Pole prostokąta jest równe 228. Jeśli długość jednego boku zmniejszymy o 5, a długość drugiego boku zwiększymy o 2

Pole prostokąta jest równe \(228\). Jeśli długość jednego boku zmniejszymy o \(5\), a długość drugiego boku zwiększymy o \(2\), to otrzymamy kwadrat. Wyznacz długości boków prostokąta.

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i ułożenie układu równań.
\(x\) - długość pierwszego boku prostokąta
\(y\) - długość drugiego boku prostokąta

Skoro pole prostokąta jest równe \(228\), to:
$$x\cdot y=228$$

Z treści zadania wynika też, że:
$$x-5=y+2$$

To oznacza, że otrzymamy układ równań:
$$\begin{cases}
x\cdot y=228 \\
x-5=y+2
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie chyba rozwiązać ten układ metodą podstawiania, wyznaczając z pierwszego równania wartość igreka:
$$\begin{cases}
y=\frac{228}{x} \\
x-5=y+2
\end{cases}$$

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$x-5=\frac{228}{x}+2 \quad\bigg/\cdot x \\
x^2-5x=228+2x \\
x^2-7x-228=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-228\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-228)=49-(-912)=961 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{961}=31$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-31}{2\cdot1}=\frac{7-31}{2}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+31}{2\cdot1}=\frac{7+31}{2}=\frac{38}{2}=19$$

Ujemną wartość iksa musimy odrzucić, zatem zostaje nam \(x=19\).

Krok 4. Wyznaczenie długości boków prostokąta.
Wiemy już, że jeden z boków prostokąta ma długość \(x=19\). Drugą długość obliczymy korzystając z jednego z równań np.:
$$x\cdot y=228 \\
19y=228 \\
y=12$$

To oznacza, że prostokąt ma boki długości \(19\) oraz \(12\).

Odpowiedź

\(19\) oraz \(12\)

Dodaj komentarz