Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC, w którym kąt ACB=90 stopni

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90°\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok \(AB\)) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy \(r=5\) (bo odcinek \(SC\) jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek \(AB\) będzie równy:
$$|AB|=2\cdot5 \\
|AB|=10$$

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AC\) oraz \(BC\).
Skoro stosunek boków \(AC\) do \(BC\) jest równy \(4:3\), to możemy zapisać, że \(|AC|=4x\), natomiast \(|BC|=3x\). Wartość niewiadomej \(x\) obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):
$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2 \\
(4x)^2+(3x)^2=10^2 \\
16x^2+9x^2=100 \\
25x^2=100 \\
x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam \(x=2\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków \(AC\) oraz \(BC\) jako \(4x\) oraz \(3x\), czyli:
$$|AC|=4x \\
|AC|=4\cdot2 \\
|AC|=8 \\
\quad \\
|BC|=3x \\
|BC|=3\cdot2 \\
|BC|=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na prostokąt \(BEFC\). Wiemy, że jego pole jest równe \(48\) i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok \(BC\)) ma długość \(6\). To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:
$$P=|BC|\cdot|BE| \\
48=6\cdot|BE| \\
|BE|=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych \(6\) oraz \(8\), czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa \(8\), zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot8 \\
V=192$$

Odpowiedź

\(V=192\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments