Potęgi - zadania (egzamin ósmoklasisty)
Zadanie 3. (1pkt) Dane są liczby:
\(a=(-2)^{12} \\
b=(-2)^{11} \\
c=(-2)^{10}\)
Liczby te uporządkowane od najmniejszej do największej to:
Wyjaśnienie:
Zadanie jest dość podchwytliwe. Wbrew pozorom wcale nie musi być tak, że liczba podniesiona do najmniejszej z potęg będzie najmniejsza.
Krok 1. Ustalenie czy dana liczba jest dodatnia, czy ujemna.
Do potęg podniesione zostały liczby ujemne, dokładnie jest to \(-2\). Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi parzystej, to wynik potęgowania jest dodatni. Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi nieparzystej, to wynik potęgowania jest ujemny. Z tej reguły wynika, że:
$$a=(-2)^{12} \rightarrow \text{jest dodatnie} \\
b=(-2)^{11} \rightarrow \text{jest ujemne} \\
c=(-2)^{10} \rightarrow \text{jest dodatnie}$$
I już na podstawie tej prostej analizy widzimy, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), a to oznacza, że na pewno prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź ostatnia, bo tylko tam liczba \(b\) została wypisana na pierwszym miejscu.
Krok 2. Ustalenie która liczba jest większa.
Załóżmy jednak w ramach ćwiczeń, że musimy jeszcze samodzielnie ustalić czy to liczba \(a\) czy \(c\) jest największa, a tym samym musimy samodzielnie ustalić uporządkowanie tych liczb od najmniejszej do największej. Tutaj już żadnej pułapki nie ma, bowiem \(a=(-2)^{12}\) jest większe od \(c=(-2)^{10}\), gdyż im większa potęga parzysta, tym większa liczba wyjdzie z potęgowania.
Na podstawie analizy z kroku pierwszego i drugiego wiemy już, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), największą jest \(a=(-2)^{12}\), a pomiędzy nimi będzie \(c=(-2)^{10}\).
Zadanie 5. (1pkt) Poniżej podano kilka kolejnych potęg liczby \(7\).
$$7^1=7 \\
7^2=49 \\
7^3=343 \\
7^4=2401 \\
7^5=16\;807 \\
7^6=117\;649 \\
7^7=823\;543 \\
7^8=5\;764\;801 \\
7^9=40\;353\;607 \\
...$$
Cyfrą jedności liczby \(7^{190}\) jest:
Wyjaśnienie:
Cyfra jedności to ostatnia cyfra w liczbie. Należy zauważyć, że cyfry jedności poszczególnych potęg układają się w bardzo charakterystycznym ciągu cyfr. Gdybyśmy wypisali po kolei ostatnie cyfry z powyższych liczb, to otrzymalibyśmy ciąg:
$$\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry},\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry}...$$
Co cztery liczby nasz ciąg cyfr jedności się powtarza, a skoro tak, to możemy sprawdzić ile takich powtórzeń się przytrafi:
$$190:4=47 r.2$$
Nasz ciąg powtórzy się zatem \(47\) razy. Reszta tego ciągu mówi nam o tym która cyfra jest przez nas poszukiwana. Skoro reszta wyszła równa \(2\), to interesuje nas druga cyfra tego ciągu. Drugą cyfrą jest \(9\), więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.
Zadanie 6. (1pkt) Dane są liczby:
I. \(25^{41}\)
II. \(125^{41}\)
III. \(2^{862}\)
IV. \(5^{431}\)
Która z tych liczb jest największa?
Wyjaśnienie:
Aby ustalić która z liczb jest największa musimy sprowadzić liczby albo do wspólnego wykładnika potęgi, albo wspólnej podstawy potęgi. Generalnie wszystkie liczby poza trzecią możemy sprowadzić do podstawy równej \(5\). Trzecią liczbę możemy natomiast porównać z czwartą, sprowadzając je do wspólnego wykładniki potęgi.
Krok 1. Porównanie trzeciej i czwartej liczby.
Trzecia liczba jest równa:
$$2^{862}=4^{431}$$
To oznacza, że czwarta liczba, czyli \(5^{431}\), jest na pewno większa od liczby trzeciej. Wiemy to, bo udało nam się sprowadzić obydwie te liczby do wspólnego wykładnika potęgi równego \(431\), więc większa będzie ta liczba, która ma większą podstawę potęgi.
Krok 2. Porównanie pierwsze, drugiej i czwartej liczby.
Wiemy już, że druga liczba na pewno nie jest największa. Pozostałe trzy liczby możemy sprowadzić do wspólnej podstawy potęgi:
$$25^{41}=5^{82} \\
125^{41}=5^{123} \\
5^{431}$$
Widzimy więc wyraźnie, że zdecydowanie największa będzie liczba \(5^{431}\), bo przy wspólnej podstawie ma ona największy wykładnik potęgi.
Zadanie 7. (1pkt) Oceń prawdziwość podanych zdań.
Liczba \(7^{16}\) jest \(7\) razy większa od liczby \(7^{15}\)
\((-1)^{12}+(-1)^{13}+(-1)^{14}+(-1)^{15}+(-1)^{16}=0\)
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Możemy to udowodnić w bardzo prosty sposób wykorzystując działania na potęgach:
$$7^{16}=7^{1+15}=7\cdot7^{15}$$
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo wynik tego działania będzie równy \(1\), a nie \(0\).
Liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, natomiast podniesiona do potęgi ujemnej daje wynik ujemny. W związku z tym z naszego działania otrzymamy:
$$1+(-1)+1+(-1)+1=3-2=1$$
Zadanie 8. (1pkt) Dane są dwie liczby: \(a=8^5\), \(b=4^5\).
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Iloczyn \(a\cdot b\) jest równy \(32^{10}\)
Iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy \(2^5\)
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$a\cdot b=8^5\cdot4^5=(2^3)^5\cdot(2^2)^5=2^{15}\cdot2^{10}=2^{25}$$
To oznacza, że pierwsze zdanie jest fałszywe.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
$$\frac{a}{b}=\frac{8^5}{4^5}=\frac{(2^3)^5}{(2^2)^5}=\frac{2^{15}}{2^{10}}=2^5$$
To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.
nie można zaznaczyć ;(
Zgadza się, bo to tylko zbiór zadań, czyli taki przegląd tego czego można się spodziewać z potęg na egzaminie ósmoklasisty ;)
w zadaniu 5 w wytłumaczeniu i w odpowiedzi jest błąd
Wszystko jest moim zdaniem dobrze ;) Na czym ma polegać ten błąd?
Wszystko jest dobrze. Dla pewności sprawdziłem w napisanym przeze mnie prostym programie i też wychodzi, że cyfrą jedności 7 do potęgi 190 jest 9.
w sumie to się przydaje
Fajne zadanka, szkoda tylko, że nie ma miejsca na swoje zapiski – byłoby to duże ułatwienie przy rozwiązywaniu.
Dobrze jest mieć po prostu jakiś zeszyt na rozwiązywanie tych przykładów :)
Od czego masz kartkę xD
Bardzo fajne zadania. Ja polecam
Wspaniałe zadania! Dziękuję za pomoc :)
Naprawdę dziękuję za te zadania, dobrze się uczę, ale mam pewne braki, gdyby nie ta strona, mogłabym stracić kilka punktów na egzaminie