Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Grudzień 2024 – Odpowiedzi

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Skoro w \(100 g\) śmietany mamy \(3 g\) białka, to zgodnie z zasadami proporcji – w \(200 g\) tego produktu będziemy mieć \(6 g\) białka.

Musimy jeszcze ustalić ile to będzie dekagramów. Pamiętamy, że \(1 dag=10 g\), więc \(6 g\) białka to \(0,6 dag\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
W \(100 g\) mamy \(18 g\) tłuszczu i \(0,15 g\) soli. Tłuszczu jest więc \(18:0,15=120\) razy więcej.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Sprawdźmy wartość każdego z wyrażeń, zaczynając od pierwszego:
$$5^2\cdot5^3\cdot5^5=5^{2+3+5}=5^{10}$$

Drugą liczbę moglibyśmy rozpisać jako:
$$(5^5)^2=5^{5\cdot2}=5^{10}$$

Otrzymaliśmy te same wyniki, zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Podobnie jak przed chwilą, sprawdzamy najpierw wartość pierwszego wyrażenia, a potem drugiego:
$$\frac{2^3\cdot3^3}{6}=\frac{(2\cdot3)^3}{6}=\frac{6^3}{6^1}=6^{3-1}=6^2$$

I teraz drugie wyrażenie:
$$\left(\frac{12}{5}:\frac{2}{5}\right)^2=\left(\frac{12}{5}\cdot\frac{5}{2}\right)^2=6^2$$

Jedno i drugie wyrażenie doprowadziliśmy do tej samej postaci, zatem zdanie jest prawdą.

B

Upraszczając cały zapis (uwaga na znaki!), otrzymamy następującą sytuację:
$$2(a-2b)-(a-b)(2-b)+b^2= \\
=2a-4b-(2a-ab-2b+b^2)+b^2= \\
=2a-4b-2a+ab+2b-b^2+b^2= \\
=-2b+ab=ab-2b$$

B, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
\(\sqrt{2}\) to w przybliżeniu \(1,41\), natomiast \(\sqrt{3}\) to około \(1,73\). W takim razie:
\(2\sqrt{3}\approx2\cdot1,73\approx3,46\)
\(3\sqrt{2}\approx3\cdot1,41\approx4,23\)

Liczba \(4\) jest więc mniejsza od liczby \(3\sqrt{2}\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Stosując podane wcześniej przybliżenia, możemy zapisać, że:
\(\sqrt{2}+2\approx1,41+2\approx3,41\)
\(6-\sqrt{3}\approx6-1,73\approx4,27\)

Liczba \(4\) jest więc większa od liczby \(\sqrt{2}+2\).

D

Krok 1. Ustalenie liczby poszczególnych kul.
Zgodnie z informacjami z treści zadania, możemy zapisać, że:
Liczba kul białych: \(5\)
Liczba kul czerwonych: \(3\cdot5=15\)
Liczba kul niebieskich: \(15-5=10\)
Łącznie wszystkich kul jest: \(5+15+10=30\)

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest zatem równe:
$$p=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$$

C

Zwróć uwagę, że w nierówności mamy znak \(\ge\), czyli interesuje nas sytuacja, w której kropka przy liczbie \(-3\) będzie zamalowana. Tym samym liczby większe lub równe \(-3\) zostały zaznaczone na trzecim rysunku.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Portal \(F\) wskazało \(45\%\) ankietowanych i zgodnie z treścią zadania było to \(72\) uczniów. Chcemy się dowiedzieć ilu uczniów wskazało portal \(Y\), który ma \(25\%\) wskazań. Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(45\%\) ankietowanych to \(72\) uczniów
To \(5\%\) ankietowanych to \(8\) uczniów
Więc \(25\%\) ankietowanych to \(40\) uczniów

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Portal \(S\) wskazało \(15\%\) ankietowanych, natomiast portal \(J\) wskazało \(10\%\). To oznacza, że różnica wyniosła \(15\%-10\%=5\%\). Jak już ustaliliśmy w pierwszym kroku, \(5\%\) ankietowanych to dokładnie \(8\) uczniów, więc zdanie jest jak najbardziej prawdą.

B, D

Krok 1. Obliczenie wartości sumy \(y+z\).
Z treści zadania wynika, że średnia \(x, y, z\) jest równa \(12\). Wiemy, że \(x=6\), co pozwoli nam zapisać, że:
$$\frac{6+y+z}{3}=12 \\
6+y+z=36 \\
y+z=30$$

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Wiemy już, że \(y+z=30\). Średnia arytmetyczna tych dwóch liczb jest zatem równa:
$$\frac{y+z}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Wiemy, że \(x=6\), że \(y+z=30\), oraz że \(a=4\). Średnia tych czterech liczb będzie zatem równa:
$$\frac{6+30+4}{4}=\frac{40}{4}=10$$

D

Krok 1. Obliczenie długości drugiego boku prostokąta.
Jeśli obwód prostokąta wynosi \(36 cm\), a jeden z jego boków ma długość \(10 cm\), to drugi bok (\(EF\)) musi mieć długość równą:
$$2\cdot 10+2x=36 \\
20+2x=36 \\
2x=16 \\
x=8[cm]$$

Krok 2. Oblicznie pola kwadratu.
Ustaliliśmy już, że bok \(EF\) ma długość równą \(8 cm\) i tym samym (zgodnie z rysunkiem) będzie to też długość boku naszego kwadratu. W takim razie pole tej figury wyniesie:
$$P=8^2 \\
P=64[cm^2]$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W zadaniu wykorzystamy własności kątów wierzchołkowych, naprzemianległych oraz przyległych. Wprowadźmy sobie zatem do zadania następujące oznaczenia kątów i od razu zaznaczmy kluczowe kąty naprzemianległe oraz wierzchołkowe:


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\beta\).
Kąt \(\beta\) jest kątem przyległym do kąta o mierze \(142°\). Suma miar kątów przyległych jest zawsze równa \(180°\), zatem:
$$\beta+142°=180° \\
\beta=38°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Na rysunku powstał nam trójkąt w skład którego wchodzą kąty \(\alpha\), \(\beta\) oraz kąt o mierze \(90°\). Suma miar kątów w trójkącie jest zawsze równa \(180°\), zatem:
$$\alpha+38°+90°=180° \\
\alpha+128°=180° \\
\alpha=52°$$

B

Korzystając ze wzoru na pole rombu, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\
P=\frac{1}{2}\cdot24 cm\cdot18 cm \\
P=216 cm^2$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obliczmy miarę trzeciego kąta w trójkącie \(KLM\) (który możemy oznaczyć sobie jako kąt \(\alpha\)). Skoro suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi \(180°\), to moglibyśmy zapisać, że:
$$\alpha+59°+62°=180° \\
\alpha+121°=180° \\
\alpha=59°$$

To oznacza, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, co jest charakterystyczną cechą trójkątów równoramiennych. Ten trójkąt jest więc jak najbardziej równoramienny, zatem zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W jednym i drugim trójkącie mamy kąty o mierze \(59°, 59°, 62°\). Dodatkowo widzimy, że obydwa trójkąty mają jeden bok o tej samej długości równej \(7\) i jest to bok, który jest jednocześnie ramieniem trójkąta równoramiennego. Te dwa trójkąty są więc jednakowe, czyli przystające, zatem zdanie jest prawdą.

A

Krok 1. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że krawędź boczna (czyli wysokość graniastosłupa) jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Możemy więc zapisać, że:
$$H=2\cdot7 \\
H=14$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wiemy, że jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, czyli będzie miał on w swojej podstawie kwadrat o boku 7, no i wiemy też już, że wysokość tej bryły wynosi 14. Objętość będzie zatem równa:
$$V=a\cdot b\cdot c \\
V=7\cdot7\cdot14 \\
V=686$$

C

Krok 1. Ujednolicenie jednostek.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\). Wiemy, że \(s=3km\) oraz że \(t=2min\). Skoro jednak chcemy, by końcowa odpowiedź była podana w \(\frac{km}{h}\), to dobrze byłoby od razu zamienić minuty na godziny. Jedna godzina to \(60\) minut, więc \(2\) minuty to \(\frac{2}{60}h\) czyli po skróceniu \(t=\frac{1}{30}h\).

Krok 2. Obliczenie prędkości.
Podstawiając znane dane do wzoru na prędkość, otrzymamy:
$$v=\frac{3km}{\frac{1}{30}h} \\
v=3km:\frac{1}{30}h \\
v=3km\cdot30\frac{1}{h} \\
v=90\frac{km}{h}$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skoro średnica okręgu ma długość \(20 cm\), to tym samym promień będzie miał długość \(r=10 cm\). Boki \(AS\) oraz \(BS\) naszego trójkąta są właśnie promieniami okręgu, zatem skoro odcinek \(AB\) ma długość \(12 cm\), to obwód tego trójkąta będzie równy:
$$Obw=12cm+10cm+10cm \\
Obw=32cm$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Okrąg o promieniu \(r=10 cm\) będzie miał obwód równy:
$$Obw=2\pi r \\
Obw=2\pi\cdot 10cm \\
Obw=20\pi cm$$

Zdanie jest więc prawdą.

\(15\) osób.

Powinniśmy dostrzec, że sok oraz ciastko otrzyma co trzydziesiąty uczestnik festynu, ponieważ \(30\) jest najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb \(6\) oraz \(10\). Skoro pierwsza osoba otrzymała sok oraz ciastko, to następną taką osobą będzie uczestnik o numerze \(31\), potem \(61\) itd. Moglibyśmy nawet rozpisać, że będą to uczestnicy:
$$1, 31, 61, 91, 121, 151, 181, \\
211, 241, 271, 301, 331, 361, 391, 421$$

Takich osób będzie więc łącznie \(15\).

Udowodniono obliczając długości wszystkich boków.

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Z treści zadania wynika, że długość boku \(AC\) jest równa długości \(BC\), czyli moglibyśmy zapisać następujące równanie:
$$3x-12=88-2x \\
5x=100 \\
x=20$$

Krok 2. Obliczenie długości wszystkich boków trójkąta.
Skoro już wiemy, że \(x=20\), to możemy obliczyć każdą długość boku naszego trójkąta:
$$|AB|=1,5x+18 \\
|AB|=1,5\cdot20+18 \\
|AB|=30+18 \\
|AB|=48$$

$$|AC|=3x-12 \\
|AC|=3\cdot20-12 \\
|AC|=60-12 \\
|AC|=48$$

$$|BC|=88-2x \\
|BC|=88-2\cdot20 \\
|BC|=88-40 \\
|BC|=48$$

To oznacza, że każdy bok tego trójkąta ma długość \(48\), czyli że jest to trójkąt równoboczny, co należało udowodnić.

\(P=204 cm^2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na trapez dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(x\).
Na rysunku powstał nam trójkąt prostokątny, z którego obliczymy długość odcinka \(x\) (potrzebną do obliczenia długości dolnej podstawy trapezu). Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$x^2+12^2=13^2 \\
x^2+144=169 \\
x^2=25 \\
x=5 \quad\lor\quad x=-5$$

Długość odcinka musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(x=5 cm\).

Krok 3. Obliczenie długości dolnej podstawy trapezu.
Dolna podstawa \(AB\) składa się z dwóch odcinków o długości \(x\) oraz odcinka o długości \(12 cm\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$|AB|=5+12+5 \\
|AB|=22[cm]$$

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już długości obydwu podstaw, czyli \(a=22 cm\) oraz \(b=12 cm\), wiemy też, że wysokość to \(h=12 cm\), zatem pole trapezu będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(22+12)\cdot12 \\
P=\frac{1}{2}\cdot34\cdot12 \\
P=17\cdot12 \\
P=204[cm^2]$$

Narty kosztują \(1700 zł\), a buty kosztują \(1200 zł\).

Krok 1. Obliczenie ceny butów.
Z treści zadania wynika, że narty i kask kosztują razem o 700 zł mniej niż narty i buty. Jeżeli oznaczymy sobie narty jako \(n\), kask jako \(k\) oraz buty jako \(b\) to będziemy mogli ułożyć następujące równanie:
$$n+k=n+b-700 \\
n+500=n+b-700 \\
500=b-700 \\
b=1200$$

To oznacza, że buty kosztowały \(1200 zł\).

Krok 2. Obliczenie ceny nart.
Z treści zadania wynika, że buty i kast kosztują tyle samo co narty. Skoro kask kosztuje \(500 zł\), a buty kosztują \(1200 zł\), to cenę nart obliczymy w następujący sposób:
$$b+k=n \\
1200+500=n \\
n=1700$$

\(P_{b}=216cm^2\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Nasz graniastosłup ma w swojej podstawie kwadrat (bo jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny). To oznacza, że te trzy długości boków prostokąta (które opisano na rysunku łączną długością równą 18cm), będą miały jednakowe miary. Skoro tak, to każda z tych krawędzi ma długość:
$$18cm:3=6cm$$

Krok 2. Obliczenznie wysokości graniastosłupa.
Z treści zadania wiemy, że wysokość granistosłupa jest \(1,5\) razy większa od długości krawędzi podstawy, zatem:
$$H=1,5\cdot6cm \\
H=9cm$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Interesuje nas pole powierzchni bocznej, czyli łączne pole tych czterech dużych prostokątów, które są bocznymi ścianami naszego graniastosłupa. Każdy taki prostokąt ma wymiary \(6cm\times9cm\), zatem pole czterech takich ścian będzie równe:
$$P_{b}=4\cdot6cm\cdot9cm \\
P_{b}=216cm^2$$

\(500\) kostek lodu.

Krok 1. Obliczenie objętości pojedynczej kostki lodu.
Wiemy, że kostka lodu stanowi \(75\%\) objętości foremki o pojemności \(8 cm^3\). Czyli każda taka jedna kostka będzie mieć objętość równą:
$$0,75\cdot8cm^3=6cm^3$$

Krok 2. Obliczenie liczby wszystkich kostek lodu.
Skoro mamy \(3000cm^3\) wody, a jedna kostka ma \(6cm^3\), to wszystkich kostek jakie możemy wyprodukować będziemy mieć:
$$3000cm^3:6cm^3=500$$