Pole podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe 100cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260cm2

Pole podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe \(100cm^2\), a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260cm^2\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

pole podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe 100cm2

Do obliczenia objętości potrzebujemy miarę wysokości ostrosłupa, czyli odcinka \(SO\). Obliczmy ją z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to musimy poznać miary odcinków \(OE\) oraz \(SE\).

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy oraz odcinka \(OE\).
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w swojej podstawie kwadrat. Skoro pole powierzchni jest równe \(100cm^2\), to długość krawędzi podstawy jest równa \(10cm\).

Odcinek \(OE\) jest równy połowie długości podstawy, czyli \(|OE|=5cm\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.

Pole powierzchni bocznej jest równe \(260cm^2\). Skoro mamy cztery identyczne trójkątne ściany, a każda z nich ma w podstawie trójkąt, to z tego pola powierzchni będziemy w stanie wyznaczyć wysokość każdego takiego trójkąta, czyli nasz odcinek \(SE\).

$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\
260cm^2=4\cdot\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot h \\
260cm^2=20cm\cdot h \\
h=13cm$$

Mamy już więc kolejną długość \(|SE|=13cm\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.

Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa na trójkącie \(SOE\).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|OE|^2+|SO|^2=|SE|^2 \\
(5cm)^2+|SO|^2=(13cm)^2 \\
25cm^2+|SO|^2=169cm^2 \\
|SO|^2=144cm^2 \\
|SO|=12cm \quad\lor\quad |SO|=-12cm$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość ostrosłupa nie może być ujemna.

Krok 4. Obliczenie objętości bryły.

Znamy pole podstawy, mamy obliczoną wysokość ostrosłupa, więc wystarczy już tylko podstawić dane do wzoru:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot100cm^2\cdot12cm \\
V=400cm^3$$

Odpowiedź:

\(V=400cm^3\)

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!