Potęga o wykładniku wymiernym jest tak naprawdę inną formą zapisu pierwiastka z danej liczby. Spójrzmy na poniższy wzór:
Zgodnie z tym wzorem możemy zapisać, że przykładowo:
$$5^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{5^1}=\sqrt{5} \\
5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5^1}=\sqrt[3]{5} \\
5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$$
Często będziemy działać w drugą stronę, czyli będziemy zamieniać pierwiastki na potęgę o wykładniku wymiernym. Przykładowo:
$$\sqrt{7}=\sqrt[2]{7^1}=7^{\frac{1}{2}} \\
\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{7^1}=7^{\frac{1}{3}} \\
\sqrt[3]{49}=\sqrt[3]{7^2}=7^{\frac{2}{3}}$$
Wiedząc, że \(9=3^2\), możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt[5]{9}=\sqrt[5]{3^2}=3^\frac{2}{5}$$
To zadanie moglibyśmy też rozwiązać nieco dłuższą metodą, pozbywając się od razu pierwiastka i wykonując „potęgowanie potęgi”:
$$\sqrt[5]{9}=9^{\frac{1}{5}}=\left(3^2\right)^{\frac{1}{5}}=3^{2\cdot\frac{1}{5}}=3^\frac{2}{5}$$
Pewnie część z Was zastanawia się, po co zamieniamy pierwiastki na postać potęgi – przecież taki zapis jak \(\sqrt[5]{9}\) wcale nie wygląda jakoś gorzej niż \(3^\frac{2}{5}\). Powód dokonywania takich zamian może być różny, ale najczęściej chodzi o to, że taka zamiana umożliwi nam wykonywanie działań na potęgach (a działania na potęgach są zazwyczaj prostsze niż działania na pierwiastkach). Często właśnie związane to będzie z doprowadzaniem liczby do konkretnej podstawy potęgi, gdyż większość wzorów z działaniami na potęgach działa tylko wtedy, gdy mamy jednakowe podstawy potęg. Jeśli nie pamiętasz jak wykonywać działania na potęgach to informacje na ten temat znajdziesz tutaj:
Ten przykład także rozwiążemy sobie na dwa sposoby. Kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że zarówno \(8\) jak i \(4\) mają coś wspólnego z dwójką, bo \(2^3=8\) oraz \(2^2=4\). Dzięki temu możemy zapisać, że:
$$\sqrt{8}\cdot\sqrt[4]{4}=\sqrt{2^3}\cdot\sqrt[4]{2^2}=2^{\frac{3}{2}}\cdot2^{\frac{2}{4}}=2^{\frac{3}{2}+\frac{2}{4}}=2^2=4$$
Możemy też zastosować metodę z pozbyciem się na wstępie pierwiastka:
$$\sqrt{8}\cdot\sqrt[4]{4}=8^{\frac{1}{2}}\cdot4^{\frac{1}{4}}=\left(2^3\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(2^2\right)^{\frac{1}{4}}= \\
=2^{3\cdot\frac{1}{2}}\cdot2^{2\cdot\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{2}}\cdot2^{\frac{2}{4}}=2^{\frac{3}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}=2^2=4$$