Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o podstawie \(a=8\) oraz wysokości \(h=3\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot3 \\
P_{p}=4\cdot3 \\
P_{p}=12$$
Krok 2. Obliczenie długości ramion trójkąta.
Z treści zadania wynika, że nasz trójkąt jest równoramienny. Z własności takich trójkątów wynika, że wysokość przecina podstawę trójkąta na dwie równe części. To by oznaczało, że w naszym przypadku bok \(AB\) zostanie podzielony na dwa fragmenty o długości \(4\), czyli tym samym, powstaną nam dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(3\) oraz \(4\).
Ta obserwacja pozwoli nam wyznaczyć długość ramienia trójkąta, czyli boku \(BC\) (ewentualnie \(AC\)). Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$3^2+4^2=c^2 \\
9+16=c^2 \\
c^2=25 \\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem możemy zapisać, że ramiona naszego trójkąta mają długość równą \(5\).
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(CBE\). Przed chwilą obliczyliśmy, że dolna przyprostokątna tego trójkąta ma długość \(5\) i wiemy, że kąt leżący przy tym boku ma miarę \(60°\). Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) możemy stwierdzić, że boczna przyprostokątna będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa, czyli tym samym wysokość graniastosłupa będzie miała długość \(5\sqrt{3}\).
Do tego samego wyniku dojdziemy korzystając z tangensa. Moglibyśmy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{5} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{5} \\
H=5\sqrt{3}$$
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wiemy już, że \(P_{p}=12\) oraz \(H=5\sqrt{3}\), zatem korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa, zapiszemy:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=12\cdot5\sqrt{3} \\
V=60\sqrt{3}$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składać się będą pola dwóch trójkątów równoramiennych (podstawa dolna i górna) oraz trzech ścian bocznych będących prostokątami. Pola trójkątów już znamy, wiemy że \(P_{p}=12\). Obliczmy zatem pole powierzchni bocznej. Mamy dwie ściany boczne o wymiarach \(5\times5\sqrt{3}\) oraz jedną o wymiarach \(8\times5\sqrt{3}\). Pole powierzchni bocznej będzie zatem równe:
$$P_{b}=2\cdot5\cdot5\sqrt{3}+8\cdot5\sqrt{3} \\
P_{b}=50\sqrt{3}+40\sqrt{3} \\
P_{b}=90\sqrt{3}$$
To oznacza, że całe pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=2P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=2\cdot12+90\sqrt{3} \\
P_{c}=24+90\sqrt{3}$$
