Pozostałe równania – zadania maturalne

B

$$x^2(x+1)=x^2-8 \\
x^3+x^2=x^2-8 \\
x^3=-8 \\
x=-2$$

A

Równanie jest przedstawione w formie iloczynowej, tak więc aby całość była równa zero, to tak naprawdę wyrażenie w którymś z nawiasów musi być równe zero:
$$(x+5)(x-3)(x^2+1)=0 \\
x+5=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \\
x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$

Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba podniesiona do kwadratu, która dałaby wynik ujemny, to z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że to całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-5\) oraz \(x=3\).

\(x=0\)

Krok 1. Wypisanie rozwiązań równania.
Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby wyznaczyć jego rozwiązania musimy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera:
$$x(x^2-2x+3)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2-2x+3=0$$

Krok 2. Obliczenie powstałej równości kwadratowej za pomocą delty.
Aby poznać rozwiązania z drugiej części naszego równania \((x^2-2x+3=0)\) musimy skorzystać z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Skoro delta wyszła nam ujemna, to znaczy że z tej części równania nie mamy żadnych rozwiązań. Nie oznacza to jednak, że całe równanie nie ma rozwiązań, bo rozwiązanie \(x=0\) obliczone w pierwszym kroku jest nadal aktualne i jest to jednocześnie jedyne rozwiązanie naszego równania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że rozwiązaniem równania jest \(x=0\) (patrz: Krok 1.), ale nie rozwiążesz równania kwadratowego lub nie zinterpretujesz otrzymanej ujemnej delty.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\)

Krok 1. Zapisanie odpowiednich równań.
Aby równanie dało wynik równy zero, to "wyzerować" je musi albo pierwszy, albo drugi nawias. To oznacza, że:
$$4-x=0 \quad\lor\quad x^2+2x-15=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Powstały nam dwie równania, które musimy rozwiązać. Pierwsze równanie jest proste:
$$4-x=0 \\
x=4$$

Aby rozwiązać drugie równanie posłużymy się tzw. metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Rozwiązaniami naszego całego równania są więc trzy liczby: \(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz zapis na dwa równania \(4-x=0\) oraz \(x^2+2x-15=0\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że tylko jedno z rozwiązań.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Wskazanie rozwiązań równania.
Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem:
$$(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0 \\
x-8=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \\
x=8 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-16$$

Równanie \(x^2=-16\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje żadna taka liczba rzeczywista, która mogłaby je spełniać.

Krok 2. Obliczenie pożądanej sumy dwóch liczb.
Najmniejszą liczbą będącą rozwiązaniem tego równania jest \(-2\), największą jest \(8\), zatem suma tych dwóch liczb jest równa: \(-2+8=6\).

D

Krok 1. Zapisanie założeń do naszego równania.
Mianownik musi być różny od zera, więc:
$$7x+1\neq0 \\
7x\neq-1 \\
x\neq-\frac{1}{7}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Najprościej będzie tu zastosować tzw. "mnożenie na krzyż".
$$(3x-1)\cdot5=2\cdot(7x+1) \\
15x-5=14x+2 \\
x=7$$

Krok 3. Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązanie jest zgodne z naszymi założeniami.
\(x=7\) jest zgodne z naszym założeniem, więc jest to poprawne rozwiązanie.

B

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego iż w mianowniku nie może znaleźć się liczba zero, to musimy napisać założenia do naszego równania:
$$3-x\neq0 \\
x\neq3$$

Gdyby wśród obliczonych rozwiązań tego równania pojawiła się liczba \(3\), to zgodnie z założeniami musielibyśmy ją odrzucić.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
To równanie najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż, dzięki czemu otrzymamy:
$$(2x-4)\cdot3=(3-x)\cdot4 \\
6x-12=12-4x \\
10x-12=12 \\
10x=24 \\
x=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$$

B

Najprościej jest rozwiązać to zadanie wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zwłaszcza że będziemy mogli zastosować tutaj wzory skróconego mnożenia.
$$5\cdot m=(5-\sqrt{5})\cdot(5+\sqrt{5}) \\
5m=5^2-(\sqrt{5})^2 \\
5m=25-5 \\
5m=20 \\
m=4$$

A

Aby sprawdzić ile rozwiązań ma dane równanie spróbujmy je rozwiązać tradycyjnymi metodami:
$$\frac{3x-1}{x+5}=3 \quad\bigg/\cdot(x+5) \\
3x-1=3\cdot(x+5) \\
3x-1=3x+15 \\
-1=15$$

Otrzymaliśmy sprzeczność, a to oznacza, że to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

D

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Musimy zapisać założenia wynikające z tego, że mianownik nie może być równy \(0\) (bo nie można dzielić przez \(0\)). Zatem \(x\neq-1\). To wbrew pozorom ważny krok, bo choć akurat w przypadku tego zadania nie wpłynie on na wynik, to czasem może on wpłynąć na ostateczny wynik.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
$$\frac{x-1}{x+1}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+1) \\
x-1=(x-1)\cdot(x+1) \\
x-1=x^2-1^2 \\
x-1=x^2-1 \\
x^2-x=0 \\
x(x-1)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=1$$

To oznacza, że równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).

C

Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
To dość ważny krok, bo może się zdarzyć sytuacja, w której niektóre rozwiązania będziemy musieli odrzucić ze względu na założenia. W tym przypadku konieczność wprowadzenia założeń wynika z tego, że wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. Zatem:
$$(x-4)(x+4)\neq0 \\
x-4\neq0 \quad\land\quad x+4\neq0 \\
x\neq4 \quad\land\quad x\neq-4$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
W tego typu równaniach wymiernych aby wartość ich była równa zero to licznik musi być równy zero, zatem:
$$x^2-4=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami, tak więc to równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

A

Krok 1. Zapisanie odpowiednich założeń do zadania.
Wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo dzielenie przez zero w matematyce nie występuje. Stąd też pierwszym krokiem jaki należy uczynić jest zapisanie założenia, że \(x-6\neq0\), czyli \(x\neq6\).
Zapisanie założeń jest ważne, bo czasem zachodzi konieczność odrzucenia jakiegoś rozwiązania ze względu na to założenie.

Krok 2. Sprawdzenie dla jakich liczb wartość licznika jest równa \(0\).
Aby wynik działania był równy \(0\) to wartość licznika musi być równa \(0\) (i jest to jedyna możliwość, bo wartość mianownika na pewno musi być różna od zera). Stąd też:
$$x^2+36=0 \\
x^2=-36$$

Niestety nie istnieje jakakolwiek liczba, która byłaby rozwiązaniem tego równania, bo nie ma takiej liczby rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu da nam ujemny wynik. To oznacza, że równanie nie ma rozwiązań.

\(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=4\)

Krok 1. Wymnożenie na krzyż poszczególnych wartości.
Rozwiązywanie równania najprościej jest chyba zacząć od mnożenia na krzyż, choć jeśli wolimy to możemy standardowo wymnożyć obie strony najpierw przez \(x\), a potem przez \(2x-4\). Finalnie dojdziemy do tego samego:
$$(2x-4)\cdot(2x-4)=x\cdot x \\
(2x-4)^2=x^2 \\
4x^2-16x+16=x^2 \\
3x^2-16x+16=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-16,\;c=16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=256-192=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-16)-8}{2\cdot3}=\frac{16-8}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-16)+8}{2\cdot3}=\frac{16+8}{6}=\frac{24}{6}=4$$

Z racji tego, iż żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami z treści zadania, to obydwa są poprawne. To równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz to równanie do postaci równania kwadratowego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1\)

Krok 1. Wymnożenie wyrazów "na krzyż".
Rozwiązywanie tego typu równań najprościej jest rozpocząć od wymnażania na krzyż, zatem:
$$\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1} \\
(2x+1)\cdot(x+1)=(2x)\cdot(2x+1)$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz możemy rozwiązać to równanie na dwa sposoby:
I sposób: Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą i jednocześnie dostrzegając, że całość da się zapisać w postaci iloczynowej.
Otrzymamy wtedy:
$$(2x+1)\cdot(x+1)-(2x)\cdot(2x+1)=0 \\
(2x+1)(x+1-2x)=0 \\
(2x+1)(-x+1)=0 \\
2x+1=0 \quad\lor\quad -x+1=0 \\
x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$

II sposób: Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy i rozwiązując powstałe równanie kwadratowe.
$$2x^2+2x+x+1=4x^2+2x \\
-2x^2+x+1=0$$

Współczynniki: \(a=-2,\;b=1,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=1+8=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Sprawdzenie, czy rozwiązania nie wykluczają się z założeniami.
Na koniec jeszcze sprawdzamy, czy nasze rozwiązania nie wykluczają się z założeniami z treści zadania. To wbrew pozorom ważny punkt, bo czasem może być tak, że dane rozwiązanie trzeba będzie odrzucić. W naszym przypadku niczego odrzucać nie musimy, tak więc ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:
$$x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz to równanie w postaci iloczynowej typu \((2x+1)(-x+1)=0\) (patrz: I sposób, Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz to równanie w postaci \(-2x^2+x+1=0\) (patrz: II sposób, Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiązując to zadanie podzielisz obie strony równania przez \(2x+1\) i nie zapiszesz warunku, że \(2x+1\neq0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\)

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Rozwiązanie tego równania najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \((x-1)\). Możemy to zrobić, bo wiemy że \(x\neq1\), zatem:
$$\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4 \quad\bigg/\cdot(x-1) \\
x(x+1)=(5x-4)\cdot(x-1) \\
x^2+x=5x^2-5x-4x+4 \\
4x^2-10x+4=0 \quad\bigg/:2 \\
2x^2-5x+2=0$$

W ostatnim kroku zostało wykonane dzielenie przez \(2\), tak aby uprościć zapis i by wykonywać działania na mniejszych liczbach. Nie jest to działanie niezbędne do otrzymania prawidłowego wyniku.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to równanie do postaci równania kwadratowego \(2x^2-5x+2=0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.