Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Styczeń 2026 – Odpowiedzi

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Odczytanie zysku firmy.
Z diagramu możemy odczytać, że zysk firmy w poszczególnych kwartałach wyglądał następująco:
I kwartał: \(300\) tys. zł
II kwartał: \(450\) tys. zł
III kwartał: \(600\) tys. zł
IV kwartał: \(500\) tys. zł

Łącznie przez cały rok zysk firmy (w tysiącach złotych) wyniósł:
$$300+450+600+500=1850$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W pierwszym kwartale zysk wyniósł \(300\) tys. zł, a w całym roku spółka zarobiła \(1850\) tys. zł. To oznacza, że zysk z pierwszego kwartału stanowi \(\frac{300}{1850}=\frac{6}{37}\) rocznego zysku, a więc zdanie jest fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W pierwszym półroczu spółka zarobiła \(300+450=750\) tys. złotych. W drugim półroczu ten zarobek wyniósł \(600+500=1100\) tys. złotych. Różnica wynosi zatem \(1100-750=350\) tys. złotych. Zdanie jest więc prawdą.

D

Korzystając z działań na potęgach (i pamiętając o kolejności wykonywania działań), nasz przykład możemy rozpisać w następujący sposób:
$$4^{3}-8^{2}:2^{4}=\left(2^2\right)^3-\left(2^3\right)^2-2^4= \\
=2^{6}-2^{6}:2^{4}=2^{6}-2^{2}=64-4=60$$

Ewentualnie, skoro nie są to duże liczby, możemy wręcz podejść do zadania w taki oto sposób:
$$4^{3}-8^{2}:2^{4}=64-64:16=64-4=60$$

A

Pamiętając o kolejności wykonywania działań, całe wyrażenie możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\left(0,75\cdot8+8\cdot\frac{1}{2}\right):(-2)=(6+4):(-2)=10:(-2)=-5$$

C

Krok 1. Ustalenie, ile kilogramów makulatury zebrali uczniowie klasy \(8C\).
Z treści zadania wiemy, że uczniowie trzech klas zebrali łącznie \(132,9 kg\) makulatury, więc moglibyśmy zapisać, że:
$$A+B+C=132,9$$

Wiemy też, że uczniowie klas \(8A\) i \(8B\) zebrali łącznie \(90,6 kg\), zatem:
$$A+B=90,6$$

To prowadzi nas do wniosku, że uczniowie klasy \(8C\) zebrali następującą liczbę kilogramów makulatury:
$$C=132,9-90,6 \\
C=42,3$$

Krok 2. Ustalenie, ile kilogramów makulatury zebrali uczniowie klasy \(8B\).
Wiemy, że uczniowie klas \(8B\) i \(8C\) zebrali łącznie \(86,8 kg\) makulatury, zatem:
$$B+C=86,8$$

Skoro uczniowie \(8C\) zebrali \(42,3 kg\), to tym samym:
$$B=86,8-42,3\\
B=44,5$$

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Rozwiązując podane równanie, otrzymamy:
$$3a-4=a+2 \\
2x=6 \\
x=3$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Musimy uprościć nasze wyrażenie, uważając w szczególności na minus stojący przed drugim nawiasem:
$$(3a-4)-(a+2)=3a-4-a-2=2a-6$$

B

Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia, zgodnie z treścią zadania:
\(x\) - cena ładowarki
\(\frac{1}{2}x\) - cena dysku USB
\(4x\) - cena słuchawek

Aleks wydał zatem na zakupy:
$$1\cdot4x+2\cdot x+2\frac{1}{2}x=4x+2x+x=7x$$

B

Sprowadźmy wszystkie liczby do postaci dziesiętnej:
\(x=5,27\cdot10^{-3}=5,27\cdot0,001=0,00527 \\
y=0,0023 \\
z=1400\cdot10^{-5}=1,4\cdot10^{3}\cdot10^{-5}=1,4\cdot10^{-2}=1,4\cdot0,01=0,014\)

Widzimy więc, że najmniejszą liczbą jest \(y\), potem mamy \(x\), a największa jest \(z\).

D

Krok 1. Ustalenie jednostki skali na osi liczbowej.
Widzimy, że pomiędzy liczbami \(6\) i \(21\) jest pięć jednakowych części naszej osi liczbowej. Różnica między tymi liczbami jest równa \(21-6=15\). Skoro tak, to nasza oś ma skalę równą \(15:5=3\). Tym samym każda kolejna zaznaczona kreska jest liczbą o \(3\) większą od poprzedniej.

Krok 2. Ustalenie jakie są wartości liczb \(K\), \(L\) oraz \(M\).
Widzimy, że liczba \(K\) jest o \(3\) jednostki na lewo od liczby \(6\), zatem:
$$K=6-3\cdot3 \\
K=6-9 \\
K=-3$$

Liczba \(L\) jest o jedną jednostkę na prawo od liczby \(6\), zatem:
$$L=6+3 \\
L=9$$

Z kolei \(M\) jest o \(2\) jednostki przesunięte na prawo od liczby \(21\), zatem:
$$M=21+2\cdot3 \\
M=21+6 \\
M=27$$

Krok 3. Ustalenie, która suma jest liczbą podzielną przez \(9\).
Nasze sprawne matematyczne oko mogłoby dostrzec, że zarówno \(L\) oraz \(M\) są liczbami podzielnymi przez \(9\), więc poprawną odpowiedzią musi być suma, która nie zawiera w sobie liczby \(K\). Ale jeśli tego jeszcze nie dostrzegamy, to możemy po prostu obliczyć każdą z podanych sum w treści zadania i sprawdzić jakie otrzymamy wyniki:
I. \(K+L+M=-3+9+27=33\)
II. \(K+L=-3+9=6\)
III. \(K+M=-3+27=24\)
IV. \(L+M=9+27=36\)

Liczbą podzielną przez \(9\) jest tylko ostatnia suma.

B, , C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Powinniśmy najpierw ustalić, gdzie są ramiona naszych trójkątów równoramiennych, a gdzie jest ich podstawa, bo na pierwszy rzut oka może nie być to takie jednoznaczne. Z treści zadania wynika, że w jednym i drugim kącie mamy podane kąty między ramionami, więc podstawami trójkątów są boki \(AB\) oraz \(AC\).

Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakowe miary. Spójrzmy zatem najpierw na trójkąt \(ABC\). Skoro kąt między ramionami ma \(80°\), to na kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-80°=100°\), czyli każdy z tych kątów przy podstawie ma miarę \(100°:2=50°\).

Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABS\). Wiemy już, że w tym trójkącie mamy kąty o mierze \(50°\) oraz \(40°\), zatem kąt \(ASB\) ma miarę:
$$|\sphericalangle ASB|=180°-50°-40°=90°$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Jest to trójkąt równoramienny, którego kąt między ramionami ma miarę \(40°\). Skoro tak, to kąty przy podstawie będą mieć \(180°-40°=140°\). Tym samym każdy z kątów przy podstawie ma miarę \(140°:2=70°\).

Poszukiwany kąt \(DAC\) będzie różnicą między kątem \(DAB\) o mierze \(70°\) i kątem \(CAB\) o mierze \(50°\). W związku z tym:
$$|\sphericalangle DAC|=70°-50°=20°$$

C

Jeżeli średnia arytmetyczna kilku liczb jest równa \(9\), a my dopiszemy do tego zestawu kolejną liczbę \(9\), to nowa średnia arytmetyczna nie ulegnie zmianie.

Możemy to sobie pokazać nawet w bardziej matematyczny sposób. Skoro średnia arytmetyczna ośmiu liczb jest równa \(9\), to suma tych wszystkich liczb wyniesie \(8\cdot9=72\). Dopisujemy do tego zestawu \(9\), więc nowa suma jest równa \(81\). Średnia arytmetyczna nowego zestawu liczb, będzie zatem równa:
$$śr=\frac{81}{9}=9$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Nowy prostokąt \(EFGH\) będzie miał wszystkie boki dwa razy dłuższe od prostokąta \(ABCD\), więc na pewno jego obwód będzie dwukrotnie większy. Zdanie jest więc prawdą.

Jeśli ktoś nie jest przekonany, to możemy to nawet obliczyć. Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy:
$$Obw_{ABCD}=2\cdot4cm+2\cdot9cm \\
Obw_{ABCD}=8cm+18cm \\
Obw_{ABCD}=26cm$$

Prostokąt \(EFGH\) będzie mieć boki o długości \(8 cm\) oraz \(18 cm\), zatem obwód tej figury wyniesie:
$$Obw_{EFGH}=2\cdot8cm+2\cdot18cm \\
Obw_{EFGH}=16cm+36cm \\
Obw_{EFGH}=52cm$$

I teraz wyraźnie widać, że obwód prostokąta \(EFGH\) jest dwa razy większy.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Znając długości boków prostokąta \(EFGH\), możemy bez problemu obliczyć jego pole powierzchni:
$$P_{EFGH}=8cm\cdot18cm \\
P_{EFGH}=144cm^2$$

Zdanie jest więc prawdą.

C

Spójrzmy jak będą wyglądać obwody kolejnych wielokątów, tak aby dostrzec pewną prawidłowość:
\(Obw_{1}=3\cdot2=6 \\
Obw_{2}=4\cdot2=8 \\
Obw_{3}=5\cdot2=10 \\
Obw_{4}=6\cdot2=12 \\
Obw_{5}=7\cdot2=14\)

Widzimy, że gdy mamy \(x\) trójkątów, to obwód naszej figury będzie równy \((x+2)\cdot2\). Skoro więc chcemy ustalić, kiedy obwód tej figury będzie równy \(42cm\), to musimy rozwiązać następujące równanie:
$$(x+2)\cdot2=42 \\
x+2=21 \\
x=19$$

A, , C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Korzystając ze wzoru na objętość, możemy zapisać, że:
$$V_{1}=abc \\
V_{1}=5\cdot6\cdot10 \\
V_{1}=300$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Obliczmy najpierw objętość drugiego prostopadłościanu:
$$V_{2}=abc \\
V_{2}=6\cdot6\cdot10 \\
V_{2}=360$$

Różnica między objętościami tych ostrosłupów jest zatem równa:
$$V_{2}-V_{1}=360-300=60$$

B

Aby po ustawieniu tych prostopadłościanów powstał nam kolejny prostopadłościan, to musimy przyjąć, że boki o jednakowej długości (czyli \(6\) oraz \(10\)) stanowią podstawę prostopadłościanu. Tym samym powstanie nam duży prostopadłościan o wysokości \(5+6=11\).

W takim razie pole powierzchni całkowitej tej bryły będzie równe:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc \\
P_{c}=2\cdot6\cdot10+2\cdot6\cdot11+2\cdot10\cdot11 \\
P_{c}=120+132+220 \\
P_{c}=472$$

\(4\) oraz \(5\)

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Na początek uprośćmy całe wyrażenie, którym opisana jest nasza liczba \(a\). Korzystając z działań na pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$a=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{6}} \\
a=\frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{6}} \\
a=\frac{\sqrt{30\cdot4}}{\sqrt{6}} \\
a=\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{6}} \\
a=\sqrt{20}$$

Krok 2. Ustalenie między jakimi liczbami całkowitymi znajduje się nasza liczba \(a\).
Wiemy, że \(\sqrt{20}\approx4,5\), ponieważ \(4^2=16\) oraz \(5^2=25\). To oznacza, że na osi liczbowej nasza liczba \(a\) znajdzie się pomiędzy \(4\) oraz \(5\).

\(28\) harcerzy

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Zgodnie z treścią zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba harcerzy
\(\frac{1}{4}x\) - liczba zespołów czteroosobowych

Dodatkowo wiemy, że gdy liczbę harcerzy zmniejszymy o \(3\), to będziemy mogli stworzyć zespoły pięcioosobowe, zatem:
\(x-3\) - nowa liczba harcerzy
\(\frac{1}{5}\cdot(x-3)\) - liczba zespołów pięcioosobowych

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wiemy, że liczba zespołów pięcioosobowych byłaby o \(2\) większa od liczby zespołów czteroosobowych, zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{1}{4}x=\frac{1}{5}\cdot(x-3)+2 \\
\frac{1}{4}x=\frac{1}{5}x-\frac{3}{5}+2 \quad\bigg/\cdot20 \\
5x=4x-12+40 \\
x=28$$

To oznacza, że mamy \(28\) harcerzy.

\(64\frac{km}{h}\)

Krok 1. Odczytanie danych z wykresu.
Z wykresu wynika, że kierowca pokonał II odcinek drogi w czasie \(180-105=75\) minut. Droga ta miała długość \(200-120=80\) kilometrów.

Krok 2. Obliczenie prędkości pokonania odcinka.
Czas jazdy wyniósł \(75\) minut, ale chcemy wyrazić potem całość w jednostce \(\frac{km}{h}\), więc dobrze będzie od razu zamienić te minuty na godziny:
$$75\text{ min.}=1\frac{1}{4}h=\frac{5}{4}h$$

Teraz możemy przystąpić do obliczenia prędkości:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{80}{\frac{5}{4}} \\
v=80\cdot\frac{4}{5} \\
v=\frac{320}{5} \\
v=64[\frac{km}{h}]$$

\(414cm^2\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Z treści zadania wiemy, że \(V=567 cm^3\) oraz że \(H=7 cm\). W takim razie, korzystając ze wzoru na objętość, możemy obliczyć pole podstawy naszego graniastosłupa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
567cm^3=P_{p}\cdot7cm \\
P_{p}=81cm^2$$

W podstawie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego znajduje się kwadrat. Skoro jest to kwadrat o polu \(81 cm^2\), to możemy stwierdzić, że bok tego kwadratu ma długość \(9 cm\). Tym samym wiemy już, że nasz graniastosłup ma wymiary \(9cm\times9cm\times7cm\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Wiemy już, że nasz graniastosłup ma wymiary \(9cm\times9cm\times7cm\). Korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy stwierdzić, że:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc \\
P_{c}=2\cdot9\cdot9+2\cdot9\cdot7+2\cdot9\cdot7 \\
P_{c}=162+126+126 \\
P_{c}=414[cm^2]$$

\(9,6 cm\)

Krok 1. Obliczenie długości drugiej przekątnej rombu.
Przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości i to w dodatku pod kątem prostym. Skoro tak, to dorysowując drugą przekątną powstaną nam na rysunku trójkąty prostokątne o przyprostokątnej długości \(6 cm\) i przeciwprostokątnej \(10 cm\). Długość drugiej przyprostokątnej, która jest jednocześnie połową drugiej przekątnej, obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
$$6^2+x^2=10^2 \\
36+x^2=100 \\
x^2=64 \\
x=8 \quad\lor\quad x=-8$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(x=8\). I tu uwaga, to jest połowa drugiej przekątnej naszego rombu, zatem cała przekątna będzie mieć długość \(16 cm\).

Krok 2. Obliczenie pola rombu.
Korzystając z jednego ze wzorów na pole rombu, możemy stwierdzić, że romb o przekątnych o długości \(e=12 cm\) oraz \(f=16 cm\) będzie mieć powierzchnię:
$$P=\frac{e\cdot f}{2} \\
P=\frac{12\cdot16}{2} \\
P=\frac{192}{2} \\
P=96[cm^2]$$

Krok 3. Obliczenie wysokości rombu.
Teraz musimy skorzystać z drugiego wzoru na pole rombu, który uwzględnia wysokość. Wiemy, że bok rombu ma długość \(a=10 cm\), zatem możemy zapisać, że:
$$P=a\cdot h \\
96=10\cdot h \\
h=9,6[cm]$$

\(Obw=12+3\sqrt{2}\)

Krok 1. Obliczenie długości boku \(BC\).
Spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Jest to trójkąt prostokątny w którym przyprostokątne mają długość \(\sqrt{18}\). Korzystając zatem z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość boku \(BC\).
$$(\sqrt{18})^2+(\sqrt{18})^2=c^2 \\
18+18=c^2 \\
c^2=36 \\
c=6 \quad\lor\quad c=-6$$

Ujemną długość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(|BC|=6\).

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) oraz \(AD\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(ABD\). Boki \(AB\) oraz \(AD\) mają jednakową długość (możemy ją sobie nawet oznaczyć jako \(x\)), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy:
$$x^2+x^2=(\sqrt{18})^2 \\
2x^2=18 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

I tu ponownie interesuje nas jedynie dodatni wynik, zatem \(|AB|=3\) oraz \(|AD|=3\).

Krok 3. Obliczenie obwodu czworokąta \(ABCD\).
Znamy już wszystkie długości boków naszego czworokąta, zatem:
$$Obw=3+3+\sqrt{18}+6 \\
Obw=12+\sqrt{18}$$

Możemy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, bo wiemy, że \(18=9\cdot2\), zatem:
$$Obw=12+\sqrt{9\cdot2} \\
Obw=12+3\sqrt{2}$$