Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(198\). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi.
$$P_{c}=2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x \\
198=4x^2+6x^2+12x^2 \\
198=22x^2 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam \(x=3\).
Znając wartość \(x=3\) znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: \(x=3\), \(2x=6\) oraz \(3x=9\).
Musimy poznać długość odcinka \(BD\), tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\
3^2+6^2=|BD|^2 \\
9+36=|BD|^2 \\
|BD|^2=45 \\
|BD|=\sqrt{45}$$
Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa.
$$|BD|^2+|DH|^2=|BH|^2 \\
(\sqrt{45})^2+9^2=|BH|^2 \\
45+81=|BH|^2 \\
|BH|^2=126 \\
|BH|=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$
Przekątna prostopadłościanu ma długość \(3\sqrt{14}\).
nie ma może innych, krótszych rozwiązań?
Nie rozwiązuję zadań byle jak, bo to ma też być materiał do nauki, tak aby każdy wiedział co z czego się bierze ;) Jednak jeśli nie potrzebujesz tak rozpisanego zadania, to wystarczy że spojrzysz na same liczby/wyniki, raczej prościej się tego zrobić nie da ;)
Dlaczego w twierdzeniu Pitagorasa (krok trzeci) jest IABI^2 +IADI^2= IBDI^2
Myślałam, że to IABI jest przeciwprostokątną i że powinno być IBDI^2+ IADI^2= IABI^2.
Gdzie robię błąd i dlaczego powinno być tak jak w rozwiązaniu zamieszczonym na tej stronie? Z góry dziękuję za odpowiedź ;-)
Spoglądamy na trójkąt ABD :) Bok AB nie jest przeciwprostokątną, tylko przyprostokątną :)
Cześć, dlaczego tworzymy rysunek poglądowy akurat w taki sposób? Tzn. dlaczego |AB| = x, |BC| = 2x, |BF| = 3x? Czy zawsze tak mamy podchodzić do tego typu zadań, gdy jest podany stosunek tak jak tu 1:2:3, że te kolejne liczby wyznaczają kierunek?
Jeśli nie, to wydaje się, że formalnie powinniśmy rozważyć też inne przypadki, np. |AB| = x, |BC| = 3x i |BF| = 2x.
Możesz oznaczyć dowolnie – to co proponujesz będzie dokładnie takim samym prostopadłościanem, tylko położonym na boku ;) W obliczeniach (poza oznaczeniami) nic się więc nie zmieni.