Próbny egzamin ósmoklasisty - Matematyka - Styczeń 2026

Poniżej znajduje się próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki (CKE – styczeń 2026). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2026

Arkusz zawiera 14 zadań zamkniętych oraz 6 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 30 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to około 125 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Na diagramie przedstawiono zysk pewnej firmy w kolejnych kwartałach $2024$ roku.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Zysk tej firmy w I kwartale stanowi $\frac{1}{6}$ zysku z całego roku $2024$.

Zysk tej firmy w drugim półroczu $2024$ roku był o $350$ tysięcy złotych większy niż jej zysk w pierwszym półroczu $2024$ roku.

Zadanie 2. (1pkt) Wartość wyrażenia $4^{3}-8^{2}:2^{4}$ jest równa:

$0$

$10$

$56$

$60$

Zadanie 3. (1pkt) Dane jest wyrażenie $(0,75\cdot8+8\cdot\frac{1}{2}):(-2)$

Wartość tego wyrażenia jest równa:

$-5$

$-3,5$

$3,5$

$5$

Zadanie 4. (1pkt) Uczniowie trzech klas: $8A$, $8B$ i $8C$, zebrali łącznie $132,9$ kg makulatury. Uczniowie klas $8A$ i $8B$ zebrali łącznie $90,6$ kg makulatury, a uczniowie klas $8B$ i $8C$ zebrali łącznie $86,8$ kg makulatury. Ile kilogramów makulatury zebrali uczniowie klasy $8B$?

$43,4$

$44,3$

$44,5$

$47,2$

Zadanie 5. (1pkt) Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Równość $3a-4=a+2$ jest spełniona dla liczby $a$ równej $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$

$3$

$1$

Wyrażenie $(3a-4)-(a+2)$ jest równe $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$

$2a-2$

$2a-6$

Zadanie 6. (1pkt) Aleks kupił jeden komplet słuchawek bezprzewodowych, dwie jednakowe ładowarki i dwa jednakowe dyski USB. Jeden dysk USB był $2$ razy tańszy od ładowarki, a komplet słuchawek bezprzewodowych był $4$ razy droższy od jednej ładowarki.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy cenę jednej ładowarki, to wartość zakupów Aleksa opiszemy wyrażeniem:

$10,5x$

$7x$

$6,5x$

$6x$

Zadanie 7. (1pkt) Dane są trzy liczby: $x=5,27\cdot10^{-3}$, $y=0,0023$, $z=1400\cdot10^{-5}$. Uporządkowano te liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

Który zapis przedstawia poprawny sposób uporządkowania liczb $x$, $y$, $z$? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

$x\lt y\lt z$

$y\lt x\lt z$

$z\lt y\lt x$

$x\lt z\lt y$

Zadanie 8. (1pkt) Na osi liczbowej zaznaczono punkty $K$, $L$ i $M$. Odcinek $KM$ jest podzielony na $10$ równych części (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Z liczb, które są współrzędnymi punktów $K$, $L$ i $M$, utworzono sumy:
I. $K+L+M$
II. $K+L$
III. $K+M$
IV. $L+M$

Która z utworzonych sum jest liczbą podzielną przez $9$?

$I$

$II$

$III$

$IV$

Zadanie 9. (1pkt) Trójkąty $ABC$ i $ABD$ są równoramienne. Miara kąta między ramionami trójkąta $ABC$ jest równa $80^{\circ}$, a miara kąta między ramionami trójkąta $ABD$ jest równa $40^{\circ}$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia odcinków $AC$ i $BD$ (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Kąt $ASB$ jest $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$

ostry

prosty

Miara kąta $DAC$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$

$20°$

$40°$

Zadanie 10. (1pkt) Na tablicy zapisano osiem liczb całkowitych dodatnich, których średnia arytmetyczna jest równa $9$. Po dopisaniu do tych ośmiu liczb dodatkowej liczby równej $9$ średnia arytmetyczna:

wzrośnie o $1$

zmaleje o $1$

się nie zmieni

wzrośnie o $9$

Zadanie 11. (1pkt) Dany jest prostokąt $ABCD$ o bokach długości $4$ cm i $9$ cm. Ten prostokąt narysowano w skali $2:1$ i otrzymano prostokąt $EFGH$.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F jeśli jest fałszywe.

Obwód prostokąta $EFGH$ jest dwukrotnie większy od obwodu prostokąta $ABCD$

Pole prostokąta $EFGH$ jest równe $144 cm^2$

Zadanie 12. (1pkt) Z kart w kształcie trójkąta równobocznego o boku długości $2$ cm układano figury w sposób przedstawiony na rysunku.
egzamin ósmoklasisty

Ile takich trójkątów należy ułożyć, aby otrzymać trapez o obwodzie równym $42$ cm?

$7$

$11$

$19$

$21$

Zadanie 13. (1pkt) Adam zbudował dwa prostopadłościany.
Pierwszy prostopadłościan ma wymiary $5$, $6$, $10$.
Drugi prostopadłościan ma wymiary $6$, $6$, $10$.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Objętość pierwszego prostopadłościanu jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$.

$300$

$600$

Różnica objętości tych prostopadłościanów jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$.

$60$

$120$

Zadanie 14. (1pkt) Adam zbudował dwa prostopadłościany.
Pierwszy prostopadłościan ma wymiary $5$, $6$, $10$.
Drugi prostopadłościan ma wymiary $6$, $6$, $10$.

Adam ustawił te prostopadłościany jeden na drugim tak, że powstał większy prostopadłościan. Pole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe:

$412$

$472$

$532$

$592$

Zadanie 15. (2pkt) Dana jest liczba $a=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{6}}$. Wyznacz dwie kolejne liczby całkowite dodatnie, między którymi na osi liczbowej znajduje się liczba $a$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie wartości liczby $a$.
Na początek uprośćmy całe wyrażenie, którym opisana jest nasza liczba $a$. Korzystając z działań na pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$a=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{6}} \\
a=\frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{6}} \\
a=\frac{\sqrt{30\cdot4}}{\sqrt{6}} \\
a=\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{6}} \\
a=\sqrt{20}$$

Krok 2. Ustalenie między jakimi liczbami całkowitymi znajduje się nasza liczba $a$.
Wiemy, że $\sqrt{20}\approx4,5$, ponieważ $4^2=16$ oraz $5^2=25$. To oznacza, że na osi liczbowej nasza liczba $a$ znajdzie się pomiędzy $4$ oraz $5$.

Zadanie 16. (3pkt) Drużynę harcerską można podzielić na $4$-osobowe zespoły. Gdyby ta drużyna liczyła o $3$ osoby mniej, to wtedy harcerzy można by podzielić na zespoły $5$-osobowe. Liczba zespołów $5$-osobowych byłaby o $2$ mniejsza od liczby zespołów $4$-osobowych. Oblicz, ile osób jest w tej drużynie harcerskiej. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Zgodnie z treścią zadania możemy zapisać, że:
$x$ - liczba harcerzy
$\frac{1}{4}x$ - liczba zespołów czteroosobowych

Dodatkowo wiemy, że gdy liczbę harcerzy zmniejszymy o $3$, to będziemy mogli stworzyć zespoły pięcioosobowe, zatem:
$x-3$ - nowa liczba harcerzy
$\frac{1}{5}\cdot(x-3)$ - liczba zespołów pięcioosobowych

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wiemy, że liczba zespołów pięcioosobowych byłaby o $2$ większa od liczby zespołów czteroosobowych, zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{1}{4}x=\frac{1}{5}\cdot(x-3)+2 \\
\frac{1}{4}x=\frac{1}{5}x-\frac{3}{5}+2 \quad\bigg/\cdot20 \\
5x=4x-12+40 \\
x=28$$

To oznacza, że mamy $28$ harcerzy.

Zadanie 17. (3pkt) Kierowca pokonał drogę podzieloną na trzy odcinki ($I$, $II$, $III$). Po przejechaniu każdego odcinka drogi zatrzymywał się na postój. Na wykresie przedstawiono zależność przebytej przez kierowcę drogi od czasu.
egzamin ósmoklasisty

Oblicz, z jaką prędkością, wyrażoną w $\frac{km}{h}$, kierowca pokonał $II$ odcinek drogi. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Odczytanie danych z wykresu.
Z wykresu wynika, że kierowca pokonał II odcinek drogi w czasie $180-105=75$ minut. Droga ta miała długość $200-120=80$ kilometrów.

Krok 2. Obliczenie prędkości pokonania odcinka.
Czas jazdy wyniósł $75$ minut, ale chcemy wyrazić potem całość w jednostce $\frac{km}{h}$, więc dobrze będzie od razu zamienić te minuty na godziny:
$$75\text{ min.}=1\frac{1}{4}h=\frac{5}{4}h$$

Teraz możemy przystąpić do obliczenia prędkości:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{80}{\frac{5}{4}} \\
v=80\cdot\frac{4}{5} \\
v=\frac{320}{5} \\
v=64[\frac{km}{h}]$$

Zadanie 18. (2pkt) Graniastosłup prawidłowy czworokątny o objętości $567$ $cm^{3}$ ma wysokość równą $7$ cm. Oblicz, ile $cm^{2}$ ma pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Z treści zadania wiemy, że $V=567 cm^3$ oraz że $H=7 cm$. W takim razie, korzystając ze wzoru na objętość, możemy obliczyć pole podstawy naszego graniastosłupa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
567cm^3=P_{p}\cdot7cm \\
P_{p}=81cm^2$$

W podstawie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego znajduje się kwadrat. Skoro jest to kwadrat o polu $81 cm^2$, to możemy stwierdzić, że bok tego kwadratu ma długość $9 cm$. Tym samym wiemy już, że nasz graniastosłup ma wymiary $9cm\times9cm\times7cm$.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Wiemy już, że nasz graniastosłup ma wymiary $9cm\times9cm\times7cm$. Korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy stwierdzić, że:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc \\
P_{c}=2\cdot9\cdot9+2\cdot9\cdot7+2\cdot9\cdot7 \\
P_{c}=162+126+126 \\
P_{c}=414[cm^2]$$

Zadanie 19. (3pkt) W rombie $ABCD$ poprowadzono przekątną $BD$ oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka $D$ na bok $AB$ (zobacz rysunek). Długość boku tego rombu jest równa $10$ cm, a długość przekątnej $BD$ jest równa $12$ cm.
egzamin ósmoklasisty

Oblicz wysokość rombu $ABCD$ poprowadzoną z wierzchołka $D$ na bok $AB$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości drugiej przekątnej rombu.
Przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości i to w dodatku pod kątem prostym. Skoro tak, to dorysowując drugą przekątną powstaną nam na rysunku trójkąty prostokątne o przyprostokątnej długości $6 cm$ i przeciwprostokątnej $10 cm$. Długość drugiej przyprostokątnej, która jest jednocześnie połową drugiej przekątnej, obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
$$6^2+x^2=10^2 \\
36+x^2=100 \\
x^2=64 \\
x=8 \quad\lor\quad x=-8$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam $x=8$. I tu uwaga, to jest połowa drugiej przekątnej naszego rombu, zatem cała przekątna będzie mieć długość $16 cm$.

Krok 2. Obliczenie pola rombu.
Korzystając z jednego ze wzorów na pole rombu, możemy stwierdzić, że romb o przekątnych o długości $e=12 cm$ oraz $f=16 cm$ będzie mieć powierzchnię:
$$P=\frac{e\cdot f}{2} \\
P=\frac{12\cdot16}{2} \\
P=\frac{192}{2} \\
P=96[cm^2]$$

Krok 3. Obliczenie wysokości rombu.
Teraz musimy skorzystać z drugiego wzoru na pole rombu, który uwzględnia wysokość. Wiemy, że bok rombu ma długość $a=10 cm$, zatem możemy zapisać, że:
$$P=a\cdot h \\
96=10\cdot h \\
h=9,6[cm]$$

Zadanie 20. (3pkt) Dany jest czworokąt $ABCD$. Przekątna $BD$ o długości $\sqrt{18}$ dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty prostokątne równoramienne w sposób pokazany na rysunku.
egzamin ósmoklasisty

Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości boku $BC$.
Spójrzmy na trójkąt $DBC$. Jest to trójkąt prostokątny w którym przyprostokątne mają długość $\sqrt{18}$. Korzystając zatem z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość boku $BC$.
$$(\sqrt{18})^2+(\sqrt{18})^2=c^2 \\
18+18=c^2 \\
c^2=36 \\
c=6 \quad\lor\quad c=-6$$

Ujemną długość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam $|BC|=6$.

Krok 2. Obliczenie długości boków $AB$ oraz $AD$.
Spójrzmy teraz na trójkąt $ABD$. Boki $AB$ oraz $AD$ mają jednakową długość (możemy ją sobie nawet oznaczyć jako $x$), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy:
$$x^2+x^2=(\sqrt{18})^2 \\
2x^2=18 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

I tu ponownie interesuje nas jedynie dodatni wynik, zatem $|AB|=3$ oraz $|AD|=3$.

Krok 3. Obliczenie obwodu czworokąta $ABCD$.
Znamy już wszystkie długości boków naszego czworokąta, zatem:
$$Obw=3+3+\sqrt{18}+6 \\
Obw=12+\sqrt{18}$$

Możemy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, bo wiemy, że $18=9\cdot2$, zatem:
$$Obw=12+\sqrt{9\cdot2} \\
Obw=12+3\sqrt{2}$$

Zdobyłeś/aś: 0/30pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki – styczeń 2026 – Odpowiedzi

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki – styczeń 2026 – PDF

Egzamin ósmoklasisty

Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Styczeń 2026

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2026