Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

\(\sqrt{6}\)
\(3\)
\(9\)
\(3\sqrt{3}\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.

Znamy pole całkowite sześcianu, wiemy że sześcian ma sześć ścian, a więc każda ze ścian ma powierzchnię równą:
$$54:6=9$$

Wiemy już, że każda z tych ścian jest kwadratem o polu powierzchni równym \(9\), a więc długość krawędzi sześcianu jest równa:
$$a^2=9 \\
a=3 \quad\lor\quad a=-3$$
Wartość \(a=-3\) musimy oczywiście odrzucić, bo długość boku nie może być ujemna.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.

Długość przekątnej sześcianu możemy opisać wzorem \(s=a\sqrt{3}\). To znaczy, że nasz sześcian ma przekątną równą \(s=3\sqrt{3}\).

Jeżeli nie pamiętasz tego wzoru, to możesz długość przekątnej sześcianu wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi będą krawędź boczna, czyli \(a=3\) oraz przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(d=3\sqrt{2}\). Przeciwprostokątną będzie wtedy poszukiwana przez nas przekątna sześcianu:
$$3^2+(3\sqrt{2})^2=s^2 \\
9+9\cdot2=s^2 \\
9+18=s^2 \\
s^2=27 \\
s=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$

Odpowiedź:

D. \(3\sqrt{3}\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.