Rozwiązanie
Krok 1. Dostrzeżenie, że trójkąt \(BCS\) jest prostokątny.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, iż trójkąt \(BCS\) jest prostokątny (gdzie \(|\sphericalangle BCS|=90°\). Skąd to wiemy, skoro z rysunku takiej informacji nie możemy odczytać? Obliczmy długości poszczególnych boków tego trójkąta.
Długość boku \(CS\):
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(DCS\). Dolna przyprostokątna ma długość \(|DC|=4\), boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\), zatem z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$4^2+3^2=|CS|^2 \\
16+9=|CS|^2 \\
|CS|^2=25 \\
|CS|=5 \quad\lor\quad |CS|=-5$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym \(|CS|=5\).
Długość boku \(BS\):
Spójrzmy na trójkąt \(BDS\). Dolna przyprostokątna to będzie przekątna naszego kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(|BD|=4\sqrt{2}\). Boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\). W związku z tym:
$$3^2+(4\sqrt{2})^2=|BS|^2 \\
9+16\cdot2=|BS|^2 \\
9+32=|BS|^2 \\
|BS|^2=41 \\
|BS|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{41}$$
Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BS|=\sqrt{41}\).
W tym momencie znamy długości trzech boków naszego trójkąta \(BCS\):
$$|BC|=4 \\
|CS|=5 \\
|BS|=\sqrt{41}$$
Aby udowodnić, że jest to trójkąt prostokątny, skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Boki \(BC\) oraz \(CS\) to przyprostokątne, natomiast \(BS\) to przeciwprostokątna naszego trójkąta. W związku z tym:
$$|BC|^2+|CS|^2=|BS|^2 \\
4^2+5^2=(\sqrt{41})^2 \\
16+25=41 \\
41=41 \\
L=P$$
Skoro lewa strona równania jest równa prawej, to możemy być pewni, że trójkąt \(BCS\) jest trójkątem prostokątnym.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(BCS\).
Skoro jest to trójkąt prostokątny i znamy miary przyprostokątnych tego trójkąta, to obliczenie pola powierzchni jest już tylko formalnością:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5 \\
P=2\cdot5 \\
P=10$$
