Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa

Podstawą ostrosłupa \(ABCDW\) jest prostokąt \(ABCD\). Krawędź boczna \(DW\) jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne \(AW\), \(BW\) i \(CW\) mają następujące długości: \(|AW|=6\), \(|BW|=9\), \(|CW|=7\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zaznaczmy na naszym rysunku długości z treści zadania i przeanalizujmy sobie ten ostrosłup:

Potrzebujemy poznać długości wszystkich boków zaznaczonych na zielono, czyli \(x\) oraz \(y\) do obliczenia pola podstawy oraz wysokość \(H\) całego ostrosłupa (którą w naszym przypadku jest odcinek \(DW\)).

Za chwilę będziemy budować różne równania z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to jeszcze przydałoby nam się zapisanie wzoru na długość odcinka \(BD\). Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:
$$x^2+y^2=|BD|^2$$

I w takiej formie możemy to na razie zostawić, bo przy Twierdzeniu Pitagorasa i tak posługujemy się długościami boków podniesionymi do kwadratu.

Z trójkąta \(ADW\) wynika, że: \(y^2+H^2=36\)
Z trójkąta \(DCW\) wynika, że: \(x^2+H^2=49\)
Z trójkąta \(DBW\) wynika, że: \(x^2+y^2+H^2=81\)

Podstawiając z pierwszego równania \(y^2+H^2=36\) do trzeciego równania otrzymamy:
$$x^2+36=81 \\
x^2=45 \\
x=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$

Podstawiając \(x=\sqrt{45}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$(\sqrt{45})^2+H^2=49 \\
45+H^2=49 \\
H^2=4 \\
H=2$$

Podstawiając \(H=2\) do pierwszego równania otrzymamy:
$$y^2+2^2=36 \\
y^2+4=36 \\
y^2=32 \\
y=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

W podstawie znajduje się prostokąt o bokach \(x\) oraz \(y\), zatem:
$$P_{p}=x\cdot y \\
P_{p}=3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{2} \\
P_{p}=12\sqrt{10}$$

Znamy wszystkie potrzebne długości, zatem możemy przejść do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{10}\cdot2 \\
V=4\sqrt{10}\cdot2 \\
V=8\sqrt{10}$$

\(V=8\sqrt{10}\)