Próbny egzamin ósmoklasisty - Matematyka - Grudzień 2024

Poniżej znajduje się próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki (CKE – grudzień 2024). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2024

Arkusz zawiera 15 zadań zamkniętych oraz 6 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 30 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to około 100 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Poniżej zamieszczono fragment etykiety pewnego opakowania śmietany.
egzamin ósmoklasisty

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

W opakowaniu zawierającym $200 g$ tej śmietany jest $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$ dag białka.

$0,6$

$0,06$

Masa tłuszczu w dowolnej porcji tej śmietany jest $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$ razy większa od masy soli.

$12$

$120$

Zadanie 2. (1pkt) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wartość wyrażenia $5^2\cdot5^3\cdot5^5$ jest równa $(5^5)^2$

Wyrażenia $\dfrac{2^3\cdot3^3}{6}$ oraz $\left(\frac{12}{5}:\frac{2}{5}\right)^2$ mają taką samą wartość.

Zadanie 3. (1pkt) Wyrażenie $2(a-2b)-(a-b)(2-b)+b^2$ można przekształcić równoważnie do postaci:

$ab$

$ab-2b$

$b^2-2b-ab$

$b^2-6b+a-2$

$b^2+ab$

Zadanie 4. (1pkt) Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba $4$ jest mniejsza od liczby $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$.

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{2}$

Liczba $4$ jest większa od liczby $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$.

$\sqrt{2}+2$

$6-\sqrt{3}$

Zadanie 5. (1pkt) W pudełku znajdują się kule różniące się tylko kolorem: białe, czerwone i niebieskie. Kul białych jest pięć, kul czerwonych jest trzy razy więcej niż białych, a kul niebieskich jest o pięć mniej niż czerwonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{5}$

$\frac{1}{6}$

Zadanie 6. (1pkt) Dana jest nierówność $x\ge-3$. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ spełniających tę nierówność?

Zadanie 7. (1pkt) Uczniom klas ósmych zadano pytanie: Z którego portalu internetowego korzystasz najczęściej? Każdy z uczniów wskazał jeden portal. Procentowy rozkład udzielonych odpowiedzi uczniów przedstawiono na diagramie poniżej. Portal $F$ wskazało $72$ uczniów.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Portal $Y$ wskazało $40$ uczniów.

Portal $J$ wskazało o $8$ uczniów mniej niż uczniów, którzy wskazali portal $S$.

Zadanie 8. (1pkt) Dane są cztery liczby: $x, y, z, a$. Wiadomo, że $x=6$, $a=4$ oraz średnia arytmetyczna trzech liczb $x, y, z$ jest równa $12$.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Średnia arytmetyczna dwóch liczb $y$ i $z$ jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$.

$6$

$15$

Średnia arytmetyczna czterech liczb: $x, y, z, a$, jest równa $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$.

$8$

$10$

Zadanie 9. (1pkt) Prostokąt $ABCD$ podzielono prostą $EF$ na kwadrat $AEFD$ i prostokąt $EBCF$ (zobacz rysunek). Obwód prostokąta $EBCF$ jest równy $36 cm$, a długość boku $EB$ jest równa $10 cm$.
egzamin ósmoklasisty

Pole kwadratu $AEFD$ jest równe:

$8 cm^2$

$16 cm^2$

$32 cm^2$

$64 cm^2$

Zadanie 10. (1pkt) Na rysunku przedstawiono proste $a, b, c, d, e$ oraz zaznaczono miary niektórych kątów. Proste $a, b, c$ są wzajemnie równoległe. Proste $d$ i $e$ są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie $A$ leżącym na prostej $b$.
egzamin ósmoklasisty

Miara kąta $\alpha$ jest równa:

$38°$

$45°$

$52°$

$60°$

Zadanie 11. (1pkt) Dany jest romb, którego przekątne mają długość $24 cm$ i $18 cm$. Pole tego rombu jest równe:

$108 cm^2$

$216 cm^2$

$225 cm^2$

$432 cm^2$

Zadanie 12. (1pkt) Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty: $ABC$ i $KLM$, podano długości boków $AC$ i $KL$ oraz zaznaczono miary niektórych kątów.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt $KLM$ nie jest równoramienny.

Trójkąty $ABC$ i $KLM$ są przystające.

Zadanie 13. (1pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $7$. Krawędź boczna tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Objętość tego graniastosłupa jest równa:

$686$

$\frac{686}{3}$

$343$

$\frac{343}{3}$

Zadanie 14. (1pkt) Odcinkowy pomiar prędkości polega na wyznaczeniu średniej prędkości samochodu na określonym odcinku drogi. Na początku i na końcu takiego odcinka ustawiono znaki drogowe informujące o rozpoczęciu i zakończeniu pomiaru (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Samochód osobowy przejechał w $2$ minuty taki odcinek drogi o długości $3 km$. Wyznaczona prędkość tego samochodu na objętym pomiarem odcinku drogi była równa:

$40\frac{km}{h}$

$60\frac{km}{h}$

$90\frac{km}{h}$

$150\frac{km}{h}$

Zadanie 15. (1pkt) Dany jest okrąg $O$, którego średnica ma długość $20 cm$. Odcinek $AB$ ma długość $12 cm$ i jest cięciwą tego okręgu. Punkty $A$ i $B$ połączono z punktem $S$, który jest środkiem tego okręgu (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Obwód trójkąta $ASB$ jest równy $36 cm$.

Długość okręgu $O$ jest równa $20\pi cm$.

Zadanie 16. (2pkt) Na festyn wpuszczano uczestników jednym wejściem. Pierwszy wchodzący otrzymał i sok, i ciastko. Następnie co szósty wchodzący otrzymywał sok, a co dziesiąty wchodzący otrzymywał ciastko. To znaczy, że sok otrzymali wchodzący: pierwszy, siódmy, trzynasty itd. A ciastko otrzymali wchodzący: pierwszy, jedenasty, dwudziesty pierwszy itd. Na festyn przyszło $450$ osób. Oblicz, ilu uczestników tego festynu otrzymało i sok, i ciastko.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Powinniśmy dostrzec, że sok oraz ciastko otrzyma co trzydziesiąty uczestnik festynu, ponieważ $30$ jest najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb $6$ oraz $10$. Skoro pierwsza osoba otrzymała sok oraz ciastko, to następną taką osobą będzie uczestnik o numerze $31$, potem $61$ itd. Moglibyśmy nawet rozpisać, że będą to uczestnicy:
$$1, 31, 61, 91, 121, 151, 181, \\
211, 241, 271, 301, 331, 361, 391, 421$$

Takich osób będzie więc łącznie $15$.

Zadanie 17. (3pkt) Dany jest trójkąt $ABC$, w którym długości boków opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Długość boku $AC$ w tym trójkącie jest równa długości boku $BC$. Uzasadnij, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie wartości $x$.
Z treści zadania wynika, że długość boku $AC$ jest równa długości $BC$, czyli moglibyśmy zapisać następujące równanie:
$$3x-12=88-2x \\
5x=100 \\
x=20$$

Krok 2. Obliczenie długości wszystkich boków trójkąta.
Skoro już wiemy, że $x=20$, to możemy obliczyć każdą długość boku naszego trójkąta:
$$|AB|=1,5x+18 \\
|AB|=1,5\cdot20+18 \\
|AB|=30+18 \\
|AB|=48$$

$$|AC|=3x-12 \\
|AC|=3\cdot20-12 \\
|AC|=60-12 \\
|AC|=48$$

$$|BC|=88-2x \\
|BC|=88-2\cdot20 \\
|BC|=88-40 \\
|BC|=48$$

To oznacza, że każdy bok tego trójkąta ma długość $48$, czyli że jest to trójkąt równoboczny, co należało udowodnić.

Zadanie 18. (3pkt) Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny $ABCD$, w którym $|AD|=|BC|=13 cm$. Wysokość $DE$ oraz krótsza podstawa $CD$ mają długość po $12 cm$. Oblicz pole trapezu $ABCD$.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na trapez dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:
egzamin ósmoklasisty

Krok 2. Obliczenie długości odcinka $x$.
Na rysunku powstał nam trójkąt prostokątny, z którego obliczymy długość odcinka $x$ (potrzebną do obliczenia długości dolnej podstawy trapezu). Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$x^2+12^2=13^2 \\
x^2+144=169 \\
x^2=25 \\
x=5 \quad\lor\quad x=-5$$

Długość odcinka musi być dodatnia, zatem zostaje nam $x=5 cm$.

Krok 3. Obliczenie długości dolnej podstawy trapezu.
Dolna podstawa $AB$ składa się z dwóch odcinków o długości $x$ oraz odcinka o długości $12 cm$. Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$|AB|=5+12+5 \\
|AB|=22[cm]$$

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już długości obydwu podstaw, czyli $a=22 cm$ oraz $b=12 cm$, wiemy też, że wysokość to $h=12 cm$, zatem pole trapezu będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(22+12)\cdot12 \\
P=\frac{1}{2}\cdot34\cdot12 \\
P=17\cdot12 \\
P=204[cm^2]$$

Zadanie 19. (3pkt) Marek kupił w sklepie sportowym kask narciarski, buty i narty. Kask kosztował $500 zł$. Narty i kask kosztowały razem o $700 zł$ mniej niż narty i buty łącznie. Buty i kask kosztowały razem tyle co narty. Oblicz, ile kosztowały narty, a ile kosztowały buty, które kupił Marek w tym sklepie.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie ceny butów.
Z treści zadania wynika, że narty i kask kosztują razem o 700 zł mniej niż narty i buty. Jeżeli oznaczymy sobie narty jako $n$, kask jako $k$ oraz buty jako $b$ to będziemy mogli ułożyć następujące równanie:
$$n+k=n+b-700 \\
n+500=n+b-700 \\
500=b-700 \\
b=1200$$

To oznacza, że buty kosztowały $1200 zł$.

Krok 2. Obliczenie ceny nart.
Z treści zadania wynika, że buty i kast kosztują tyle samo co narty. Skoro kask kosztuje $500 zł$, a buty kosztują $1200 zł$, to cenę nart obliczymy w następujący sposób:
$$b+k=n \\
1200+500=n \\
n=1700$$

Zadanie 20. (2pkt) Na rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego oraz zapisano jeden z wymiarów tej siatki. Wysokość $H$ tego graniastosłupa jest $1,5$ razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Nasz graniastosłup ma w swojej podstawie kwadrat (bo jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny). To oznacza, że te trzy długości boków prostokąta (które opisano na rysunku łączną długością równą 18cm), będą miały jednakowe miary. Skoro tak, to każda z tych krawędzi ma długość:
$$18cm:3=6cm$$

Krok 2. Obliczenznie wysokości graniastosłupa.
Z treści zadania wiemy, że wysokość granistosłupa jest $1,5$ razy większa od długości krawędzi podstawy, zatem:
$$H=1,5\cdot6cm \\
H=9cm$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Interesuje nas pole powierzchni bocznej, czyli łączne pole tych czterech dużych prostokątów, które są bocznymi ścianami naszego graniastosłupa. Każdy taki prostokąt ma wymiary $6cm\times9cm$, zatem pole czterech takich ścian będzie równe:
$$P_{b}=4\cdot6cm\cdot9cm \\
P_{b}=216cm^2$$

Zadanie 21. (2pkt) Urządzenie do produkcji kostek lodu nalewa wodę do jednakowych foremek w kształcie sześcianu o pojemności $8 cm^3$. Wlana woda wypełnia $75\%$ pojemności każdej foremki. Z jednej foremki zostanie wyprodukowana jedna kostka lodu. Oblicz, ile kostek lodu wyprodukuje to urządzenie z $3000 cm^3$ wody.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie objętości pojedynczej kostki lodu.
Wiemy, że kostka lodu stanowi $75\%$ objętości foremki o pojemności $8 cm^3$. Czyli każda taka jedna kostka będzie mieć objętość równą:
$$0,75\cdot8cm^3=6cm^3$$

Krok 2. Obliczenie liczby wszystkich kostek lodu.
Skoro mamy $3000cm^3$ wody, a jedna kostka ma $6cm^3$, to wszystkich kostek jakie możemy wyprodukować będziemy mieć:
$$3000cm^3:6cm^3=500$$

Zdobyłeś/aś: 0/30pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki – grudzień 2024 – Odpowiedzi

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki – grudzień 2024 – PDF

Egzamin ósmoklasisty

Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Grudzień 2024

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2024