Potęgi – zadania (egzamin ósmoklasisty)

B

Zapis odległości został przedstawiony w postaci tak zwanej notacji wykładniczej. Naszym zadaniem jest tak naprawdę zamiana tej notacji na pełną liczbę:
$$2,28\cdot10^{8}km=2,28\cdot100\;000\;000km=228\;000\;000km$$

A

Krok 1. Ustalenie wartości licznika.
Musimy ustalić jaka jest wartość naszego licznika. Nie mamy specjalnych wzorów na dodawanie potęg (odpowiednie wzory są jedynie na mnożenie i dzielenie potęg, kiedy to dodajemy lub odejmujemy wykładniki), ale widzimy że dodawana jest trzykrotnie ta sama wartość, czyli \(3^2\). Zawartość licznika możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$3^2+3^2+3^2=3\cdot3^2=3^1\cdot3^2=3^{1+2}=3^3$$

Krok 2. Obliczenie wartości całej liczby.
Skoro w liczniku mamy \(3^3\) oraz w mianowniku mamy także \(3^3\), to powstał nam ułamek, którego wartość jest równa \(1\):
$$\frac{3^3}{3^3}=1$$

Jedynkę osiągniemy podnosząc dowolną liczbę do potęgi zerowej, zatem prawidłowa będzie odpowiedź pierwsza.

D

Zadanie jest dość podchwytliwe. Wbrew pozorom wcale nie musi być tak, że liczba podniesiona do najmniejszej z potęg będzie najmniejsza.

Krok 1. Ustalenie czy dana liczba jest dodatnia, czy ujemna.
Do potęg podniesione zostały liczby ujemne, dokładnie jest to \(-2\). Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi parzystej, to wynik potęgowania jest dodatni. Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi nieparzystej, to wynik potęgowania jest ujemny. Z tej reguły wynika, że:
$$a=(-2)^{12} \rightarrow \text{jest dodatnie} \\
b=(-2)^{11} \rightarrow \text{jest ujemne} \\
c=(-2)^{10} \rightarrow \text{jest dodatnie}$$

I już na podstawie tej prostej analizy widzimy, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), a to oznacza, że na pewno prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź ostatnia, bo tylko tam liczba \(b\) została wypisana na pierwszym miejscu.

Krok 2. Ustalenie która liczba jest większa.
Załóżmy jednak w ramach ćwiczeń, że musimy jeszcze samodzielnie ustalić czy to liczba \(a\) czy \(c\) jest największa, a tym samym musimy samodzielnie ustalić uporządkowanie tych liczb od najmniejszej do największej. Tutaj już żadnej pułapki nie ma, bowiem \(a=(-2)^{12}\) jest większe od \(c=(-2)^{10}\), gdyż im większa potęga parzysta, tym większa liczba wyjdzie z potęgowania.

Na podstawie analizy z kroku pierwszego i drugiego wiemy już, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), największą jest \(a=(-2)^{12}\), a pomiędzy nimi będzie \(c=(-2)^{10}\).

B

Iloczyn to mnożenie, zatem musimy wykonać następujące działanie:
$$3\cdot3^4\cdot3^{12}=3^1\cdot3^4\cdot3^{12}=3^{1+4+12}=3^{17}$$

D

Cyfra jedności to ostatnia cyfra w liczbie. Należy zauważyć, że cyfry jedności poszczególnych potęg układają się w bardzo charakterystycznym ciągu cyfr. Gdybyśmy wypisali po kolei ostatnie cyfry z powyższych liczb, to otrzymalibyśmy ciąg:
$$\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry},\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry}...$$

Co cztery liczby nasz ciąg cyfr jedności się powtarza, a skoro tak, to możemy sprawdzić ile takich powtórzeń się przytrafi:
$$190:4=47 r.2$$

Nasz ciąg powtórzy się zatem \(47\) razy. Reszta tego ciągu mówi nam o tym która cyfra jest przez nas poszukiwana. Skoro reszta wyszła równa \(2\), to interesuje nas druga cyfra tego ciągu. Drugą cyfrą jest \(9\), więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

D

Aby ustalić która z liczb jest największa musimy sprowadzić liczby albo do wspólnego wykładnika potęgi, albo wspólnej podstawy potęgi. Generalnie wszystkie liczby poza trzecią możemy sprowadzić do podstawy równej \(5\). Trzecią liczbę możemy natomiast porównać z czwartą, sprowadzając je do wspólnego wykładniki potęgi.

Krok 1. Porównanie trzeciej i czwartej liczby.
Trzecia liczba jest równa:
$$2^{862}=4^{431}$$

To oznacza, że czwarta liczba, czyli \(5^{431}\), jest na pewno większa od liczby trzeciej. Wiemy to, bo udało nam się sprowadzić obydwie te liczby do wspólnego wykładnika potęgi równego \(431\), więc większa będzie ta liczba, która ma większą podstawę potęgi.

Krok 2. Porównanie pierwsze, drugiej i czwartej liczby.
Wiemy już, że druga liczba na pewno nie jest największa. Pozostałe trzy liczby możemy sprowadzić do wspólnej podstawy potęgi:
$$25^{41}=5^{82} \\
125^{41}=5^{123} \\
5^{431}$$

Widzimy więc wyraźnie, że zdecydowanie największa będzie liczba \(5^{431}\), bo przy wspólnej podstawie ma ona największy wykładnik potęgi.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Możemy to udowodnić w bardzo prosty sposób wykorzystując działania na potęgach:
$$7^{16}=7^{1+15}=7\cdot7^{15}$$

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo wynik tego działania będzie równy \(1\), a nie \(0\).
Liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, natomiast podniesiona do potęgi ujemnej daje wynik ujemny. W związku z tym z naszego działania otrzymamy:
$$1+(-1)+1+(-1)+1=3-2=1$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$a\cdot b=8^5\cdot4^5=(2^3)^5\cdot(2^2)^5=2^{15}\cdot2^{10}=2^{25}$$

To oznacza, że pierwsze zdanie jest fałszywe.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
$$\frac{a}{b}=\frac{8^5}{4^5}=\frac{(2^3)^5}{(2^2)^5}=\frac{2^{15}}{2^{10}}=2^5$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

A

Chcąc obliczyć wartość \(0,25\) mola wystarczy wymnożyć przybliżenie podane w treści zadania przez \(0,25\) (czyli przez \(\frac{1}{4}\)). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{1}{4}\cdot6\cdot10^{23}=1,5\cdot10^{23}$$

D

We wszystkich odpowiedziach mamy \(4,1868\) pomnożone przez \(10\) do danej potęgi, więc i my musimy dopasować się do tych odpowiedzi. Możemy to zapisać w następujący sposób:
$$1MJ=1\;000\;000J=1\cdot10^6J \\
41\;868 MJ=41\;868\cdot10^6J=4,1868\cdot10^{10}$$