Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa 12. Oblicz objętość tego stożka.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie zależności między polem powierzchni bocznej i polem podstawy.
Ze wzorów na pole powierzchni bocznej i pole podstawy wiemy, że:
$$P_{b}=\pi rl \\
P_{p}=\pi r^2$$

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy, zatem:
$$P_{b}=3\cdot P_{p} \\
\pi rl=3\cdot(\pi r^2) \\
\pi rl=3\pi r^2 \\
rl=3r^2 \\
l=3r$$

Otrzymaliśmy informację, że \(l=3r\), czyli że tworząca stożka jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro \(l=3r\), to nasz stożek będzie wyglądał następująco:
--rysunek wkrótce--

Utworzył nam się trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest \(r\) i to właśnie z tego trójkąta obliczymy teraz długość promienia stożka.

Krok 3. Obliczenie długości promienia stożka.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$r^2+12^2=(3r)^2 \\
r^2+144=9r^2 \\
8r^2=144 \\
r^2=18 \\
r=\sqrt{18} \quad\lor\quad r=-\sqrt{18}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{18}\). Moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka otrzymując \(r=3\sqrt{2}\), ale tutaj nie jest to potrzebne, bo i tak zaraz będziemy długość tego promienia podnosić do kwadratu.

Krok 4. Obliczenie objętości stożka.
Skoro \(H=12\) oraz \(r=\sqrt{18}\), to objętość stożka będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\sqrt{18})^2\cdot12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 18\cdot12 \\
V=72\pi$$

Odpowiedź

\(V=72\pi\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments