Po przesunięciu wykresu funkcji wykładniczej wzdłuż osi Oy układu współrzędnych otrzymano wykres

Po przesunięciu wykresu funkcji wykładniczej wzdłuż osi \(Oy\) układu współrzędnych otrzymano wykres przedstawiony na rysunku. Jest to wykres funkcji:

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie rodzaju przesunięcia wykresu funkcji.
Funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x\) jest funkcją, która posiada dwie kluczowe cechy: dąży do zera oraz przecina oś igreków w punkcie \(A=(0;1)\). My na rysunku widzimy, że nasza funkcja dąży do jedynki i przecina oś igreków w punkcie \(R=(0;2)\), a to oznacza, że jest to funkcja przesunięta o jedną jednostkę do góry. Skoro tak, to jej wzorem będzie \(f(x)=a^{x}+1\). Do poznania pełnego wzoru tej funkcji musimy jeszcze ustalić wartość \(a\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji wykładniczej.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przechodzi przez punkt \(P=(2;3)\). Podstawiając zatem \(x=2\) oraz \(y=3\) do wzoru \(f(x)=a^x+1\) otrzymamy:
$$3=a^2+1 \\
a^2=2 \\
a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$

Z rysunku wynika, że funkcja jest rosnąca, a funkcje wykładnicze są rosnące jedynie dla \(a\gt1\). To oznacza, że \(a=\sqrt{2}\). Znając wartość \(a\) możemy już zapisać, że wzorem tej funkcji będzie \(f(x)=(\sqrt{2})^{x}+1\).

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz