Potęgi – zadania (egzamin ósmoklasisty)

B

Gdyby dwójka była mnożona przez siebie szesnaście razy, to prawidłową odpowiedzią byłoby \(2^{16}\). Tutaj nie mamy jednak mnożenia, tylko dodawanie i to jest największa pułapka w tym zadaniu.

Dodanie do siebie szesnaście razy liczby \(2\) daje wynik:
$$16\cdot2=32$$

Taki wynik otrzymamy tylko podczas potęgowania \(2^5\), bo to także jest \(32\) i dlatego jest to nasza poszukiwana odpowiedź.

To zadanie można też rozpisać wykorzystując działania na potęgach:
$$16\cdot2=2^4\cdot2^1=2^{4+1}=2^5$$

D

Krok 1. Ustalenie wartości liczbowych na widocznej stronie pierwszego i drugiego żetonu.
Ustalmy najpierw jaka jest wartość liczbowa na stronach żetonów, które widzimy na rysunku.

Pierwszy żeton jest bardzo podchwytliwy, bowiem \(-5^2\) jest równe \(-25\). Dlaczego akurat tyle? Tutaj warto zauważyć, że do potęgi podnoszona jest jedynie piątka, a minus przed nią należy przepisać. Gdybyśmy mieli zapis \((-5)^2\), to wtedy wartość liczbowa byłaby równa \(25\).

Drugi żeton jest już prostszy, bowiem \((-2)^3=-8\).

Krok 2. Ustalenie wartości liczbowych na niewidocznych stronach żetonów.
Chcemy by suma na widocznej i niewidocznej stronie była równa \(0\), czyli tak naprawdę szukamy liczb przeciwnych do tych, które znalazły się na widocznej stronie żetonu.
I żeton - liczbą przeciwną do \(-25\) jest \(25\).
II żeton - liczbą przeciwną do \(-8\) jest \(8\).

Stąd też na niewidocznych stronach muszą znaleźć się liczby \(25\) oraz \(8\).

D

Zadanie jest dość podchwytliwe. Wbrew pozorom wcale nie musi być tak, że liczba podniesiona do najmniejszej z potęg będzie najmniejsza.

Krok 1. Ustalenie czy dana liczba jest dodatnia, czy ujemna.
Do potęg podniesione zostały liczby ujemne, dokładnie jest to \(-2\). Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi parzystej, to wynik potęgowania jest dodatni. Jeżeli liczba ujemna jest podniesiona do potęgi nieparzystej, to wynik potęgowania jest ujemny. Z tej reguły wynika, że:
$$a=(-2)^{12} \rightarrow \text{jest dodatnie} \\
b=(-2)^{11} \rightarrow \text{jest ujemne} \\
c=(-2)^{10} \rightarrow \text{jest dodatnie}$$

I już na podstawie tej prostej analizy widzimy, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), a to oznacza, że na pewno prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź ostatnia, bo tylko tam liczba \(b\) została wypisana na pierwszym miejscu.

Krok 2. Ustalenie która liczba jest większa.
Załóżmy jednak w ramach ćwiczeń, że musimy jeszcze samodzielnie ustalić czy to liczba \(a\) czy \(c\) jest największa, a tym samym musimy samodzielnie ustalić uporządkowanie tych liczb od najmniejszej do największej. Tutaj już żadnej pułapki nie ma, bowiem \(a=(-2)^{12}\) jest większe od \(c=(-2)^{10}\), gdyż im większa potęga parzysta, tym większa liczba wyjdzie z potęgowania.

Na podstawie analizy z kroku pierwszego i drugiego wiemy już, że najmniejszą liczbą jest \(b=(-2)^{11}\), największą jest \(a=(-2)^{12}\), a pomiędzy nimi będzie \(c=(-2)^{10}\).

D

Aby ustalić która z liczb jest największa musimy sprowadzić liczby albo do wspólnego wykładnika potęgi, albo wspólnej podstawy potęgi. Generalnie wszystkie liczby poza trzecią możemy sprowadzić do podstawy równej \(5\). Trzecią liczbę możemy natomiast porównać z czwartą, sprowadzając je do wspólnego wykładniki potęgi.

Krok 1. Porównanie trzeciej i czwartej liczby.
Trzecia liczba jest równa:
$$2^{862}=4^{431}$$

To oznacza, że czwarta liczba, czyli \(5^{431}\), jest na pewno większa od liczby trzeciej. Wiemy to, bo udało nam się sprowadzić obydwie te liczby do wspólnego wykładnika potęgi równego \(431\), więc większa będzie ta liczba, która ma większą podstawę potęgi.

Krok 2. Porównanie pierwsze, drugiej i czwartej liczby.
Wiemy już, że druga liczba na pewno nie jest największa. Pozostałe trzy liczby możemy sprowadzić do wspólnej podstawy potęgi:
$$25^{41}=5^{82} \\
125^{41}=5^{123} \\
5^{431}$$

Widzimy więc wyraźnie, że zdecydowanie największa będzie liczba \(5^{431}\), bo przy wspólnej podstawie ma ona największy wykładnik potęgi.

B

Iloczyn to mnożenie, zatem musimy wykonać następujące działanie:
$$3\cdot3^4\cdot3^{12}=3^1\cdot3^4\cdot3^{12}=3^{1+4+12}=3^{17}$$

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dzieląc potęgi o jednakowym wykładniku, musimy wykonać odejmowanie wykładników, zatem:
$$(-2)^4:(-2)^3=(-2)^{4-3}=(-2)^1=-2$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Mnożąc potęgi o jednakowym wykładniku, musimy wykonać dodawanie wykładników, zatem:
$$(-2)^2\cdot(-2)^3=(-2)^{2+3}=(-2)^5$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$a\cdot b=8^5\cdot4^5=(8\cdot4)^5=32^5$$

To oznacza, że pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
$$\frac{a}{b}=\frac{8^5}{4^5}=\frac{(2^3)^5}{(2^2)^5}=\frac{2^{15}}{2^{10}}=2^5$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{27^6}{3^6}=\frac{3^6\cdot9^6}{3^6}=9^6=(3^2)^6=3^{12}$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{25^8}{5^4}=\frac{5^8\cdot5^8}{5^4}=\frac{5^8\cdot5^4\cdot5^4}{5^4}=5^8\cdot5^4=5^{12}$$

D

Z działań na potęgach wiemy, że \(6^8=2^8\cdot3^8\). Skoro tak, to:
$$\frac{6^8}{2^4}=\frac{2^8\cdot3^8}{2^4}=\frac{2^8}{2^4}\cdot3^8=2^{8-4}\cdot3^8=2^4\cdot3^8$$

E

Korzystając z działań na potęgach sprawdźmy wartości liczbowe każdej z podanych odpowiedzi:
Odp. A. \(3\cdot3^{14}=3^1\cdot3^{14}=3^{1+14}=3^{15}\)
Odp. B. \(3^{9}\cdot3^{6}=3^{9+6}=3^{15}\)
Odp. C. \(3^{17}:9=3^{17}:3^2=3^{17-2}=3^{15}\)
Odp. D. \({3^5}^3=3^{5\cdot3}=3^{15}\)
Odp. E. \(9^{15}:3=(3^{2})^{15}:3^1=3^{2\cdot15}:3^{1}=3^{30}:3^{1}=3^{30-1}=3^{29}\)

Wyszło nam więc, że jedynie ostatnia liczba nie jest równa \(3^{15}\).

B

Korzystając z działań na potęgach otrzymamy:
$$5^2\cdot10^8\cdot5^4=5^{2+4}\cdot10^8=5^6\cdot10^8=5^6\cdot10^6\cdot10^2=50^6\cdot10^2\\
(5^{10}:5^2)\cdot10^8=5^{10-2}\cdot10^{8}=5^{8}\cdot10^{8}=(5\cdot10)^8=50^{8} \\
2^{8}\cdot5^{8}\cdot5^{8}=(2\cdot5\cdot5)^8=50^8$$

Wyrażenie równe \(50^8\) otrzymaliśmy zatem jedynie w II i III przypadku.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Na przekątnej kwadratu iloczyn potęg wynosi:
$$5^2\cdot5^5\cdot5^8=5^{2+5+8}=5^{15}$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W każdej kolumnie musimy mieć iloczyn równy \(5^{15}\) (wyliczyliśmy to tak naprawdę w pierwszym kroku). Skoro w interesującej nas kolumnie znajduje się już wartość \(5\) oraz \(5^5\), to możemy obliczyć że w zacienionym polu (które możemy oznaczyć sobie symbolem ■) znajdzie się wartość:
$$5\cdot5^5\cdot■=5^{15} \\
5^1\cdot5^5\cdot■=5^{15} \\
5^{1+5}\cdot■=5^{15} \\
5^6\cdot■=5^{15} \\
■=5^{15}:5^6 \\
■=5^{15-6} \\
■=5^9$$

Zdanie jest więc prawdą.

A

Rozpisując całość tak jak w treści zadania, otrzymamy:
$$(60\;000\;000)^3=(6\cdot10\;000\;000)=(6\cdot10^7)^3=6^3\cdot10^{21}$$

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
$$2^3\cdot3^2=8\cdot9=72$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
$$5^3-5^2=125-25=100$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Możemy to udowodnić w bardzo prosty sposób wykorzystując działania na potęgach:
$$7^{16}=7^{1+15}=7\cdot7^{15}$$

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest nieprawdą, bo wynik tego działania będzie równy \(1\), a nie \(0\).
Liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, natomiast podniesiona do potęgi nieparzystej daje wynik ujemny. W związku z tym z naszego działania otrzymamy:
$$1+(-1)+1+(-1)+1=3-2=1$$

Tak ponieważ opcja C

Krok 1. Ustalenie kiedy wyrażenie będzie podzielne przez \(8\).
Aby udowodnić czy dane wyrażenie jest podzielne przez \(8\) musimy je przekształcić w taki sposób, by dało się je zapisać w postaci iloczynu, którego jednym ze składników jest liczba \(8\) (czyli musimy doprowadzić do postaci \(8\cdot...\)). Widzimy wyraźnie, że w zadaniu operujemy na potęgach o podstawie \(2\), a liczbę \(8\) możemy zapisać jako \(8=2^3\) i to z pewnością wykorzystamy podczas obliczeń, ale najpierw spróbujmy przekształcić to wyrażenie do prostszej postaci.

Krok 2. Uproszczenie wyrażenia.
W liczniku tego wyrażenia możemy skorzystać z własności działań na potęgach. Iloczyn potęg o tej samej podstawie obliczymy dodając do siebie wykładniki tych potęg. W mianowniku mamy sytuację nieco trudniejszą, bo nie mamy żadnych wzorów na dodawanie potęg, ale możemy zauważyć, że mamy tu tak naprawdę dwukrotne dodanie \(2^7\), co możemy zapisać jako \(2\cdot2^7\). Całość możemy więc rozpisać w następujący sposób:

$$\frac{2^7\cdot2^7}{2^7+2^7}=\frac{2^{7+7}}{2\cdot2^7}=\frac{2^{14}}{2^1\cdot2^7}=\frac{2^{14}}{2^{8}}=2^{14-8}=2^{6}$$

Krok 3. Udowodnienie podzielności wyrażenia przez \(8\).
Wiedząc, że \(8=2^3\) możemy teraz rozpisać ten nasz wynik do następującej postaci:
$$2^6=2^3\cdot2^3=8\cdot2^3$$

To wyrażenie jest więc podzielne przez \(8\), ponieważ wartość tego wyrażenia można zapisać w postaci \(8\cdot2^3\).

A

Krok 1. Ustalenie wartości licznika.
Musimy ustalić jaka jest wartość naszego licznika. Nie mamy specjalnych wzorów na dodawanie potęg (odpowiednie wzory są jedynie na mnożenie i dzielenie potęg, kiedy to dodajemy lub odejmujemy wykładniki), ale widzimy że dodawana jest trzykrotnie ta sama wartość, czyli \(3^2\). Zawartość licznika możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$3^2+3^2+3^2=3\cdot3^2=3^1\cdot3^2=3^{1+2}=3^3$$

Krok 2. Obliczenie wartości całej liczby.
Skoro w liczniku mamy \(3^3\) oraz w mianowniku mamy także \(3^3\), to powstał nam ułamek, którego wartość jest równa \(1\):
$$\frac{3^3}{3^3}=1$$

Jedynkę osiągniemy podnosząc dowolną liczbę do potęgi zerowej, zatem prawidłowa będzie odpowiedź pierwsza.

B

Zapis odległości został przedstawiony w postaci tak zwanej notacji wykładniczej. Naszym zadaniem jest tak naprawdę zamiana tej notacji na pełną liczbę:
$$2,28\cdot10^{8}km=2,28\cdot100\;000\;000km=228\;000\;000km$$

A

Chcąc obliczyć wartość \(0,25\) mola wystarczy wymnożyć przybliżenie podane w treści zadania przez \(0,25\) (czyli przez \(\frac{1}{4}\)). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{1}{4}\cdot6\cdot10^{23}=1,5\cdot10^{23}$$

D

We wszystkich odpowiedziach mamy \(4,1868\) pomnożone przez \(10\) do danej potęgi, więc i my musimy dopasować się do tych odpowiedzi. Możemy to zapisać w następujący sposób:
$$1MJ=1\;000\;000J=1\cdot10^6J \\
41\;868 MJ=41\;868\cdot10^6J=4,1868\cdot10^{10}$$

D

Cyfra jedności to ostatnia cyfra w liczbie. Należy zauważyć, że cyfry jedności poszczególnych potęg układają się w bardzo charakterystycznym ciągu cyfr. Gdybyśmy wypisali po kolei ostatnie cyfry z powyższych liczb, to otrzymalibyśmy ciąg:
$$\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry},\underbrace{7,9,3,1}_{4cyfry}...$$

Co cztery liczby nasz ciąg cyfr jedności się powtarza, a skoro tak, to możemy sprawdzić ile takich powtórzeń się przytrafi:
$$190:4=47 r.2$$

Nasz ciąg powtórzy się zatem \(47\) razy. Reszta tego ciągu mówi nam o tym która cyfra jest przez nas poszukiwana. Skoro reszta wyszła równa \(2\), to interesuje nas druga cyfra tego ciągu. Drugą cyfrą jest \(9\), więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.