Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości $10m$ (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie $580$ metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.

Oblicz wymiary $x$ i $y$ każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że długość płotu wynosi $580m$. Jak spojrzymy na rysunek, to zauważymy, że ten płot musi znaleźć się na trzech odcinkach o długości $x$ (dwie granice zewnętrzne oraz wewnętrzna) oraz na czterech odcinkach o długości $y$, które są pomniejszone dwukrotnie o $10m$. To oznacza, że możemy zapisać następujące równanie:
$$3x+4y-20=580 \\
3x+4y=600$$

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru $P=ab$, co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot2y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji $P(x)$.
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną $x$. Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość $y$ z równania $3x+4y=600$.
$$3x+4y=600 \\
4y=600-3x \\
y=150-\frac{3}{4}x$$

Podstawiając teraz $y=150-\frac{3}{4}x$ do równania $P=x\cdot2y$ otrzymamy:
$$P=x\cdot2\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=2x\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=300x-\frac{6}{4}x^2 \\
P=-\frac{6}{4}x^2+300x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem $-\frac{6}{4}x^2+300x$. Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości $x$ otrzymamy konkretną wartość $P$).

Od razu możemy też zapisać, że $x\gt0$ oraz $y\gt10$, bo sama brama ma $10m$. Tym samym skoro $y=150-\frac{3}{4}x$, to otrzymamy założenie, że $150-\frac{3}{4}x\gt10$, co po rozwiązaniu tej nierówności da $x\lt\frac{560}{3}$. Dzięki temu możemy stwierdzić, że dziedziną tej funkcji będzie $x\in\left(0;\frac{560}{3}\right)$.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik $a=-\frac{6}{4}$). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy $y$, tylko pole $P$):
matura z matematyki

Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego $x$ to pole $P$ będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości $x$ ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną $x_{W}$ wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-300}{2\cdot\left(-\frac{6}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-300}{-3} \\
x_{W}=100$$

Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy $x=100$, a otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie. Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru $q=\frac{-Δ}{4a}$, ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość $y$. Skoro tak, to wracamy do równania $y=150-\frac{3}{4}x$ i podstawiając teraz $x=100$, otrzymamy:
$$y=150-\frac{3}{4}x \\
y=150-\frac{3}{4}\cdot100 \\
y=150-75 \\
y=75$$

To oznacza, że powierzchnia magazynu będzie największa wtedy, gdy $x=100$ oraz $y=75$.

Odpowiedź

$x=100$ oraz $y=75$