Podnoszenie potęgi do potęgi

Zanim skorzystamy ze wzoru, zobaczmy co się stanie jak rozpiszemy ten przykład na wielokrotne mnożenie. \(5^4\) to nic innego jak \(5\cdot5\cdot5\cdot5\). Całość musimy podnieść jeszcze do potęgi trzeciej, zatem \(5\cdot5\cdot5\cdot5\) trzeba będzie wymnożyć przez \(5\cdot5\cdot5\cdot5\) i jeszcze raz przez \(5\cdot5\cdot5\cdot5\). Obliczenia wyglądałyby następująco:
$$\left(5^4\right)^3=(5\cdot5\cdot5\cdot5)\cdot(5\cdot5\cdot5\cdot5)\cdot(5\cdot5\cdot5\cdot5)$$

Ile jest równa ta liczba? W zapisie użyliśmy dwunastu piątek, więc tę liczbę moglibyśmy zapisać jako \(5^{12}\).

Spróbujmy teraz rozwiązać to zadanie z wykorzystaniem wzoru, zgodnie z którym musimy wymnożyć poszczególne wykładniki:
$$\left(5^4\right)^3=5^{4\cdot3}=5^{12}$$

Zadanie wydaje się nieco trudniejsze od poprzedniego, wszak pojawił nam się tutaj ułamek w wykładniku potęgi (możliwe nawet, że coś takiego widzisz po raz pierwszy!). Jednak w żaden sposób nam to nie przeszkadza, bowiem wystarczy skorzystać z wcześniej poznanego wzoru:
$$\left(5^{\frac{2}{5}}\right)^5=5^{\frac{2}{5}\cdot5}=5^2=25$$

Wyjaśnijmy sobie może o co chodzi w takim poleceniu. Mamy liczbę \(8^7\), czyli w podstawie potęgi znajduje się liczba \(8\). Chcemy ten zapis przekształcić w taki sposób, by w podstawie potęgi znalazła się liczba \(2\). I tu z pomocą przyjdzie nam właśnie podnoszenie potęgi do potęgi. Wiedząc, że \(8=2^3\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$8^7=\left(2^3\right)^7=2^{3\cdot7}=2^{21}$$

Na początek spójrzmy na pierwszą liczbę i skorzystajmy tutaj z wcześniej poznanego wzoru \(\left(a^m \right)^n=a^{m\cdot n}\):
$$\left(3^{\sqrt{5}}\right)^{\sqrt{3}}=3^{\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}}=3^{\sqrt{15}}$$

Wiemy już, że pierwsza liczba jest równa \(3^{\sqrt{15}}\) i chcemy ją porównać do liczby \(9^2\). Jak tego dokonać? Musimy sprowadzić liczby do jednakowej podstawy potęgi, czyli w naszym przypadku musimy zapisać liczbę \(9^2\) w postaci potęgi o podstawie równej \(3\) (dokładnie tak samo jak robiliśmy to w poprzednim przykładzie):
$$9^2={(3^2)}^2=3^{2\cdot2}=3^4$$

Mamy teraz dwie liczby o tej samej podstawie potęgi, czyli \(3^{\sqrt{15}}\) oraz \(3^4\). Większą z nich będzie ta, która ma większy wykładnik potęgi. Skoro \(\sqrt{15}\) to mniej niż \(4\) (bo \(\sqrt{16}=4\)), to z całą pewnością \(\left(3^{\sqrt{5}}\right)^{\sqrt{3}}\) jest mniejsza od \(9^2\).