzymała \(11\) głosów, a Grzegorz otrzymał \(5\) głosów.

Krok 1. Obliczenie liczby osób głosujących.
Na samym początku obliczmy ile osób głosowało w wyborach. Dokonamy tego dzięki informacji, która mówi o tym, że \(9\) zdobytych głosów stanowi \(36\%\) wszystkich głosów. Skoro tak, to możemy ułożyć następującą proporcję:
Skoro \(9\) głosów stanowi \(36\%\) wszystkich głosów
To \(1\) głos stanowi \(4\%\) wszystkich głosów
Więc \(25\) głosów stanowi \(100\%\) wszystkich głosów

To oznacza, że w głosowaniu oddano \(25\) głosów.

Krok 2. Obliczenie liczby głosów oddanych łącznie na Helenę oraz Grzegorza.
Skoro na Jacka oddano \(9\) głosów, a wszystkich głosów było \(25\), to na Grzegorza i Helenę oddano łącznie \(25-9=16\) głosów.

Krok 3. Obliczenie liczby głosów oddanych oddzielnie na Helenę oraz Grzegorza.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - liczba głosów oddanych na Grzegorza
\(x+6\) - liczba głosów oddanych na Helenę

Wiemy też, że łącznie ta dwójka zebrała \(16\) głosów, zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$x+x+6=16 \\
2x+6=16 \\
2x=10 \\
x=5$$

Naszą niewiadomą \(x\) jest liczba głosów oddanych na Grzegorza, a to oznacza, że na Grzegorza oddano \(5\) głosów.
Musimy jeszcze policzyć liczbę głosów oddanych na Helenę, a skoro Helena zdobyła \(6\) głosów więcej od Grzegorza, to Helenę oddano \(5+6=11\) głosów.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz liczbę głosów oddanych w wyborach (patrz: Krok 1.) albo przynajmniej podasz poprawny sposób na wykonanie takiego obliczenia.
ALBO
• Gdy przedstawisz sposób na obliczenie łącznej liczby głosów oddanych na Helenę i Grzegorza (patrz: Krok 2.), ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na jakieś błędy rachunkowe.
2 pkt
• Gdy przedstawisz poprawny sposób obliczenia głosów oddanych osobno na Helenę i Grzegorza (patrz: Krok 3.), ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na jakieś błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

E

Skoro stosunek cukru do masy wody jest równy \(5:3\) to możemy zapisać, że na każde \(5x\) cukru mamy \(3x\) wody. Cała nasza mieszanina ma więc:
$$5x+3x=8x$$

Skoro więc mamy \(5x\) cukru, a cały syrop ma masę \(8x\), to cukier stanowi:
$$\frac{5x}{8x}=\frac{5}{8}=0,625$$

Otrzymany ułamek oznacza, że cukier stanowi \(62,5\%\) syropu.

D

Proporcja \(3:8:5\) oznacza, że na każdych trzech pierwszoklasistów przypada ośmiu drugoklasistów i pięciu trzecioklasistów. Czyli na łącznie ośmiu pierwszo- i trzecioklasistów przypada ośmiu drugoklasistów, co oznacza, że drugoklasiści na pewno stanowią połowę, czyli \(50\%\) wszystkich uczestników.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą, bo w tym przypadku podatek VAT jest równy \(2,70zł-2,50zł=0,2zł\), a więc jest to \(\frac{0,2zł}{2,5zł}=0,08=8\%\) ceny netto.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo cena z podatkiem VAT będzie wynosić \(22zł\cdot1,05=23,10zł\).

Krok 1. Obliczenie wartości podatku VAT za okno.
Pierwszą rubryczką do uzupełnienia jest podatek VAT za okno. Stanowi on \(22\%\) ceny netto, zatem będzie on równy:
$$0,22\cdot1200zł=264zł$$

Krok 2. Obliczenie całkowitej kwoty za okno.
Potrzebujemy teraz uzupełnić rubryczkę "Razem" za okno, która tak naprawdę będzie kwotą brutto. Musimy więc do ceny netto dodać wartość podatku VAT, zatem:
$$1200zł+264zł=1464zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny netto za drzwi.
Aby lepiej zrozumieć ideę obliczania ceny netto wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - cena netto drzwi
\(0,22x\) - wartość podatku VAT

Cena drzwi plus wartość podatku VAT ma nam dać kwotę brutto, czyli \(3538zł\). Możemy zatem zapisać, że:
$$x+0,22x=3538zł \\
1,22x=3538zł \\
x=2900zł$$

Cena netto drzwi jest więc równa \(2900zł\).

Krok 4. Obliczenie podatku VAT za drzwi.
Znając już cenę netto za drzwi bez problemu obliczymy należny podatek VAT:
$$0,22\cdot2900zł=638zł$$

Można też byłoby od ceny brutto odjąć cenę netto:
$$3538zł-2900zł=638zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jedną z brakujących wartości w tabeli.
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz dwie z brakujących wartości w tabeli.
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz trzy z brakujących wartości w tabeli.
4 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz wszystkie brakujące wartości w tabeli.

Kąt środkowy ma miarę \(72°\).

Skoro wypoczynek w górach wybrało \(20\%\) ankietowanych, to nasz poszukiwany kąt środkowy będzie stanowić \(20\%\) miary kąta pełnego. W takim razie będzie to kąt:
$$0,2\cdot360°=72°$$