Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Ile cm^2 papieru potrzeba na wykonanie modelu

Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Ile \(cm^2\) papieru potrzeba na wykonanie modelu tej piramidy (wraz z podstawą), w którym krawędzie podstawy mają długość \(10cm\) a wysokość \(12cm\)? Ze względu na zakładki zużycie papieru jest większe o \(5\%\).

egzamin ósmoklasisty

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie szkic rysunku z zaznaczeniem informacji podanych w treści zadania.
egzamin ósmoklasisty

Bardzo ważne jest tutaj dostrzeżenie odcinka \(OE\). Ma on długość równą połowie długości krawędzi bocznej, czyli \(10:2=5\).

Krok 2. Wyznaczenie wysokości ściany bocznej.
Do obliczenia zużycia papieru potrzebujemy znać pole powierzchni całkowitej naszej bryły. Pole powierzchni całkowitej bryły będzie równe sumie pola podstawy (to możemy wyliczyć bez przeszkód) oraz czterech ścian bocznych, których znamy tylko długość podstawy. Musimy więc jeszcze poznać wysokość ściany bocznej (zaznaczonej na rysunku jako \(h\)), tak aby móc obliczyć pole powierzchni bocznej, której nam póki co brakuje. Tę długość obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+12^2=h^2 \\
25+144=h^2 \\
h^2=169 \\
h=13[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W ścianie bocznej mamy trójkąt, którego podstawa ma długość \(10\), a wysokość jest równa \(13\). Pole takiego trójkąta będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}10cm\cdot13cm \\
P=65cm^2$$

Z racji tego iż mamy cztery takie trójkąty, bo są cztery ściany boczne, to pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=4\cdot65cm^2=260cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat o boku \(10cm\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{p}=10cm\cdot10cm=100cm^2$$

Krok 5. Obliczenie zużycia papieru.
Pole powierzchni całkowitej jest równe:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=100cm^2+260cm^2 \\
P_{c}=360cm^2$$

To jednak nie wszystko, bo musimy uwzględnić zakładki, co zgodnie z treścią zadania zwiększa nam zużycie papieru o \(5\%\). Na same zakładki zużyjemy więc:
$$0,05\cdot360cm^2=18cm^2$$

Łącznie więc potrzebujemy:
$$360cm^2+18cm^2=378cm^2$$

Odpowiedź

Potrzeba \(378cm^2\) papieru.

Dodaj komentarz