Podobieństwo figur – zadania maturalne

Uwaga! Zadanie numer 3 nie obowiązuje na maturze 2022 :)

Podobieństwo figur - zadania

Zadanie 1. (1pkt) Oblicz długość odcinka \(AE\) wiedząc, że \(AB||CD\) i \(|AB|=6\), \(|AC|=4\), \(|CD|=8\).



matura z matematyki

Zadanie 2. (1pkt) Odcinki \(AB\) i \(DE\) są równoległe. Długości odcinków \(CD\), \(DE\) i \(AB\) są odpowiednio równe \(1\), \(3\) i \(9\).



matura z matematyki



Długość odcinka \(AD\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Pionowy słupek o wysokości \(90cm\) rzuca cień o długości \(60cm\). W tej samej chwili stojąca obok wieża rzuca cień o długości \(12m\). Jaka jest wysokość wieży?

Zadanie 4. (1pkt) Pięciokąt \(ABCDE\) jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta \(ECD\):



matura z matematyki

Zadanie 5. (1pkt) Prostokąt \(ABCD\) o przekątnej długości \(2\sqrt{13}\) jest podobny do prostokąta o bokach długości \(2\) i \(3\). Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy:

Zadanie 6. (1pkt) Jeżeli trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe \(25cm^2\) i \(50cm^2\), to skala podobieństwa \(\frac{A'B'}{AB}\) jest równa:

Zadanie 7. (1pkt) W trójkącie \(EFG\) bok \(EF\) ma długość \(21\). Prosta równoległa do boku \(EF\) przecina boki \(EG\) i \(FG\) trójkąta odpowiednio w punktach \(H\) oraz \(I\) (zobacz rysunek) w taki sposób, że \(|HI|=7\) i \(|GI|=3\). Wtedy długość odcinka \(FI\) jest równa:



matura z matematyki

Zadanie 8. (1pkt) Odcinki \(BC\) i \(DE\) są równoległe i \(|AE|=4\), \(|DE|=3\) (zobacz rysunek). Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\). Długość odcinka \(BC\) jest równa:



matura z matematyki

Zadanie 9. (1pkt) Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów.



matura z matematyki



Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \(a\) jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \(b\). Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi \(a\) jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi \(b\)?

Zadanie 10. (1pkt) Przedstawione na rysunku trójkąty są podobne.



matura z matematyki



Wówczas:

Zadanie 11. (1pkt) Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość:



matura z matematyki

Zadanie 12. (1pkt) Punkty \(D\) i \(E\) są środkami przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\). Punkty \(F\) i \(G\) leżą na przeciwprostokątnej \(AB\) tak, że odcinki \(DF\) i \(EG\) są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(BGE\) jest równe \(1\), a pole trójkąta \(AFD\) jest równe \(4\).



matura z matematyki



Zatem pole trójkąta \(ABC\) jest równe:

Zadanie 13. (1pkt) W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10\), \(|BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek).



matura z matematyki



Długość odcinka \(DE\) jest równa:

Zadanie 14. (2pkt) Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty). Wykaż, że \(|AD|=|BE|\).



matura z matematyki

19 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Kornel

Dlaczego w zadaniu 7 mamy GF/GI? Próbuje to zrozumieć przez jakiś czas i cały czas bym dał GI/GF

kubakosc

Jeśli chodzi o wzory na pola i obwody figur podobnych, czy znajdują się one we wzorach matematycznych, czy trzeba je znać na pamięć?

kubakosc
Reply to  SzaloneLiczby

Tak tylko chodzi mi na przykład o wzór z zadania 9. Chodzi mi o wzór k^2.

Senjougaharahitagi

Czy w zadaniu 7 można obliczyć tak: GF/EF = GI/HI, x/21 = 3/7, 7x = 63, x=9 , 9-3 = 6 ?

Intervelse

W zadaniu 8 można zamiast wyznaczania długości EC, obliczyć odcinek AD wiedząc ze jest to trójkąt o bokach 3,4,5. Jako ze jest to połowa podstawy więc wychodzi ze bok AB=10. I wychodzi równanie 3/5=x/10
czyli
5x=30
x=6

matma815

Przykład 1,2 skąd mam wiedzieć jakie mam brać odcinki aby powstało równanie tak jak Tobie w rozwiązaniach?

Perpetua

W zadaniu 12 obliczyłam skale podobieństwa trójkątów AFD i BGE k=2. Następnie przyjęłam, że odcinek BE =x, wtedy BC=2x a AC=4x. Następnie z twierdzenia Pitagorasa obliczyłam przekątną BA=2x√5. Następnie skorzystałam z tego, że trójkąty BGE i ACB są podobne i obliczyłam, że skala podobieństwa to 2√5, w takim razie pole trójkąta ACB jest równe 2√5 podniesione do kwadratu, czyli 20. Czy takie rozwiązanie tego zadania jest również prawidłowe? Czy poprawny wynik jest kwestią przypadku?

Perpetua
Reply to  SzaloneLiczby

Dziękuję.

anka1nina

zadanie 9. Nie rozumiem skąd wiemy że k3 ma być.

anka1nina

zadanie 11. Czy można zamiast układać proporcje po prostu wyliczyć k i podzielić 17:2=8,5? na rysunku sobie to pisuje ale nie rozpisuje że QP/AB i QR/CB. Jest to poprawne czy muszę jednak na maturze to rozpisywać jak w wyjaśnieniach?