Podstawą graniastosłupa \(ABCDEFGH\) jest prostokąt \(ABCD\) (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość \(3\). Przekątna prostokąta \(ABCD\) tworzy z jego dłuższym bokiem kąt \(30°\). Przekątna \(HB\) graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt \(60°\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zaznaczmy sobie na rysunku kąty \(30°\) i \(60°\) oraz odpowiednie długości boków omówione w treści zadania:
Wbrew pozorom już podczas zaznaczania odpowiednich długości można było popełnić spory błąd. Skąd wiemy, że to akurat boki \(AD\) oraz analogicznie \(BC\) są tymi krótszymi i akurat one mają długość \(3\)? Treść zadania nie sugeruje nam tego wprost, ale wynika to chociażby z własności trójkątów \(30°\), \(60°\), \(90°\), a takim jest trójkąt \(ABD\). W takich trójkątach dłuższą przyprostokątną jest ten bok, który znajduje się przy kącie \(30°\) i stąd też wiemy, że dłuższymi krawędziami są \(AB\) oraz analogicznie \(CD\), a krótszymi są \(AD\) oraz \(BC\).
Do obliczenia objętości będziemy potrzebowali znać długości boków prostokąta oraz wysokość całego graniastosłupa, zatem wyznaczmy po kolei każdą z wartości.
Do obliczenia długości, którą oznaczyliśmy sobie jako \(a\) skorzystamy z trójkąta \(ABD\). Użyjemy tutaj albo własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\), albo funkcji tangensa:
$$tg30°=\frac{3}{a} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{a}$$
Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$\sqrt{3}a=9 \\
a=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$
Ponownie spoglądamy na trójkąt \(ABD\). Do obliczenia długości przekątnej \(DB\) skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i z miary boku prostokąta, którą obliczyliśmy przed chwilą:
$$3^2+(3\sqrt{3})^2=|DB|^2 \\
9+9\cdot3=|DB|^2 \\
9+27=|DB|^2 \\
|DB|^2=36 \\
|DB|=6$$
Tym razem interesuje nas trójkąt \(DBH\). Odcinek \(DH\), który oznaczyliśmy sobie jako \(H\) wyliczymy z funkcji tangensa (właśnie po to liczyliśmy przed chwilą długość przekątnej \(DB\)):
$$tg60°=\frac{H}{6} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{6} \\
H=6\sqrt{3}$$
Znamy wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczeń objętości:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=3\cdot3\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=9\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=54\cdot3 \\
V=162$$
\(V=162\)
Zakładam, że <)BAD = 90 stopni
Dlaczego jak skorzystałem z funkcji sinus 30 stopni w trójkącie BAD, to wyszło mi, że a=6?
1/2 = 3/a
a = 6
Jeżeli analizujesz dwie przyprostokątne (a tak właśnie zrobiłeś), to nie jest to sinus, tylko tangens ;)
Tangens 30 stopni to jest pierwiastek z trzech przez dwa i wtedy wyjdzie Ci dokładnie tak samo jak u mnie :)
Czy w kroku 4 jest błąd, czy już o tej godzinie nie myślę…
Mamy trójkąt DBH o kącie ostrym 60°, przeciwprostokątna 6.
Nasza wysokość to przyprostokątna naprzeciwko kąta <)DBH 60°, czyli powinno być:
sin60° = h/6
√3 / 2 = h/6
2h = 6√3
h = 3√3
V = 3√3 * 3 * 3√3 = 27 * √3 * √3 = 81
Wtedy objętość wychodzi 81
Zadanko jest na pewno dobrze policzone ;) W trójkącie DBH przeciwprostokątna nie ma długości 6. Tę długość ma odcinek DB.
Dlaczego nie skorzystaliśmy z własności trójkąta 30,60,90 na początku i nie obliczyliśmy a w sposób analogiczny 3 to inaczej a✓3 i wtedy inaczej a by wyszło bo wtedy dzielimy a przez ✓3 wychodzimy nam 3/✓3 pozbywamy się pierwiastka z mianownika i wychodzimy nam 3*✓3/3 i zostaje ✓3 a nie jak skorzystaliśmy z funkcji trygonometrycznej tangelsa 30 stopni i wyszło 3✓3
Możesz skorzystać z własności trójkąta 30, 60, 90 (co zresztą podkreśliłem w rozwiązaniu). I wyjdzie dokładnie ten sam wynik co z trygonometrii ;) U Ciebie wychodzi wynik błędny, bo źle przyjmujesz długości boków. Bok „a” to dłuższa przyprostokątna, czyli ma ona długość ✓3 razy większą od krótszej przyprostokątnej, która jest równa 3. Tym samym nasze „a” to właśnie 3✓3 :) To jest właśnie największa pułapka w tym zadaniu, bo trochę dublują się tutaj oznaczenia i przez przypadek „a” nie jest tym samym „a”, które z własności trójkątów 30, 60, 90 stopni, tylko właśnie ma ono długość a✓3 :)
Dlaczego w objętości jak jest Pp to mamy 3•3pierwiastki z 3 a nie 4•3pierwiastki z 3?
W podstawie jest prostokąt o bokach 3 oraz 3√3, stąd pole podstawy jest równe 3*3√3 :)