Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10m\) (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\) metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.

matura z matematyki



Oblicz wymiary \(x\) i \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że długość płotu wynosi \(580m\). Jak spojrzymy na rysunek, to zauważymy, że ten płot musi znaleźć się na trzech odcinkach o długości \(x\) (dwie granice zewnętrzne oraz wewnętrzna) oraz na czterech odcinkach o długości \(y\), które są pomniejszone dwukrotnie o \(10m\). To oznacza, że możemy zapisać następujące równanie:
$$3x+4y-20=580 \\
3x+4y=600$$

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru \(P=ab\), co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot2y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość \(y\) z równania \(3x+4y=600\).
$$3x+4y=600 \\
4y=600-3x \\
y=150-\frac{3}{4}x$$

Podstawiając teraz \(y=150-\frac{3}{4}x\) do równania \(P=x\cdot2y\) otrzymamy:
$$P=x\cdot2\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=2x\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=300x-\frac{6}{4}x^2 \\
P=-\frac{6}{4}x^2+300x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem \(-\frac{6}{4}x^2+300x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)).

Od razu możemy też zapisać, że \(x\gt0\) oraz \(y\gt10\), bo sama brama ma \(10m\). Tym samym skoro \(y=150-\frac{3}{4}x\), to otrzymamy założenie, że \(150-\frac{3}{4}x\gt10\), co po rozwiązaniu tej nierówności da \(x\lt\frac{560}{3}\). Dzięki temu możemy stwierdzić, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in\left(0;\frac{560}{3}\right)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{6}{4}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):
matura z matematyki

Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-300}{2\cdot\left(-\frac{6}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-300}{-3} \\
x_{W}=100$$

Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=100\), a otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie. Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość \(y\). Skoro tak, to wracamy do równania \(y=150-\frac{3}{4}x\) i podstawiając teraz \(x=100\), otrzymamy:
$$y=150-\frac{3}{4}x \\
y=150-\frac{3}{4}\cdot100 \\
y=150-75 \\
y=75$$

To oznacza, że powierzchnia magazynu będzie największa wtedy, gdy \(x=100\) oraz \(y=75\).

Odpowiedź

\(x=100\) oraz \(y=75\)

2 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Sylwia

Czy w tym zadaniu musi być podana dziedzina?