Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).
Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(|AD|=12\), \(|BC|=6\), \(|BD|=|CD|=13\).
W zasadzie do obliczenia objętości brakuje nam tylko pola podstawy, bo wysokość bryły już znamy. Aby obliczyć to pole to potrzebna byłaby wysokość trójkąta, który znalazł się w podstawie. Wyliczymy ją bez problemu jeśli poznamy długości boków \(AB\) i \(AC\) i właśnie od tego rozpoczniemy obliczenia.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa. Aby obliczyć bok \(AB\) wystarczy wziąć do obliczeń duży trójkąt \(ABD\), którego miary dwóch boków są nam znane, a więc:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\
|AB|^2+12^2=13^2 \\
|AB|^2+144=169 \\
|AB|^2=25 \\
|AB|=5 \quad\lor\quad |AB|=-5$$
(wartość ujemną odrzucamy, bo bok nie może mieć długości ujemnej)
Długość boku \(AC\) wyliczymy dokładnie w ten sam sposób, tyle tylko że skorzystamy z trójkąta \(ACD\). Jego wymiary są identyczne co trójkąta \(ABD\) (są to więc trójkąty przystające), a więc i bok \(AC\) ma długość \(5\).
W podstawie mamy trójkąt równoramienny, a więc jego wysokość podzieli nam bok \(BC\) na dwie równe części. Wysokość trójkąta wyliczymy więc używając ponownie Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
h^2+|CE|^2=|AC|^2 \\
h^2+3^2=5^2 \\
h^2+9=25 \\
h^2=16 \\
h=4 \quad\lor\quad h=-4$$
(wartość ujemną oczywiście odrzucamy)
$$P_{p}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4 \\
P_{p}=12$$
Znając już wszystkie potrzebne miary możemy bez problemu obliczyć objętość ostrosłupa:
$$P_{p}=12 \\
H=12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12=48$$
Objętość ostrosłupa jest równa \(48\).
skąd wiemy że tam jest kąt prosty
Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa, a to oznacza, że trójkąt ABD musi być prostokątny :) Dobrze to widać na samym rysunku.