Pewien turysta pokonał trasę 112km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów

Pewien turysta pokonał trasę \(112\) km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \(3\) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \(12\) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Rozwiązanie:
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.

\(x\) – liczba pokonywanych kilometrów w ciągu dnia
\(y\) – liczba dni wędrówki
\(x\cdot y=112\)

Mamy także informację, że jeśli turysta będzie podróżować o \(3\) dni dłużej, czyli \(y+3\), to mógłby pokonywać dziennie \(12\) km mniej, czyli \(x-12\). Trasa cały czas byłaby taka sama, więc:
$$(x-12)(y+3)=112$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.

Z naszych rozważań możemy utworzyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x\cdot y=112 \\
(x-12)(y+3)=112
\end{cases}\begin{cases}
y=\frac{112}{x} \\
(x-12)(y+3)=112
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$(x-12)\left(\frac{112}{x}+3\right)=112 \\
112+3x-\frac{1344}{x}-36=112 \\
3x-\frac{1344}{x}-36=0 \quad\bigg/\cdot x \\
3x^2-36-1344=0 \quad\bigg/:3 \\
x^2-12-448=0$$

Ostatnie dzielenie przez trzy nie było konieczne, ale dzięki niemu będziemy teraz działać na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=1,\;b=-12,\;c=-448\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-448)=144+1792=1936 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-44}{2\cdot1}=\frac{12-44}{2}=\frac{-32}{2}=-16 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+44}{2\cdot1}=\frac{12+44}{2}=\frac{56}{2}=28$$

Wartość \(x_{1}=-16\) musimy odrzucić, bo liczba pokonanych kilometrów nie może być ujemna. Stąd też końcową odpowiedzią jest \(x=28\), czyli turysta pokonywał \(28\) kilometrów dziennie.

Odpowiedź:

\(28km\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.