Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(198\). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi.
$$P_{c}=2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x \\
198=4x^2+6x^2+12x^2 \\
198=22x^2 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam \(x=3\).

Znając wartość \(x=3\) znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: \(x=3\), \(2x=6\) oraz \(3x=9\).

Musimy poznać długość odcinka \(BD\), tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\
3^2+6^2=|BD|^2 \\
9+36=|BD|^2 \\
|BD|^2=45 \\
|BD|=\sqrt{45}$$

Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa.
$$|BD|^2+|DH|^2=|BH|^2 \\
(\sqrt{45})^2+9^2=|BH|^2 \\
45+81=|BH|^2 \\
|BH|^2=126 \\
|BH|=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$

Przekątna prostopadłościanu ma długość \(3\sqrt{14}\).