Podobieństwo figur – zadania maturalne

D

Krok 1. Zbudowanie równania na podstawie danych z treści zadania.
Wiedząc, że proste \(AB\) oraz \(CD\) są równoległe możemy stwierdzić, że trójkąty \(EAB\) oraz \(ECD\) są trójkątami podobnymi. W związku z tym prawdziwa będzie relacja:
$$\frac{|EA|}{|AB|}=\frac{|EC|}{|CD|} \\
\frac{x}{6}=\frac{x+4}{8}$$

Zwróć szczególną uwagę na odcinek \(EC\). Bardzo często w tego typu zadaniach uczniowie wpisują w tym miejscu długość odcinka \(AC\), co jest błędem.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Najprościej będzie wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$8x=6\cdot(x+4) \\
8x=6x+24 \\
2x=24 \\
x=12$$

Długość odcinka \(|AE|\) oznaczono na rysunku jako \(x\), więc \(|AE|=12\).

A

Skorzystamy tutaj z podobieństwa trójkątów \(CDE\) oraz \(CAB\).

Krok 1. Ułożenie odpowiedniej proporcji długości boków i wyznaczenie długości odcinka \(CA\).
$$\frac{|CD|}{|DE|}=\frac{|CA|}{|AB|} \\
\frac{1}{3}=\frac{|CA|}{9}$$

Widzimy, że zgodnie z tą proporcją długość boku \(|CA|\) jest równa \(3\). Gdybyśmy tego nie dostrzegli, to można wykonać mnożenie na krzyż:
$$1\cdot9=|CA|\cdot3 \\
3\cdot|CA|=9 \\
|CA|=3$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
Korzystając z rysunku widzimy, że:
$$|AD|=|CA|-1 \\
|AD|=3-1 \\
|AD|=2$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.


Sporządzając rysunek jak i wykonując późniejsze obliczenia zwracajmy uwagę na jednostki! Niektóre miary są podane w centymetrach, a inne w metrach.

Krok 2. Zbudowanie równania wykorzystując podobieństwa trójkątów.
Skorzystamy z podobieństw trójkątów. Stosunek wysokości słupka do jego cienia musi być taki sam jak stosunek wysokości wieży do cienia wieży. Możemy zapisać to w następujący sposób:
$$\frac{|AB|}{|PB|}=\frac{|CD|}{|PD|}$$

Krok 3. Podstawienie odpowiednich długości do równania i wyznaczenie długości odcinka \(CD\).
Podstawiamy do powyższej zależności dane z zadania, uważając na jednostki! Najlepiej jest zamienić sobie wszystko na metry i tak oto otrzymujemy, że:
$$\frac{|0,9|}{|0,6|}=\frac{|CD|}{12} \\
1,5=\frac{|CD|}{12} \quad\bigg/\cdot12 \\
|CD|=18$$

Ewentualnie mogliśmy wykonać tzw. "mnożenie na krzyż":
$$12\cdot0,9=0,6\cdot|CD| \\
10,8=0,6\cdot|CD| \quad\bigg/:0,6 \\
|CD|=18$$

B

Trójkąty przystające to takie, które mają identyczne miary długości boków i kątów między tymi bokami (wbrew nazwie te trójkąty wcale nie muszą się ze sobą stykać). Spośród trójkątów wypisanych w odpowiedziach, trójkątem przystającym do trójkąta \(ECD\) jest tylko i wyłącznie trójkąt \(CAB\). Wynika to głównie z tego, że w pięciokącie foremnym wszystkie boki mają identyczną długość, zatem:
$$|ED|=|DC|=|AB|=|BC| \\
\text{oraz} \\
|EC|=|CA|$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i obliczenie długości przekątnej mniejszego prostokąta.
Zgodnie z treścią zadania nasze prostokąty będą wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Aby móc porównać oba prostokąty i poznać skalę ich podobieństwa potrzebujemy znać długość przekątnej mniejszego prostokąta \(EFGH\) (patrz rysunek). Obliczymy to oczywiście z Twierdzenia Pitagorasa:
$$2^2+3^2=d^2 \\
4+9=d^2 \\
d^2=13 \\
d=\sqrt{13}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu prostokąta \(ABCD\).
Skoro przekątna prostokąta \(ABCD\) jest dwukrotnie większa od przekątnej prostokąta \(EFGH\), to wszystkie boki tego prostokąta są także dwa razy większe. To oznacza, że również i obwód musi być dwukrotnie większy:
Obwód prostokąta \(EFGH\) to \(2\cdot2+2\cdot3=4+6=10\).
Obwód prostokąta \(ABCD\) to \(2\cdot10=20\).

C

Musimy obliczyć skalę podobieństwa boku \(A'B'\) względem \(AB\). Matematycznie rzecz ujmując skalę podobieństwa zapiszemy jako \(\frac{A'B'}{AB}=k\). Naszym zadaniem jest teraz wyznaczyć wartość tego współczynnika \(k\) korzystając z wiedzy na temat pól trójkątów podanych w treści zadania. Jeżeli dwie figury są figurami podobnymi, to ich pola są do siebie podobne w skali \(k^2\). To pozwoli nam ułożyć następujące równanie:
$$k^2=\frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}} \\
k^2=\frac{50cm^2}{25cm^2} \\
k^2=2 \\
k=\sqrt{2}$$

W ten sposób korzystając z pól powierzchni obliczyliśmy skalę podobieństwa \(k\) między dwoma bokami trójkąta, czyli dokładnie to czego szukaliśmy w tym zadaniu.

A

Krok 1. Zapisanie zależności między długościami boków.
Trójkąty \(EFG\) oraz \(HIG\) są trójkątami podobnymi. To oznacza, że między stosunkami długości boków zajdzie poniższa równość:
$$\frac{|EF|}{|HI|}=\frac{|GF|}{|GI|}$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(FI\).
Podstawiając pod \(|GF|\) sumę odcinków \(|GI|+|FI|\) będziemy mieli równanie, z którego wyznaczymy poszukiwaną długość odcinka \(|FI|\):
$$\frac{|EF|}{|HI|}=\frac{|GI|+|FI|}{|GI|} \\
\frac{21}{7}=\frac{3+|FI|}{3} \\
3=\frac{3+|FI|}{3} \\
9=3+|FI| \\
|FI|=6$$

B

Krok 1. Ustalenie długości odcinków \(EC\) oraz \(AC\).
Z treści zadania wynika, że \(|AD|=|DB|\), bo punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\). Skoro przez ten punkt \(D\) jest poprowadzona prosta równoległa do boku \(BC\), to podobna prawidłowość zajdzie także na odcinku \(AC\), gdzie punkt \(E\) jest w takim razie także środkiem tego odcinka. W związku z tym \(|AE|=|EC|=4\).

Znając długość odcinka \(EC\) możemy obliczyć miarę odcinka \(AC\):
$$|AC|=|AE|+|EC|=4+4=8$$

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego równania i wyznaczenie długości odcinka \(BC\).
Trójkąty \(ADE\) oraz \(ABC\) są trójkątami podobnymi. Skąd to wiemy? Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bo obydwa trójkąty mają wspólny kąt \(CAB\) oraz wiemy że \(|\sphericalangle ADE|=|\sphericalangle ABC|\), gdyż są to tak naprawdę kąty odpowiadające.

Skoro tak, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{|DE|}{|AE|}=\frac{|BC|}{|AC|} \\
\frac{3}{4}=\frac{|BC|}{8} \quad\bigg/\cdot8 \\
|BC|=\frac{24}{4} \\
|BC|=6$$

C

Zgodnie z zasadą podobieństwa figur, jeśli krawędzie pierwszego ostrosłupa są \(k\) razy większe od drugiego, to pole powierzchni całkowitej pierwszego ostrosłupa jest \(k^2\) większe od pola drugiego, a objętość jest \(k^3\) razy większa.

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa, czyli \(k\).
Wczytując się w treść zadania wiemy, że pole powierzchni całkowitej pierwszego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola drugiego ostrosłupa, zatem:
$$k^2=2 \\
k=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie ile razy objętość pierwszego ostrosłupa jest większa od drugiego.
Zgodnie z tym co sobie napisaliśmy na wstępie - objętość pierwszego ostrosłupa będzie \(k^3\) razy większa, zatem:
$$k^3=(\sqrt{2})^3=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

B

Podobieństwo trójkątów oznacza, że stosunek długości poszczególnych boków jest taki sam w obydwu figurach. To z kolei pozwoli nam ułożyć równania, dzięki którym wyznaczymy długości boków \(a\) oraz \(b\). Musimy tylko uważać, aby dobrze zapisać odniesienia do poszczególnych boków.

Krok 1. Wyznaczenie długości boku \(a\).
$$\frac{4}{6}=\frac{a}{15} \quad\bigg/\cdot30 \\
20=2a \\
a=10$$

Krok 2. Wyznaczenie długości boku \(b\).
$$\frac{4}{6}=\frac{12}{b}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$4b=72 \\
b=18$$

B

Aby zrozumieć istotę zadania musimy sobie powiedzieć skąd wiemy, że te dwa trójkąty są podobne. Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bo:
$$|\sphericalangle ACB|=180°-70°-48°=62° \\
\text{oraz} \\
|\sphericalangle PQR|=180°-70°-62°=48°$$

Skoro trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne, to znaczy że stosunki długości poszczególnych boków (leżących przy tych samych kątach) będą jednakowe. Zatem:
$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|PQ|}{|QR|} \\
\frac{x}{9}=\frac{17}{18}$$

Takie równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc na krzyż:
$$18x=17\cdot9 \\
18x=153 \\
x=8,5$$

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Dorysowalismy sobie wysokość \(CH\) trójkąta \(ABC\). Podzieliła nam ona trójkąt na dwa mniejsze trójkąty - \(ACH\) oraz \(BCH\). Suma pól powierzchni tych trójkątów da nam poszukiwane pole trójkąta \(ABC\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ACH\).
Skorzystamy tutaj ze skali podobieństwa trójkątów \(ACH\) oraz \(AFD\). Z treści zadania wynika, że \(k=\frac{|AC|}{|AD|}=2\). Z geometrii wiemy, że stosunek dwóch pól figur podobnych jest równy \(k^2\), czyli w naszym przypadku \(k^2=2^2=4\). Skoro pole trójkąta \(AFD\) jest równe \(4\), a pole \(ACH\) musi być czterokrotnie większe, to \(P_{ACH}=4\cdot4=16\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(BCH\).
Analogicznie możemy przeanalizować parę trójkątów \(BCH\) oraz \(BGE\). Skoro \(k=\frac{|BH|}{|BG|}=2\), to ponownie pole trójkąta \(BCH\) będzie czterokrotnie większe od pola trójkąta \(BGE\). Pole trójkąta \(BCH\) jest więc równe \(P_{BCH}=4\cdot1=4\).

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
$$P_{ABC}=P_{ACH}+P_{BCH} \\
P_{ABC}=16+4 \\
P_{ABC}=20$$

B

Skoro odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(CA\), to trójkąty \(ABC\) oraz \(EBD\) są trójkątami podobnymi (na mocy cechy kąt-kąt-kąt). Stosunek boków odpowiadających sobie będzie taki sam, co pozwoli ułożyć nam następujące równanie:
$$\frac{|DE|}{|CA|}=\frac{|BD|}{|BC|} \\
\frac{|DE|}{24}=\frac{10}{10+2} \\
\frac{|DE|}{24}=\frac{10}{12} \quad\bigg/\cdot24 \\
|DE|=\frac{240}{12} \\
|DE|=20$$

Udowodniono, że \(|AD|=|BE|\) za pomocą trójkątów przystających (cecha bok-kąt-bok).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Naszkicujmy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy wymagane odcinki \(AD\) oraz \(BE\) (patrz kolor niebieski).



Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające (cecha bok-kąt-bok).
Z treści zadania wynika, że \(|AC|=|BC|\) (patrz: kolor zielony) oraz \(|DC|=|EC|\) (patrz: kolor pomarańczowy).
Jeśli jeszcze wykażemy, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) mają identyczną miarę kąta przy wierzchołku \(C\), to będziemy mogli stwierdzić, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające. Jeśli tak rzeczywiście będzie, to będzie to oznaczało, że i trzecia para boków jest równej długości, czyli że \(|AD|=|BE|\).

Zaznaczmy sobie na rysunku miary poszczególnych kątów.



Z zadania możemy wyczytać, że \(\sphericalangle ACB=90°\) oraz \(\sphericalangle DCE=90°\), a więc:
$$α=90°-β \\
γ=90°-β$$

Wykazując, że kąty \(α\) oraz \(γ\) są równej miary zakończyliśmy dowodzenie, bo już wiemy, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok, a więc \(|AD|=|BE|\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz lub domyślisz się że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające i na tej podstawie zapiszesz równość \(|AD|=|BE|\), ale nie przeprowadzisz na to skutecznego dowodu.
2 pkt
• Gdy udowodnisz, że trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) są przystające na podstawie cechy bok-kąt-bok i na tej podstawie zakończysz dowodzenie całego zadania.